高等代数专题研究模拟试题答案（05秋）.doc

高等代数专题研究模拟试题高等代数专题研究模拟试题 一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1. 不等式的解集是( ) (A)(,) (B) (,)(0,+) (C) ()(0,+) (D) (,0)2. 设一个代数体系(R,+,)，下列条件中，不是环的定义必须满足的条件为( ) (A) a,bR，a+b=b+a (B) 在R中存在一个零元素q，使得aR,有a+q=q+a=a (C) 在R运算对+满足分配律 (D) a,bR，ab=ba3. 以下结论正确是( )(A) 实系数奇次多项式至少有一个实数根(B) 任何实系数n(n0)次多项式至少有一个实数根 (C) 任何复系数n(n0)次多项式至少有一个实数根 (D) 复系数n(n0)次多项式一定有n个不同复数根4. 分配4个学生到3个不同单位实习，不同的分配方式有( ) (A) (B) 34 (C) (D) 5. 从m个正整数a1,a2,am中任意取出m+1个数，则( )(A) 至多有两个或两个以上的数相同 (B) 只有两个数相同(C) 至少有两个或两个以上的数相同 (D) 相同的数必有m个 二、填空题(每小题3分，本题共15分).6 设函数f(x)在区间(a,b)上定义，如果q10,q10,且q1+q2=1,对任意(a,b)上的x1，x2,都有 ，则称函数f(x)在(a,b)上是上凸函数7. 设R是整环，如果对R中的元素a，存在R中的元素b，使得，则称a是可逆元素8. 有第1,2,3,4,5，6,7分册的全集五套，从每套中取一本，那么共有种不同取法9. 重新排列1,2,3,4,5,6,7,8，使得奇数在自己的位置上，而偶数不在自己位置上的排列有 个10. 多项式(x1+x2+xt)n展开合并同类项后的项数为，那么该多项式是三、简述题(每小题5分，共10分)11. 试用不等式表述均值不等式(几何平均数不超过算术平均数)12. 试表述可重复全排列计算公式的含意四、计算题(每小题10，本题共40分)13. 设集合A=a1,a2,a3，B=b1,b2，试写出A到B的所有不同映射，并指出为单射、满射和双射各有几个？14. 设正实数x,y,z，且x+y+z=2，求函数f(x,y,z)2x2+3y2+9z2的最小值15. 求剩余类环Z8上的多项式的根16.求1到1000的整数中不能被14且不能被21整除的数的个数五、证明题(每小题10分，本题共20分)17. 设集合M=(x,y)x,y是有理数，在M上定义运算，任意M上的元素(x,y),(a,b), (a,b)(x,y)=(ax,ay+b)证明(M,)是代数体系并证明在M上可结合，不可交换18. 设R是一个整环，R中任何两个元素都存在最大公因式，则对R中任意元素a，b，c，有(a,b),c)(a,(b,c)高等代数专题研究模拟试题答案一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1. B2. D3. A4. B5. C二、填空题(每小题3分，本题共15分)6. f(q1x1+q2x2)q1f(x1)+q2f(x2)7.ab=ba=18. 9. 910.(x1+x2+x3)7三、简述题(每小题7分，共14分)11.设有n个正实数a1,a2,an，(1分) 则 (4分)且只有当a1=a2=an时取等号 (5分)12.设r1个b1和r2个b2，且r1+r2=n的集合S，则S的元素的全排列个数为(5分)四、计算题(每小题10，本题共40分)13.所有映射为s1：a1b1，a2b1，a3b1； s2：a1b2，a2b1，a3b1；s3：a1b1，a2b2，a3b1； s4：a1b1，a2b1，a3b2；s5：a1b2，a2b2，a3b1； s6：a1b2，a2b1，a3b2；s7：a1b1，a2b2，a3b2； s8：a1b2，a2b2，a3b2；(8分)单射和双射没有满射有6个(10分)14. x+y+z=(2分)由柯西不等式 (7分)所以，2x2+3y2+9z2所求2x2+3y2+9z2的最小值是 (10分)15. Z8=， (3分)Z8中使得多项式f(x)= 为0的均为其根经验证，, (8分)可知所求全部根为(10分)16.设S=1,2,3,1000，A,B分别表示S中能被14和21整除的整数集合(2分)则 ，(5分)所求为 (10分)五、证明题(每小题10分，本题共20分)17.因为,a,b,x,y都是有理数，所以ax,ay+b也是有理数，(ax,ay+b)是M的元素，故(M，)是代数体系(2分)任意(x,y),(a,b),(c,d)属于M，(a,b)(x,y)(c,d)=(ax,ay+b)(c,d)=(axc,axd+ay+b)(a,b)(x,y)(c,d)=(a,b)(xc,xd+y)=(axc,axd+ay+b)可见，在M上可结合(8分)(a,b)(x,y)=(ax,ay+b)而(x,y)(a,b)=(xa,xb+y)，它们不等故不可交换(10分)18.令d=(a,b),c)，则d(a,b)，dc，即da且db，dc，从而da，db且dc， (4分)于是da，d(b,c)，得到d(