高中数学 第三单元 导数及其应用 3.1.3 导数的几何意义课件 新人教B版选修11.ppt

第三章 3 1导数 3 1 3导数的几何意义 1 了解导函数的概念 理解导数的几何意义 2 会求简单函数的导函数 3 根据导数的几何意义 会求曲线上某点处的切线方程 4 正确理解曲线 过某点 和 在某点 处的切线 并会求其方程 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点导数的几何意义 如图 pn的坐标为 xn f xn n 1 2 3 4 p的坐标为 x0 y0 直线pt为过点p的切线 思考1 割线ppn的斜率kn是多少 答案 思考2 当点pn无限趋近于点p时 割线ppn的斜率kn与切线pt的斜率k有什么关系 答案 kn无限趋近于切线pt的斜率k 梳理 1 切线的定义 当pn趋近于点p时 割线ppn趋近于极限位置 这个极限位置的直线pt称为曲线在的切线 2 导数f x0 的几何意义 函数f x 在x x0处的导数就是切线的斜率k 即k 3 切线方程 曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线方程为 点p处 y f x0 f x0 x x0 题型探究 类型一求切线方程 解答 将x 2代入曲线c的方程得y 4 切点坐标为p 2 4 k y x 2 4 曲线在点p 2 4 处的切线方程为y 4 4 x 2 即4x y 4 0 求曲线在某点处的切线方程的步骤 反思与感悟 跟踪训练1曲线y x2 1在点p 2 5 处的切线与y轴交点的纵坐标是 3 答案 解析 k y x 2 4 曲线y x2 1在点 2 5 处的切线方程为y 5 4 x 2 即y 4x 3 切线与y轴交点的纵坐标是 3 解答 化简得14x 4y 49 0或2x 4y 1 0 即为所求的切线方程 反思与感悟 过点 x1 y1 的曲线y f x 的切线方程的求法步骤 1 设切点 x0 y0 3 解方程得k f x0 x0 y0 从而写出切线方程 跟踪训练2求过点 1 0 与曲线y x2 x 1相切的直线方程 解答 解得x0 0或x0 2 当x0 0时 切线的斜率为k 1 过 1 0 的切线方程为y 0 x 1 即x y 1 0 当x0 2时 切线的斜率为k 3 过 1 0 的切线方程为y 0 3 x 1 即3x y 3 0 故所求切线方程为x y 1 0或3x y 3 0 类型二求切点坐标 例3已知曲线y1 x2 1在x x0处的切线与曲线y2 1 x3在x x0处的切线互相平行 求x0的值 解答 引申探究1 若将本例条件中的 平行 改为 垂直 求x0的值 解答 2 若本例条件不变 试求出两条平行的切线方程 解答 当x0 0时 两条平行切线方程分别为y 1 y 1 曲线y 1 x3的切线方程为36x 27y 11 0 所求两平行切线方程为y 1与y 1或12x 9y 13 0与36x 27y 11 0 反思与感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤 1 设切点坐标 x0 y0 2 求导函数f x 3 求切线的斜率f x0 4 由斜率间的关系列出关于x0的方程 解方程求x0 5 点 x0 y0 在曲线f x 上 将x0代入求y0 得切点坐标 解答 跟踪训练3已知直线l y 4x a与曲线c y x3 2x2 3相切 求a的值及切点坐标 设直线l与曲线c相切于点p x0 y0 当切点坐标为 2 3 时 有3 4 2 a 解得a 5 当a 5时 切点坐标为 2 3 类型三导数几何意义的应用 例4已知函数f x 在区间 0 3 上的图象如图所示 记k1 f 1 k2 f 2 k3 kab 则k1 k2 k3之间的大小关系为 请用 连接 k1 k3 k2 答案 解析 由导数的几何意义 可得k1 k2 k1 k3 k2 反思与感悟 导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导 利用题目所提供的如直线的位置关系 斜率取值范围等关系求解相关问题 此处常与函数 方程 不等式等知识相结合 跟踪训练4 1 若函数y f x 的导函数在区间 a b 上是增函数 则函数y f x 在区间 a b 上的图象可能是 答案 解析 依题意知 y f x 在 a b 上是增函数 则在函数f x 的图象上 各点切线的斜率随着x的增大而增大 观察四个选项中的图象 只有a满足 2 已知曲线f x 2x2 a在点p处的切线方程为8x y 15 0 则实数a的值为 答案 解析 7 4x0 8 x0 2 点p的坐标为 2 8 a 将x 2 y 8 a代入8x y 15 0 得a 7 当堂训练 1 2 3 4 5 1 已知曲线y f x 2x2上一点a 2 8 则曲线在点a处的切线斜率为a 4b 16c 8d 2 答案 解析 1 2 3 4 5 2 若曲线y x2 ax b在点 0 b 处的切线方程是x y 1 0 则a a 1 b 1b a 1 b 1c a 1 b 1d a 1 b 1 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 解析 又 直线倾斜角的范围为 0 180 倾斜角为135 4 如图 函数f x 的图象是折线段abc 其中a b c的坐标分别为 0 4 2 0 6 4 则函数f x 在x 1处的导数f 1 1 2 3 4 5 答案 解析 2 由导数的几何意义 知f x 在x 1处的斜率为 2 1 2 3 4 5 5 已知曲线y f x 2x2 4x在点p处的切线斜率为16 则点p的坐标为 答案 解析 3 30 令4x0 4 16 得x0 3 p 3 30 规律与方法 2 函数f x 在点x0处的导数 是一个常数 不是变量 导函数 是一个函数 二者有本质的区别 但又有密切关系 f x0 是其导数y f x 在x x