2015年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）含答案解析.doc

2015年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2015沈阳一模）若全集U=1，2，3，4，5，6，M=1，4，N=2，3，则集合（UM）N等于（） A 2，3 B 2，3，5，6 C 1，4 D 1，4，5，6【考点】： 交、并、补集的混合运算【专题】： 集合【分析】： 根据集合的基本运算即可得到结论【解析】： 解：由补集的定义可得UN=2，3，5，则（UN）M=2，3，故选：A【点评】： 本题主要考查集合的基本运算，比较基础2（5分）（2015沈阳一模）设复数z满足（1i）z=2i，则z=（） A 1+i B 1i C 1+i D 1i【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 计算题【分析】： 根据所给的等式两边同时除以1i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果【解析】： 解：复数z满足z（1i）=2i，z=1+i故选A【点评】： 本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算3（5分）（2014安徽）“x0”是“ln（x+1）0”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件【考点】： 充要条件【专题】： 计算题；简易逻辑【分析】： 根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解析】： 解：x0，x+11，当x+10时，ln（x+1）0；ln（x+1）0，0x+11，1x0，x0，“x0”是ln（x+1）0的必要不充分条件故选：B【点评】： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础4（5分）（2015沈阳一模）抛物线y=4ax2（a0）的焦点坐标是（） A （0，a） B （a，0） C （0，） D （，0）【考点】： 抛物线的简单性质【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 先将抛物线的方程化为标准式，再求出抛物线的焦点坐标【解析】： 解：由题意知，y=4ax2（a0），则x2=，所以抛物线y=4ax2（a0）的焦点坐标是（0，），故选：C【点评】： 本题考查抛物线的标准方程、焦点坐标，属于基础题5（5分）（2015沈阳一模）设Sn为等差数列an的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sn+2Sn=36，则n=（） A 5 B 6 C 7 D 8【考点】： 等差数列的性质【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 由Sn+2Sn=36，得an+1+an+2=36，代入等差数列的通项公式求解n【解析】： 解：由Sn+2Sn=36，得：an+1+an+2=36，即a1+nd+a1+（n+1）d=36，又a1=1，d=2，2+2n+2（n+1）=36解得：n=8故选：D【点评】： 本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础题6（5分）（2015沈阳一模）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸 （单位：cm），可得这个几何体的体积是（） A B C 2cm3 D 4cm3【考点】： 棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 由题目给出的几何体的三视图，还原得到原几何体，然后直接利用三棱锥的体积公式求解【解析】： 解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，如图，故，故选B【点评】： 本题考查了棱锥的体积，考查了空间几何体的三视图，能够由三视图还原得到原几何体是解答该题的关键，是基础题7（5分）（2015沈阳一模）已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（） A 3 B 3 C 1 D 【考点】： 简单线性规划【专题】： 计算题【分析】： 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可【解析】： 解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点A（2，1）时，z最大是3，故选A【点评】： 本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题8（5分）（2015沈阳一模）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（） A 4 B 5 C 6 D 7【考点】： 程序框图【专题】： 计算题；规律型；算法和程序框图【分析】： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出输出不满足条件S=0+1+2+8+100时，k+1的值【解析】： 解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：输出不满足条件S=0+1+2+8+100时，k+1的值第一次运行：满足条件，s=1，k=1；第二次运行：满足条件，s=3，k=2；第三次运行：满足条件，s=11100，k=3；满足判断框的条件，继续运行，第四次运行：s=1+2+8+211100，k=4，不满足判断框的条件，退出循环故最后输出k的值为4故选：A【点评】： 本题考查根据流程图（或伪代码）输出程序的运行结果这是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模9（5分）（2015沈阳一模）已知函数，若，则f（a）=（） A B C D 【考点】： 函数的值【专题】： 计算题【分析】： 利用f（x）=1+，f（x）+f（x）=2即可求得答案【解析】： 解：f（x）=1+，f（x）=1，f（x）+f（x）=2；f（a）=，f（a）=2f（a）=2=故选C【点评】： 本题考查函数的值，求得f（x）+f（x）=2是关键，属于中档题10（5分）（2015沈阳一模）在ABC中，若|+|=|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则=（） A B C D 【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 计算题；平面向量及应用【分析】： 运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求【解析】： 解：若|+|=|，则=，即有=0，E，F为BC边的三等分点，则=（+）（+）=（）（）=（+）（+）=+=（1+4）+0=故选B【点评】： 本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量共线的定理，考查运算能力，属于中档题11（5分）（2015沈阳一模）函数y=的图象与函数y=2sinx（2x4）的图象所有交点的横坐标之和等于（） A 2 B 4 C 6 D 8【考点】： 奇偶函数图象的对称性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象【专题】： 