高三数学常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

精品文档 1欢迎下载 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 典型例题典型例题 例 1 bkaa nn 1 型 1 1 k 时 1nnn abaa 是等差数列 1 banban 2 1 k 时 设 1 makma nn mkmkaa nn 1 比较系数 bmkm 1 k b m 1 k b an 是等比数列 公比为k 首项为1 1 k b a 1 1 1 1 n n k k b a k b a 1 1 1 1 k b k k b aa n n 例 2 1 nfkaa nn 型 1 1 k 时 1 nfaa nn 若 nf 可求和 则可用累加消项的方法 例 已知 n a 满足 1 1 a 1 1 1 nn aa nn 求 n a 的通项公式 解 解 1 11 1 1 1 nnnn aa nn nn aa nn 1 1 1 1 1 1 2 1 21 nn aa nn 2 1 3 1 32 nn aa nn 3 1 2 1 23 aa 2 1 1 12 aa 对这 1 n 个式子求和得 n aan 1 1 1 n an 1 2 精品文档 2欢迎下载 2 1 k 时 当 bannf 则可设 1 1 BAnakBnAa nn ABkAnkkaa nn 1 1 1 bABk aAk 1 1 解得 1 k a A 2 1 1 k a k b B BAnan 是以 BAa 1为首项 k为公比的等比数列 1 1 n n kBAaBAna BAnkBAaa n n 1 1 将 A B 代入即可 3 n qnf q 0 1 等式两边同时除以 1 n q 得 qq a q k q a n n n n 1 1 1 令 n n n q a C 则 q C q k C nn 1 1 n C 可归为 bkaa nn 1 型 例 3 nn anfa 1 型 1 若 nf 是常数时 可归为等比数列 2 若 nf 可求积 可用累积约项的方法化简求通项 例 已知 3 1 1 a 1 12 12 nn a n n a 2 n 求数列 n a 的通项 解 解 12 3 5 3 7 5 32 52 12 32 12 12 1 2 2 3 3 2 2 1 1 nn n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n 12 1 12 3 1 nn aan 例 4 1 1 n n n am am ka 型 精品文档 3欢迎下载 考虑函数倒数关系有 11 1 1 ma k a nn m k a k a nn 1 11 令 n n a C 1 则 n C 可归为 bkaa nn 1 型 练习 1 已知 n a 满足 3 1 a 12 1 nn aa 求通项公式 解 解 设 2 1 mama nn maa nn 2 1 1 m 1 1 n a 是以 4 为首项 2 为公比为等比数列 1 241 n n a 12 1 n n a 2 已知 n a 的首项 1 1 a naa nn 2 1 Nn 求通项公式 解 解 1 2 1 naa nn 2 2 21 naa nn 3 2 32 naa nn 22 23 aa 12 12 aa nnnaan 2 1 1 21 2 1 2 nnan 3 已知 n a 中 nn a n n a 2 1 且 2 1 a 求数列通项公式 解 解 1 2 3 1 4 2 2 4 1 32 1 1 1 2 2 3 3 2 2 1 1 nnn n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n 精品文档 4欢迎下载 1 2 1 nna an 1 4 nn an 4 数列 n a 中 n n n n n a a a 1 1 1 2 2 2 1 a 求 n a 的通项 解 解 n n n n n a a a 1 1 1 2 21 1 1 2 111 n nn aa 设 n n a b 1 1 1 2 1 n nn bb n nn bb 2 1 1 n nn bb 2 1 1 1 21 2 1 n nn bb 2 32 2 1 n nn bb 3 23 2 1 bb 2 12 2 1 bb n n bb 2 1 2 1 2 1 32 1 n n 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 n n n n b 2 12 2 1 2 1 2 1 12 2 n n n a 5 已知 1 1 a 2 n 时 12 2 1 1 naa nn 求 n a 的通项公式 解 解 设 1 2 1 1 BnAaBAna nn 精品文档 5欢迎下载 BAAnaa nn 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 BA A 解得 6 4 B A 364 1 a 64 nan 是以 3 为首项 2 1 为公比的等比数列 1 2 1 364 n n na 64 2 3 1 na n n 模拟试题模拟试题 1 已知 n a 中 3 1 a n nn aa2 1 求 n a 2 已知 n a 中 1 1 a 23 1 nn aa 2 n 求 n a 3 已知 n a 中 1 1 a n nn aa22 1 2 n 求 n a 4 已知 n a 中 4 1 a 1 4 4 n n a a 2 n 求 n a 5 已知 n a 中 1 1 a 其前n项和 n S 与 n a 满足 12 2 2 n n n S S a 2 n 1 求证 1 n S 为等差数列 2 求 n a 的通项公式 6 已知在正整数数列 n a 中 前n项和 n S 满足 2 2 8 1 nn aS 1 求证 n a 是等差数列 2 若 n b 30 2 1 n a 求 n b 的前 n 项和的最小 值 精品文档 6欢迎下载 精品文档 7欢迎下载 试题答案试题答案 1 解 由 n nn aa2 1 得 1 1 2 n nn aa 1 1 2 n nn aa 2 21 2 n nn aa 2 12 aa 22 21 21 2 1 1 n n n aa 1222 1 nn n aa 2 解 由 23 1 nn aa 得 1 31 1 nn aa 3 1 1 1 n n a a 即 1 n a 是等比数列 1 1 3 1 1 n n aa 13213 1 11 1 nn n aa 3 解 由 n nn aa22 1 得 1 22 1 1 n n n n aa 2 n n a 成等差数列 1 2 1 2 n a n n 1 22 nn n na 4 解 n n n n a a a a 2 24 22 1 2 1 2 1 2 22 1 1 nn n n aa a a 1 n 2 1 2 1 2 1 1 nn aa 1 n 设 2 1 n n a b 即 1 2 1 1 nbb nn 精品文档 8欢迎下载 n b 是等差数列 22 1 1 2 1 2 1 1 n n aan 2 2 n an 5 解 1 12 2 2 1 n n nn S S SS 11 2 nnnn SSSS 2 11 1 nn SS 1 n S 是首项为 1 公差为 2 的等差数列 12 1 n Sn 2 12 1 n Sn 2 384 2 1 12 1 2 12 1 2 2 2 n nn n n an 又 1 1 a 2 384 2 11 2 n nn n an 6 解 1 2 111 2 8 1 aSa 2 1 a 2 n 时 2 1 2 1 2 8 1 2 8 1 nnnnn aaSSa 整理得 0 4 11 nnnn aaaa n a 是正整数数列 0 1 nn aa 4 1 nn aa n a 是首项为 2 公差为 4 的等差