高中数学1.6三角函数模型的简单应用2学案新人教A必修4

1.6 三角函数模型的简单应用自主学习1三角函数的周期性yAsin(x) (0)的周期是T_；yAcos(x) (0)的周期是T_；yAtan(x) (0)的周期是T_.2函数yAsin(x)k (A0，0)的性质(1)ymax_，ymin_.(2)A_，k_.(3)可由_确定，其中周期T可观察图象获得(4)由x1_，x2_，x3_，x4_，x5_中的一个确定的值3三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中_现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用结合三角函数图象的特点，思考后写出下列函数的周期(1)y|sin x|的周期是_；(2)y|cos x|的周期是_；(3)y|tan x|的周期是_；(4)y|Asin(x)| (A0)的周期是_；(5)y|Asin(x)k| (Ak0)的周期是_；(6)y|Atan(x)| (A0)的周期是_对点讲练从实际问题中提炼三角函数模型例1(1)如图(1)所示为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设B点与地面距离为h.(1)求h与间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式回顾归纳如果实际问题中，某种变化着的现象具有一定的周期性，那么它就可以借助三角函数来描述，从而构建三角函数模型变式训练1如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.三角函数模型在物理学科中的应用例2交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E220sin来表示，求：(1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间回顾归纳三角函数模型在物理学科中有着广泛的应用在应用三角函数知识解决物理问题时，应当注意从复杂的物理背景中提炼基本的数学关系，还要调动相关物理知识来帮助理解问题变式训练2如图表示电流I与时间t的函数关系式：IAsin(t)在同一周期内的图象(1)据图象写出IAsin(t)的解析式；(2)为使IAsin(t)中t在任意一段的时间内电流I能同时取得最大值和最小值，那么正整数的最小值是多少？三角函数模型在实际问题中的应用例3某港口水深y(米)是时间t (0t24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：t(小时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数型yAsin tB的图象(1)试根据数据表和曲线，求出yAsin tB的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)回顾归纳确定函数关系式yAsin tB，就是确定其中的参数A，B等，可从所给的数据中寻找答案由于函数的最大值与最小值不是互为相反数，若设最大值为M，最小值为m，则A，B.变式训练3设yf(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0t24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数yf(t)的图象可以近似地看成函数ykAsin(t)的图象下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是()Ay123sin t，t0,24 By123sin，t0,24Cy123sin t，t0,24 Dy123sin，t0,241.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用2三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合(3)利用三角函数模型解决实际问题(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验. 课时作业一、选择题1.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为()A. s B. s C50 s D100 s2据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)Asin(x)b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为()Af(x)2sin7(1x12，xN*)Bf(x)9sin(1x12，xN*)Cf(x)2sinx7(1x12，xN*)Df(x)2sin7(1x12，xN*)3若函数f(x)3sin(x)对任意x都有ff，则f等于()A3或0 B3或0 C0 D3或34.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数df(l)的图象大致是()题号1234答案二、填空题5函数y2sin的最小正周期在内，则正整数m的值是_6设某人的血压满足函数式p(t)11525sin(160t)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是_7一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式时s3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于_三、解答题8.如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？1.6三角函数模型的简单应用知识梳理1.2(1)AkAk(2)(3)(4)023周期自主探究(1)(2)(3)(4)(5)(6)对点讲练例1解(2)(1)由题意可作图如图(2)所示过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于M点当时，BOM.h|OA|0.8|BM|5.64.8sin；当0时，上述解析式也适合综上所述，h5.64.8sin.(2)点A在O上逆时针运动的角速度是，t秒转过的弧度数为t，h4.8sin5.6，t0，)变式训练1解(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处这时此人所转过的角为 t t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h10 sin t12(t0)(2)由10sint1217，得sint，则t. 故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.例2解(1)当t0时，E110(伏)，即开始时的电压为110伏(2)T(秒)，即时间间隔为0.02秒(3)电压的最大值为220伏当100t，即t秒时第一次取得最大值变式训练2解(1)由题图知，A300，t1，t2，T2(t2t1)2()，100.由t10知t1，I300sin(100t)(2)问题等价于T，即，也即200，故最小正整数为629.例3解(1)从拟合的曲线可知，函数yAsin tB的一个周期为12小时，因此.又ymin7，ymax13，A(ymaxymin)3，B(ymaxymin)10.函数的解析式为y3sint10 (0t24)(2)由题意，水深y4.57，即y3sint1011.5，t0,24，sint，t，k0,1，t1,5或t13,17，所以，该船在100至500或1300至1700能安全进港若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时变式训练3A在给定的四个选项A、B、C、D中我们不妨代入t0及t3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.课时作业1A2.A3D因为ff，所以直线x是函数f(x)图象的对称轴所以f3sin3sin3.因此选D.4Cdf(l)2sin .526,27,28解析T，又8m9，且mZ，m26,27,28.680解析T(分)f80(次/分)7.