2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(全国卷I)真题精品解析.doc

20102010 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 必修必修 选修选修 II II 本试卷分第 I 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 I 卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 4 页 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第第 I I 卷卷 注意事项 1 答题前 考生在答题卡上务必用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考证号填写清楚 并贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改 动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效 3 第 I 卷共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 参考公式 参考公式 如果事件A B互斥 那么 球的表面积公式 P ABP AP B 2 4SR 如果事件A B相互独立 那么 其中 R 表示球的半径 P A BP A P B AA 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p 那么 3 3 4 VR n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中 R 表示球的半径 1 0 1 2 kkn k nn P kC ppkn 一 选择题一 选择题 1 复数 32 23 i i A i B i C 12 13i D 12 13i 答案 A 命题意图 本小题主要考查复数的基本运算 重点考查分母实数化的转化技巧 解析 32 32 23 6946 23 23 23 13 iiiii i iii 2 记cos 80 k 那么tan100 A 2 1k k B 2 1k k C 2 1 k k D 2 1 k k 答案 B 命题意图 本小题主要考查诱导公式 同角三角函数关系式等三角函数知识 并突出了 弦切互化这一转化思想的应用 解析 222 sin801 cos 801 cos 80 1 k 所以tan100tan80 2 sin801 cos80 k k 3 若变量 x y满足约束条件 1 0 20 y xy xy 则2zxy 的最大值为 A 4 B 3 C 2 D 1 4 已知各项均为正数的等比数列 n a 123 a a a 5 789 a a a 10 则 456 a a a A 5 2 B 7 C 6 D 4 2 答案 A 命题意图 本小题主要考查等比数列的性质 指数幂的运算 根式与指数式的互化等知 识 着重考查了转化与化归的数学思想 解析 由等比数列的性质知 3 1231322 5a a aa aaa A 3 7897988 a a aa aaa A10 所以 1 3 28 50a a 所以 1 333 6 456465528 50 5 2a a aa aaaa a A 5 353 12 1 xx 的展开式中 x 的系数是 A 4 B 2 C 2 D 4 A B C D A1 B1 C1 D1 O 6 某校开设 A 类选修课 3 门 B 类选择课 4 门 一位同学从中共选 3 门 若要求两类课程中各至少选一门 则不同的选法共有 A 30 种 B 35 种 C 42 种 D 48 种 7 正方体 ABCD 1111 ABC D中 B 1 B与平面 AC 1 D所成角的余弦值为 A 2 3 B 3 3 C 2 3 D 6 3 答案 D 命题意图 本小题主要考查正方体的性质 直线与平面所成的角 点到平面的距离的求法 利用等体积转化求出 D 到平面 AC 1 D的距离是 解决本题的关键所在 这也是转化思想的具体体现 8 设 a 3 log2 b In2 c 1 2 5 则 A a b c Bb c a C c a b D c b a 答案 C 命题意图 本小题以指数 对数为载体 主要考查指数函数与对数函数的性质 实数大 小的比较 换底公式 不等式中的倒数法则的应用 解析 a 3 log2 2 1 log 3 b In2 2 1 log e 而 22 log 3log1e 所以 a b c 1 2 5 1 5 而 22 52log 4log 3 所以 c a 综上 c a b 9 已知 1 F 2 F为双曲线 C 22 1xy 的左 右焦点 点 p 在 C 上 1 Fp 2 F 0 60 则 P 到 x 轴的距离为 A 3 2 B 6 2 C 3 D 6 答案 B 命题意图 本小题主要考查双曲线的几何性质 第二定义 余弦定理 考查转化的数学 思想 通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力 解析 不妨设点 P 00 xy在双曲线的右支 由双曲线的第二定义得 2 1000 12 a PFe xaexx c 2 2000 21 a PFe xexax c 由 余弦定理得 cos 1 FP 2 F 