重庆市中考数学 第二部分 题型研究 二、解答题重难点突破 题型四 三角形 四边形的证明与计算课件.ppt

二 解答题重难点突破 第二部分题型研究 目录 题型四三角形 四边形的证明与计算 类型一有等腰直角三角 通常作底边上的高 中线或顶角的平分线 类型二有直角三角形 通常作斜边上的中线 类型三截长补短 类型四构建适宜的三角形或四边形 类型五有角平分线 作到角两边的垂线 第二部分题型研究 二 解答题重难点突破 类型一有等腰直角三角形 通常作底边上的高 中线或顶角的平分线 题型四三角形 四边形的证明与计算 典例精讲 例已知 四边形abcd是正方形 点p在直线bc上 点g在直线ad上 p g不与正方形顶点重合 且在cd的同侧 pd pg df pg于点h df交直线ab于点f 将线段pg绕点p逆时针旋转90 得到线段pe 连接ef 1 如图 当点p与点g分别在线段bc与线段ad上时 若pc 1 计算出dg的长 例题图 2 如图 当点p与点g分别在线段bc与线段ad上时 证明 四边形dfep为菱形 3 如图 当点p与点g分别在线段bc与线段ad的延长线上时 2 的结论 四边形dfep为菱形是否依然成立 若成立 请给出证明 若不成立 请说明理由 例题图 1 思路分析 作pm dg于点m 根据等腰三角形的性质由pd pg得mg md 根据矩形的判定定理易得四边形pcdm为矩形 则pc md 于是有dg 2pc 解 作pm dg于点m 如解图 pd pg mg md 四边形abcd为正方形 四边形pcdm为矩形 pc md dg 2pc 2 例题解图 m 2 思路分析 根据四边形abcd为正方形得ad ab 由四边形abpm为矩形得ab pm 则ad pm 再利用等角的余角相等得到 gdh mpg 于是可根据 asa 证明 adf mpg 得到df pg 加上pd pg 得到df pd 然后利用旋转的性质得 epg 90 pe pg 所以pe pd df 再利用df pg得到df pe 于是可判断四边形dfep为平行四边形 加上df pd 则可判断四边形dfep为菱形 解 四边形abcd为正方形 ad ab 四边形abpm为矩形 ab pm ad pm df pg dhg 90 gdh dgh 90 mgp mpg 90 gdh mpg 在 adf和 mpg中 a gmp ad mp adf mpg adf mpg asa df pg 而pd pg df pd 线段pg绕点p逆时针旋转90 得到线段pe epg 90 pe pg pe pd df 而df pg df pe 即df pe 且df pe 四边形dfep为平行四边形 df pd 四边形dfep为菱形 3 思路分析 与 2 的证明方法一样可得到四边形dfep为菱形 解 四边形dfep是菱形 理由如下 作pm dg于点m 如解图 与 2 一样同理可证 adf mpg df pg 而pd pg df pd 线段pg绕点p逆时针旋转90 得到线段pe epg 90 pe pg pe pd df 例题解图 m 而df pg df pe 即df pe 且df pe 四边形dfep为平行四边形 df pd 四边形dfep为菱形 第二部分题型研究 二 解答题重难点突破 题型四三角形 四边形的证明与计算 类型二有直角三角形 通常作斜边上的中线 典例精讲 例某数学活动小组在作三角形的拓展图形 研究其性质时 经历了如下过程 1 在等腰 abc中 ab ac 分别以ab ac为斜边 向 abc的外侧作等腰直角三角形 如图 所示 其中df ab于点f eg ac于点g m是bc的中点 连接md和me 求证 af ag ab md me 例题图 2 在任意 abc中 仍分别以ab ac为斜边 向 abc的内侧作等腰直角三角形 如图 所示 m是bc的中点 连接md和me 试判断 mde的形状 直接写答案 不需要写证明过程 例题图 例题图 3 在任意 abc中 分别以ab ac为斜边 向 abc的外侧作等腰直角三角形 如图 所示 m是bc的中点 连接md和me 则md与me有怎样的数量关系 1 思路分析 由等腰直角三角形的性质可以得出f g分别是ab ac的中点 就可以得出fm gm是 abc的中位线 就可以得出 bfm bac cgm 就可以得出 dfm egm从而得出结论 证明 adb aec是等腰直角三角形 df ab于点f eg ac于点g df af ab eg ag ac dfb egc 90 m是bc的中点 fm gm是 abc的中位线 fm ac gm ab fm ac gm ab bfm bac bac cgm bfm cgm bfm