压轴题；数形结合【分析】： 的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2由此不难得到正确答案【解析】： 解：函数，y2=2sinx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图当1x4时，y10而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在和上是减函数；在和上是增函数函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：xA+xH=xB+xGxC+xF=xD+xE=2，故所求的横坐标之和为8故选D【点评】： 发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在12（5分）（2015广西校级一模）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f（x）1，f（0）=4，则不等式exf（x）ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（） A （0，+） B （，0）（3，+） C （，0）（0，+） D （3，+）【考点】： 利用导数研究函数的单调性；导数的运算【专题】： 导数的综合应用【分析】： 构造函数g（x）=exf（x）ex，（xR），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解析】： 解：设g（x）=exf（x）ex，（xR），则g（x）=exf（x）+exf（x）ex=exf（x）+f（x）1，f（x）+f（x）1，f（x）+f（x）10，g（x）0，y=g（x）在定义域上单调递增，exf（x）ex+3，g（x）3，又g（0）e0f（0）e0=41=3，g（x）g（0），x0故选：A【点评】： 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题纸上.）13（5分）（2015沈阳一模）若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是y=x【考点】： 双曲线的简单性质【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 求出双曲线的a，b，再由渐近线方程y=x，即可得到所求方程【解析】： 解：双曲线E的标准方程是，则a=2，b=1，即有渐近线方程为y=x，即为y=x故答案为：y=x【点评】： 本题考查双曲线的方程和性质：渐近线方程，考查运算能力，属于基础题14（5分）（2015沈阳一模）已知an是等比数列，则a1a2+a2a3+anan+1=【考点】： 数列的求和；等比数列的通项公式【专题】： 计算题【分析】： 首先根据a2和a5求出公比q，根据数列anan+1每项的特点发现仍是等比数列，根据等比数列求和公式可得出答案【解析】： 解：由 ，解得 数列anan+1仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故答案为【点评】： 本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息15（5分）（2015沈阳一模）若直线l：（a0，b0）经过点（1，2）则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是3+2【考点】： 直线的截距式方程【专题】： 直线与圆【分析】： 把点（1，1）代入直线方程，得到=1，然后利用a+b=（a+b）（），展开后利用基本不等式求最值【解析】： 解：直线l：（a0，b0）经过点（1，2）=1，a+b=（a+b）（）=3+3+2，当且仅当b=a时上式等号成立直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2故答案为：3+2【点评】： 本题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中档题16（5分）（2015沈阳一模）在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BCAC，A=，AC=4，AA1=4，M为AA1的中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q=3QC则异面直线PQ与AC所成角的正弦值【考点】： 异面直线及其所成的角【专题】： 空间角【分析】： 以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PQ与AC所成角的正弦值【解析】： 解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则由题意得A（0，4，0），C（0，0，0），B（4，0，0），M（0，4，2），A1（0，4，4），P（2，2，1），=（0，4，4）=（0，1，1），Q（0，1，1），=（0，4，0），=（2，1，0），设异面直线PQ与AC所成角为，cos=|cos|=|=，sin=故答案为：【点评】： 本题考查异面直线PQ与AC所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17（12分）（2015沈阳一模）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx（）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（）当x0，时，求函数f（x）的值域【考点】： 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【专题】： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】： （I）先化简求得解析式f（x）=sin（2x）+，从而可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（）先求2x的范围，可得sin（2x）的范围，从而可求函数f（x）的值域【解析】： 解：（I）f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x （2分）=sin（2x）+（4分）函数f（x）的最小正周期为T=（6分）因为+2k2x+2k，解得+kx+k，kZ，所以函数f（x）的单调递增区间是+k，+k，kZ，（8分）（）当x0，时，2x，sin（2x），1，（10分）所以函数f（x）的值域为f（x）0，1+（12分）【点评】： 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查18（12分）（2015沈阳一模）某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如表所示 参加社团活动 不参加社团活动 合计学习积极性高 17 8 25学习积极性一般 5 20 25合计 22 28 50（）如果随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是多少？抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少？（）试运用独立性检验的思想方法【分析】：学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系？