222 1212 12 2 PFPFFF PFPF 即 cos 0 60 222 00 00 12 21 2 2 2 12 21 xx xx 解得 2 0 5 2 x 所以 22 00 3 1 2 yx 故 P 到 x 轴的距离为 0 6 2 y 10 已知函数 F x lgx 若 0 a b 且 f a f b 则 a 2b 的取值范围是 A 2 2 B 2 2 C 3 D 3 11 已知圆 O 的半径为 1 PA PB 为该圆的两条切线 A B 为俩切点 那么PA PB 的 最小值为 A 42 B 32 C 42 2 D 32 2 答案 D 命题意图 本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理 着重考查最值的求法 判别式法 同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力 解析 如图所示 设 PA PB x 0 x APO 则 APB 2 PO 2 1x 2 1 sin 1x cos2PA PBPAPB 22 1 2sin x 22 2 1 1 xx x 42 2 1 xx x 令PA PBy 则 42 2 1 xx y x 即 42 1 0 xy xy 由 2 x是实数 所以 2 1 4 1 0yy 2 610yy 解得32 2y 或32 2y 故 min 32 2PA PB 此时21x 12 已知在半径为 2 的球面上有 A B C D 四点 若 AB CD 2 则四面体 ABCD 的体积的 最大值为 P A B O A 2 3 3 B 4 3 3 C 2 3 D 8 3 3 答案 B 命题意图 本小题主要考查几何体的体积的计算 球的性质 异面直线的距离 通过球这 个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力 解析 过 CD 作平面 PCD 使 AB 平面 PCD 交 AB 与 P 设点 P 到 CD 的距离为h 则有 ABCD 112 22 323 Vhh 四面体 当直径通过 AB 与 CD 的中点时 22 max 2 212 3h 故 max 4 3 3 V 绝密 启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 必修 选修 II 第 卷 注意事项 1 答题前 考生先在答题卡上用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考 证号填写清楚 然后贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 第 卷共 2 页 请用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答 在试题卷上作答无效 3 第 卷共 l0 小题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题中横线 上 注意 在试题卷上作答无效 13 不等式 2 211xx 的解集是 答案 0 2 命题意图 本小题主要考查根式不等式的解法 利用平方去掉根号是解根式不等式的基 本思路 也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致 解析 原不等式等价于 22 21 1 10 xx x 解得 0 x 2 14 已知 为第三象限的角 3 cos2 5 则tan 2 4 1 2 x y 1 x y a O 1 2 x 41 4 a y 2 yxxa 15 直线1y 与曲线 2 yxxa 有四个交点 则a的取值范围是 答案 1 5 4 命题意图 本小题主要考查函数的图像与性质 不等式的解法 着 重考查了数形结合的数学思想 解析 如图 在同一直角坐标系内画出直线1y 与曲线 2 yxxa 观图可知 a 的取值必须满足 1 41 1 4 a a 解得 5 1 4 a 16 已知F是椭圆C的一个焦点 B是短轴的一个端点 线段BF的延长线交C于点D 且BF2FD uu ruur 则C的离心率为 答案 2 3 命题意图 本小题主要考查椭圆的方程与几何性质 第 二定义 平面向量知识 考查了数形结合思想 方程思想 本题凸显解析几何的特点 数研究形 形助数 利用几 何性质可寻求到简化问题的捷径 解析 如图 22 BFbca 作 1 DDy 轴于点 D1 则由BF2FD uu ruur 得 1 2 3 OFBF DDBD 所以 1 33 22 DDOFc 即 3 2 D c x 由椭圆的第二定义得 22 33 22 acc FDea ca xO y B F 1 D D 又由 2 BFFD 得 2 3 2 c ca a 整理得 22 320caac 两边都除以 2 a 得 2 320ee 解得1 e 舍去 或 2 3 e 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算 步骤 17 本小题满分 10 分 注意 在试题卷上作答无效 已知ABCV的内角A B及其对边a b满足cotcotabaAbB 求内角 C 命题意图命题意图 本题主要考查正弦定理及特殊角的三角函数值 以及考查逻辑思维能力 运 算能力 同时转化与化归的思想 方程思想 点评点评 解斜三角形实际属于三角函数的范畴 以三角函数的考查有五种基本题型 考查 纯三角函数 考查三角函数与平面向量的交汇 