高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（一）课件 新人教A版必修2.ppt

1 4 2正弦函数 余弦函数的性质 一 第一章 1 4三角函数的图象与性质 学习目标1 了解周期函数 周期 最小正周期的定义 2 会求函数y asin x 及y acos x 的周期 3 掌握函数y sinx y cosx的奇偶性 会判断简单三角函数的奇偶性 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一函数的周期性 思考1如果函数f x 满足f x 3 f x 那么3是f x 的周期吗 答案不一定 必须满足当x取定义域内的每一个值时 都有f x 3 f x 才可以说3是f x 的周期 思考2所有的函数都具有周期性吗 答案不是 只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性 梳理函数的周期性 1 对于函数f x 如果存在一个 使得当x取定义域内的 值时 都有 那么函数f x 就叫做周期函数 叫做这个函数的周期 2 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个 那么这个最小正数叫做f x 的 非零常数t 每一 个 f x t f x 非零常数t 最小的正数 最小正周期 知识点二正弦函数 余弦函数的周期性 思考1证明函数y sinx和y cosx都是周期函数 答案 sin x 2 sinx cos x 2 cosx y sinx和y cosx都是周期函数 且2 就是它们的一个周期 思考2证明函数f x asin x 或f x acos x a 0 是周期函数 答案由诱导公式一知 对任意x r 都有asin x 2 asin x 同理 函数f x acos x a 0 也是周期函数 梳理由sin x 2k cos x 2k k z 知 y sinx与y cosx都是函数 都是它们的周期 且它们的最小正周期都是 sinx cosx 周期 2k k z且k 0 2 知识点三正弦函数 余弦函数的奇偶性 思考对于x r sin x sinx cos x cosx 这说明正弦函数 余弦函数具备怎样的性质 答案奇偶性 梳理 1 对于y sinx x r 恒有sin x sinx 所以正弦函数y sinx是函数 正弦曲线关于对称 2 对于y cosx x r 恒有cos x cosx 所以余弦函数y cosx是函数 余弦曲线关于对称 奇 原点 偶 y轴 思考辨析判断正误 1 函数f x x2满足f 3 6 f 3 所以f x x2是以6为周期的周期函数 提示周期函数需满足对定义域内每一个值x 都有f x t f x 对于f x x2 f 0 0 f 0 6 f 6 36 f 0 f 0 6 f x x2不是以6为周期的周期函数 2 周期函数y f x 的定义域可以为 a b a b r 提示周期函数的定义域一定为无限集 且无上下界 3 任何周期函数都有最小正周期 提示常函数f x c 任意一个正实数都是其周期 因而不存在最小正周期 答案 提示 题型探究 类型一三角函数的周期性 例1求下列函数的最小正周期 解答 函数f x sinz的最小正周期是2 即变量z只要且至少要增加到z 2 函数f x sinz z r 的值才能重复取得 2 y sinx x r 解答 解因为y sinx 其图象如图所示 所以该函数的最小正周期为 反思与感悟对于形如函数y asin x a 0时的最小正周期的求法常直接利用t 来求解 对于y asin x 的周期情况常结合图象法来求解 跟踪训练1 2017 大同检测 下列函数是以 为周期的函数是a y sinxb y sinx 2c y cos2x 2d y cos3x 1 答案 解析 类型二三角函数的奇偶性 例2判断下列函数的奇偶性 解答 解f x sin2x x2sinx x r f x sin 2x x 2sin x sin2x x2sinx f x f x 是奇函数 f x 既是奇函数又是偶函数 解答 反思与感悟判断函数奇偶性应把握好两个关键点关键点一 看函数的定义域是否关于原点对称 关键点二 看f x 与f x 的关系 对于三角函数奇偶性的判断 有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断 跟踪训练2若函数y cos x 是奇函数 则a 0b k k z c k k z d k 答案 解析 解析由函数y cos x 是奇函数 可知y cos x sin x或y cos x sin x 由诱导公式 得 k k z 类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用 解 f x 的最小正周期是 又 f x 是r上的偶函数 解答 解答 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 0 同理 可得每连续六项的和均为0 f 1 f 2 f 3 f 2020 f 2017 f 2018 f 2019 f 2020 反思与感悟当函数值的出现具有一定的周期性时 可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况 再给予推广求值 答案 解析 f 1 f 2 f 3 f 2015 f 2016 f 2017 f 2018 336 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 2017 f 2018 f 336 6 1 f 336 6 2 336 0 f 1 f 2 达标检测 答案 解析 1 2017 金华十校期末 设函数f x cos x 0 则f x 的奇偶性a 与 有关 且与 有关b 与 有关 但与 无关c 与 无关 且与 无关d 与 无关 但与 有关 1 2 3 4 5 解析因为当 k k z时 函数f x cos x cos x 为偶函数 sin x 为奇函数 所以f x 的奇偶性与 无关 但与 有关 a 最小正周期为 的奇函数b 最小正周期为 的偶函数 答案 解析 1 2 3 4 5 f x cos2x 又f x cos 2x cos2x f x f x 是最小正周期为 的偶函数 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5 2017 广州六中期末 已知函数f x ax bsinx 1 若f 2018 7 则f 2018 解析由f 2018 2018a bsin2018 1 7 得2018a bsin2018 6 f 2018 2018a bsin2018 1 2018a bsin2018 1 6 1 5 5 答案 解析 规律与方法 1 求函数的最小正周期的常用方法 1 定义法 即观察出周期 再用定义来验证 也可由函数所具有的某些性质推出使f x t f x 成立的t 2 图象法 即作出y f x 的图象 观察图象可求出