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平面向量基本定理 当时 与同向 且是的倍 当时 与反向 且是的倍 当时 且 向量共线充要条件 学情回顾 向量的加法 o b c a o a b 平行四边形法则 三角形法则 共起点 首尾相接 问题情境 1 火箭飞行火箭在飞行过程中的某一时刻 助推器分离时前进的合速度可以分解为几个速度 从这个例子当中 我们看到一个速度可以用两个不共线方向的速度来表示 2 力的合成与分解实验 平面内给定两个不共线的向量 对于平面内的任一向量 是否都可以用这两个向量表示 1 平面内的任一向量可用两个不共线的向量表示 2 平面内任意两个不共线向量的和总可以表示一个向量 结论 设 是同一平面内的两个不共线的向量 是这一平面内的任一向量 问能否用 来表示 则有且只有一对实数 n 在平面内任取一点o 作 过点c作平行于ob的直线 交直线oa于m 过点c作平行于oa的直线 交直线ob于n 因为 使得 存在性 存在性证明要点 2 根据平行向量基本定理转化 得结论 a1e1 a2e2 xe1 ye2 x a1 e1 y a2 e2 0 唯一性 唯一性证明要点 反证法推矛盾 平面向量基本定理 a 1 一组平面向量的基底有多少对 有无数对 思考 e f 思考 2 若基底选取不同 则表示同一向量的实数 是否相同 可以不同 也可以相同 平面向量基本定理可以看作是平行向量定理的拓展 平行向量基本定理可以看作是平面向量基本定理的特例 定理的应用 m 思考 解决这类问题的关键是什么 变式 在 abc中点g是 abc的重心 试用 表示 例2 已知a b是l上任意两点 o是l外一点 求证 对直线l上任一点p 存在实数t 使关于基底 的分解式为 根据平面向量基本定理 同一平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示 再由已知可得 特殊地 令t 点m是ab的中点 则 共线向量基本定理及向量运算法则 前提 平面向量基本定理 依据 表示平面内的任一向量 解决具体问题
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