dfb cgm egc dfm egm ab ac ab ac af ag ab df eg fm gm 在 dfm和 egm中 df eg dfm egmfm gm dfm egm sas md me 2 思路分析 取bc ab ac的中点m f g 连接df mf eg mg df和mg相交于h 根据三角形的中位线的性质及直角三角形斜边中线的性质可以得出 dfm mge 由全等三角形的性质就可以得出结论 解 如解图 取bc ab和ac的中点m f g 连接mf df mg eg df和mg相交于h mf ac mf ac mg ab mg ab 四边形mfag是平行四边形 mg af mf ag afm agm adb和 aec是等腰直角三角形 df af ge ag afd bfd age 90 mf eg df mg afm afd agm age 例题解图 f g h 即 dfm mge 在 dfm和 mge中 fm ge dfm mge df mg dfm mge sas md me mdf emg mg ab mhd bfd 90 3 思路分析 取ab ac的中点f g 连接df mf eg mg 根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出四边形afmg是平行四边形 从而得出 dfm mge 根据其性质就可以得出结论 hmd mdf 90 hmd emg 90 即 dme 90 dme为等腰直角三角形 例题解图 解 md me 理由 如解图 取ab ac的中点f g 连接df mf eg mg af ab ag ac abd和 aec是等腰直角三角形 df ab df ab eg ac eg ac afd age 90 df af ge ag m是bc的中点 mf ac mg ab f g 四边形afmg是平行四边形 ag mf mg af afm agm mf eg df mg afm afd agm age dfm mge 在 dfm和 mge中 fm ge dfm mgedf mg dfm mge sas dm me 第二部分题型研究 二 解答题重难点突破 题型四三角形 四边形的证明与计算 类型三截长补短 典例精讲 例 2015本溪 如图 在 abc中 ab ac 射线bp从ba所在位置开始绕点b顺时针旋转 旋转角为 0 180 1 当 bac 60 时 将bp旋转到图 位置 点d在射线bp上 若 cdp 120 证明 bd cd ad 例题图 例题图 2 当 bac 120 时 将bp旋转到图 位置 点d在射线bp上 若 cdp 60 求证 bd cd ad 3 将图 中的bp继续旋转 当30 180 时 点d是直线bp上一点 点p不在线段bd上 若 cdp 120 试猜想 线段bd cd与ad之间的数量关系 并证明 例题图 1 思路分析 如解图 cdp 120 根据邻补角互补得出 cdb 60 那么 cdb bac 60 所以a b c d四点共圆 根据圆周角定理得出 acd abd 在bp上截取be cd 连接ae 利用sas证明 dca eba 得出ad ae dac eab 再证明 ade是等边三角形 得到de ad 进而得出bd cd ad 证明 如解图 cdp 120 cdb 60 bac 60 cdb bac 60 a b c d四点共圆 acd abd 在bp上截取be cd 连接ae 在 dca与 eba中 ac ab acd abecd be dca eba sas 例题解图 e ad ae dac eab cab cae eab 60 dae cae dac 60 ade是等边三角形 de ad bd be de bd cd ad 2 思路分析 如解图 设ac与bd相交于点o 在bp上截取be cd 连接ae 过a作af bd于f 先由两角 对应相等的两三角形相似得出 doc aob 于是 acd abe 再利用sas证明 dca eba 得出ad ae dac eab 由 cab cae eab 120 得出 dae 120 根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出 ade aed 30 解rt adf 得到df ad 那么de 2df ad 进而得出bd de be ad cd 即bd cd ad 证明 如解图 设ac与bd相交于点o 在bp上截取be cd 连接ae 过a作af bd于f cdp 60 cdb 120 cab 120 cdb cab doc aob doc aob acd