解斜三角形 解斜三角形与向量的交汇 三角变换及求值与解斜三角形的交汇 每年对这方面的考查往往是轮番出现 备考注意这 几个方面的强化训练 18 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 投到某杂志的稿件 先由两位初审专家进行评审 若能通过两位初审专家的评审 则予以录用 若两位初审专家都未予通过 则不予录用 若恰能通过一位初审专家的 评 审 则再由第三位专家进行复审 若能通过复审专家的评审 则予以录用 否则不予 录 用 设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0 5 复审的稿件能通过评审的概率为 0 3 各专家独立评审 I 求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率 II 记X表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数 求X的分布列及期望 答案 解 解 记 A 表示事件 稿件能通过两位初审专家的评审 B 表示事件 稿件恰能通过一位初审专家的评审 C 表示事件 稿件能通过复审专家的评审 期望4 0 41 6EX 命题意图 本题主要考查等可能性事件 互斥事件 独立事件 相互独立试验 分布 列 数学期望等知识 以及运用概率知识解决实际问题的能力 考查分类与整合思想 化归与转化思想 19 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 如图 四棱锥 S ABCD 中 SD 底面 ABCD AB DC AD DC AB AD 1 DC SD 2 E 为棱 SB 上的一点 平面 EDC 平面 SBC 证明 SE 2EB 求二面角 A DE C 的大小 故BK 平面ED C SBCBKDE DE 与平面内的两条相交直线BK BC都垂直 SBC DEEC DESBDE 平面 22 6 SBSDDB 2 3 SD DB DE SB A 22 62 6 33 EBDBDESESBEB 所以 2SEEB 由 22 5 1 2 SASDADABSEEB ABSA 知 22 12 1 AD 1 33 AESAAB 又 故ADE 为等腰三角形 取ED中点 F 连接AF 则 22 6 3 AFDE AFADDF 连接FG 则 FGEC FGDE 所以 AFG 是二面角ADEC 的平面角 连接 AG AG 2 22 6 3 FGDGDF 222 1 cos 22 AFFGAG AFG AF FG AA 所以 二面角ADEC 的大小为 120 解法二 解法二 由 mDE mDC 得 0mDE 0mDC 故 2 0 20 111 xyz y 令2x 则 2 0 m 由平面DECSBC 平面得 0 20 2mn m n A 故2SEEB 由 知 2 2 2 3 3 3 E 取DE中点 F 则 1 1 1 3 3 3 F 211 333 FA 故0FA DE A 由此得FADE 又 2 42 3 33 EC 故0 EC DE A由此得ECDE 向量FA 与EC 的夹角等于二面角ADEC 的平面角 于是 1 cos 2 FA EC FA EC FA EC A 所以 二面角ADEC 的大小为 120 命题意图 本小题主要考查空间直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系 二 面角等基础知识 考查空间想象能力 推理论证能力和运算能力 20 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 已知函数 1 ln1f xxxx 若 2 1xfxxax 求a的取值范围 证明 1 0 xf x 答案 11 ln1ln x fxxx x ln1xfxxx 题设 2 1xfxxax 等价于ln xxa 令 lng xxx 则 1 1g x x 当01x 0g x 当1x 时 0g x 1x 是 g x的最大值点 1 1g xg 综上 a的取值范围是 1 有 知 1 1g xg 即ln1 0 xx 当01x 时 1 ln1ln ln1 0f xxxxxxxx 当1x 时 ln ln1 f xxxxx 1 ln ln1 xxx x 11 ln ln1 xx xx 0 所以 1 0 xf x 命题意图 本小题主要考查函数 导数 不等式证明等知识 通过运用导数知识解决函数 不等式问题 考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力 同时也考查了函 数与方程思想 化归与转化思想 21 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 已知抛物线 2 4C yx 的焦点为 F 过点 1 0 K 的直线l与C相交于A B两点 点 A 关于x轴的对称点为 D 证明 点 F 在直线 BD 上 设 8 9 FA FB A 求BDK 的内切圆 M 的方程 所以点 1 0 F在直线BD上 由 知 2 1212 1 1 42xxmymym 1212 1 1 1 x xmymy 因为 11 1 FAxy uu r 22 1 FBxy uur 2 12121212 1 1 1484FA FBxxy yx xxxm uu r uur 故 2 8 84 9 m 解得 4 3 m 所以l的方程为 3430 34