并说明理由x2= P（x2k） 0.05 0.01 0.001K 3.841 6.635 10.828【考点】： 独立性检验的应用【专题】： 计算题；概率与统计【分析】： （）求出积极参加社团活动的学生有22人，总人数为50人，得到概率，不参加社团活动且学习积极性一般的学生为20人，得到概率（）根据条件中所给的数据，代入求这组数据的观测值的公式，求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系【解析】： 解：（）积极参加社团活动的学生有22人，总人数为50人，所以随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是=；抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生为20人，所以其概率为=；（）x2=11.7x210.828，有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系【点评】： 本题考查独立性检验的意义，是一个基础题，题目一般给出公式，只要我们代入数据进行运算就可以，注意数字的运算不要出错19（12分）（2015沈阳一模）如图，设四棱锥EABCD的底面为菱形，且ABC=60，AB=EC=2，AE=BE=（）证明：平面EAB平面ABCD；（）求四棱锥EABCD的体积【考点】： 棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： （I）取AB的中点O，连结EO、CO，由已知得ABC是等边三角形，由此能证明平面EAB平面ABCD（II）VEABCD=，由此能求出四棱锥EABCD的体积【解析】： （I）证明：取AB的中点O，连结EO、CO由AE=BE=，知AEB为等腰直角三角形故EOAB，EO=1，又AB=BC，ABC=60，则ABC是等边三角形，从而CO=又因为EC=2，所以EC2=EO2+CO2，所以EOCO又EOAB，COAB=O，因此EO平面ABCD又EO平面EAB，故平面EAB平面ABCD（8分）（II）解：VEABCD=（12分）【点评】： 本题考查平面与平面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20（12分）（2015沈阳一模）已知椭圆C：+=1（ab0），e=，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A、B，点A，B的中点横坐标为，且=（其中1）（）求椭圆C的标准方程； （）求实数的值【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】： （I）由条件可知c=1，a=2，由此能求出椭圆的标准方程（）由，可知A，B，F三点共线，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线ABx轴，则x1=x2=1，不合意题意当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k（x1）由，得（3+4k2）x28k2x+4k212=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出实数的值【解析】： 解：（I）由条件可知c=1，a=2，故b2=a2c2=3，椭圆的标准方程是（4分）（）由，可知A，B，F三点共线，设A（x1，y1），B（x2，y2），若直线ABx轴，则x1=x2=1，不合题意当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k（x1）由，消去y得（3+4k2）x28k2x+4k212=0由的判别式=64k44（4k2+3）（4k212）=144（k2+1）0因为，（6分）所以=，所以（8分）将代入方程，得4x22x11=0，解得x=（10分）又因为=（1x1，y1），=（x21，y2），解得（12分）【点评】： 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的实数的值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用21（12分）（2015沈阳一模）已知函数f（x）=alnx（a0），e为自然对数的底数（）若过点A（2，f（2）的切线斜率为2，求实数a的值；（）当x0时，求证：f（x）a（1）；（）在区间（1，e）上1恒成立，求实数a的取值范围【考点】： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】： 导数的综合应用【分析】： （）求函数的导数，根据函数导数和切线斜率之间的关系即可求实数a的值；（）构造函数，利用导数证明不等式即可；（）利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论【解析】： 【解析】：（I）函数的f（x）的导数f（x）=，过点A（2，f（2）的切线斜率为2，f（2）=2，解得a=4（2分）（）令g（x）=f（x）a（1）=a（lnx1+）；则函数的导数g（x）=a（）（4分）令g（x）0，即a（）0，解得x1，g（x）在（0，1）上递减，在（1，+）上递增g（x）最小值为g（1）=0，故f（x）a（1）成立（6分）（）令h（x）=alnx+1x，则h（x）=1，令h（x）0，解得xa（8分）当ae时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）h（1）=0（9分）当1ae时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减，只需h（x）0，即ae1（10分）当a1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）0，h（e）=a+1e0不合题意（11分）综上，ae1（12分）【点评】： 本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握导数的几何意义，函数单调性最值和导数之间的关系，考查学生的综合应用能力选修4-1：几何证明选讲22（10分）（2015沈阳一模）如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CEAB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG（）求证：C是劣弧BD的中点；（）求证：BF=FG【考点】： 与圆有关的比例线段【专题】： 计算题【分析】： （I）要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明CAB=DAC，根据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CEAB于E，我们易根据同角的余角相等，得到结论（II）由已知及（I）的结论，我们易证明BFC及GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论【解析】： 解：（I）CF=FGCGF=FCGAB圆O的直径CEABCBA=ACECGF=DGACAB=DACC为劣弧BD的中点（5分）（II）GBC=FCBCF=FB同理可证：CF=GFBF=FG（10分）【点评】： 本题考查的知识点圆周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中根据AB是圆O的直径，C