abe 例题解图 e f o 在 dca与 eba中 ac ab acd abe cd be dca eba sas ad ae dac eab cab cae eab 120 dae 120 ade aed 30 在rt adf中 adf 30 df ad de 2df ad bd de be ad cd bd cd ad 3 思路分析 同 2 证明可以得出bd cd ad 解 猜想 bd cd ad或cd bd ad 证明 如解图 在db的延长线上取be cd 连接ae 过a作af be于f 由三角形外角性质得 cbe cdb bcd 60 bcd 又 cbe abc abe 30 abe abe 30 bcd acb bcd acd ac ab cd be acd abe sas eab dac ae ad eab bad bad dac 120 ade 30 de 2df 2adcos adf ad ad bd be bd cd 例题解图 f e 如解图 当点p在db的延长线上 在cd上截取ce bd 连接ae 过a作af cd于f 易得 ace abd ae ad cae bad ead cae eab cab 120 在rt daf中 fd adcos adf ad ed 2fd ad cd bd ad 例题解图 e f 第二部分题型研究 二 解答题重难点突破 题型四三角形 四边形的证明与计算 类型四构建适宜的三角形或四边形 典例精讲 例 2015营口 1 如图 锐角 abc中分别以ab ac为边向外作等腰 abe和等腰 acd 使ae ab ad ac bae cad 连接bd ce 试猜想bd与ce的大小关系 并说明理由 例题图 例题图 2 如图 四边形abcd中 ab 7cm bc 3cm abc acd adc 45 求bd的长 3 如图 在 2 的条件下 当 acd在线段ac的左侧时 求bd的长 例题图 解 bd ce 理由如下 bae cad bae bac cad bac 即 eac bad 在 eac和 bad中 ae ab eac badac ad 1 思路分析 先通过角度间的等量代换证明 eac bad 再根据sas即可证明 eac bad 由全等三角形的性质即可证明bd ce eac bad sas bd ce 2 思路分析 在 abc的外部 以点a为直角顶点作等腰直角三角形bae 使 bae 90 ae ab 连接ec 证明 eac bad 证明bd ce 然后在直角三角形bce中利用勾股定理即可求解 解 如解图 在 abc的外部 以点a为直角顶点作等腰直角三角形bae 使 bae 90 ae ab 连接ec acd adc 45 ac ad cad 90 bae bac cad bac 即 eac bad 在 eac和 bad中 ae ab eac badac ad eac bad sas bd ce 例题解图 e ae ab 7 be 7 abe aeb 45 又 abc 45 abc abe 45 45 90 ce bd ce cm 3 思路分析 在线段ac的右侧过点a作ae ab于点a 交bc的延长线于点e 证明 eac bad 证明bd ce 即可求解 例题解图 解 如解图 在线段ac的右侧过点a作ae ab于点a 交bc的延长线于点e ae ab bae 90 又 abc 45 e abc 45 ae ab 7 be 又 acd adc 45 bae dac 90 ac ad e bae bac dac bac 即 eac bad 在 eac和 bad中 ae ab eac bad ac ad eac bad sas bd ce bc 3 bd ce cm 第二部分题型研究 二 解答题重难点突破 题型四三角形 四边形的证明与计算 类型五有角平分线 作到角两边的垂线 典例精讲 例 2014重庆a卷 如图 abc中 bac 90 ab ac ad bc 垂足是d ae平分 bad 交bc于点e 在 abc外有一点f 使fa ae fc bc 1 求证 be cf 2 在ab上取一点m 使bm 2de 连接mc 交ad于点n 连接me 求证 me bc de dn 例题图 1 思路分析 要证be cf 通过观察图形 得其分别在 abe与 acf中 由于 abe与 acf分别有一组边相等 ab ac 且be cf的对应角都与直角有关 bac eaf 90 因此 可考虑通过证明 abe与 acf全等后 再进一步利用全等三角形的性质证明be cf 证明 如解图 bac 90 fa ae 1 eac 90 例题解图 2 eac 90 1 2 又