82消元——二元一次方程组的解法

篮球联赛中 每场都要分出胜负 每队胜一场得2分 负一场得1分 某队为了争取较好的名次 想在全部的22场比赛中得到40分 那么这个队胜负应该分别是多少 新课导入 解法二 设胜x场 则负 22 x 场 则有2x 22 x 40 解得x 18 y 4 解法一和解法二中的方程式有什么联系吗 方程式 x y 22写成y 22 x 代入方程式 中 可以得到方程式 1 熟练地解二元一次方程组 2 了解消元的思想方法 设法消去方程中的一个未知数 把 二元 变成 一元 3 灵活运用代入消元法 加减消元法解方程组 4 会用加减法求未知数系数相等或互为相反数的二元一次方程组的解 知识与能力 教学目标 通过探求二元一次方程组的解法 经历用加减法把 二元 化为 一元 的过程 体会消元的思想 以及把 未知 转化为 已知 把复杂问题转化为简单问题的化归思想 过程与方法 情感态度与价值观 1 通过研究解决问题的方法 培养合作交流意识与探究精神 2 体会代入消元法和化未知为已知的数学思想 二元一次方程组的解法 代入消元法和加减消元法 以及列出二元一次方程组解简单的实际问题 二元一次方程的解的不确定性 二元一次方程组解的意义 列出二元一次方程组解简单的实际问题 重点 难点 教学重难点 消元思想 消去二元一次方程组中的一个未知数 把它转化为一元一次方程进行求解 这种将未知数的个数由多化少 逐一解决的思想 叫消元思想 知识要点 把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来 再代入另一个方程 实现消元 进而求得这个二元一次方程组的解 这种方法叫代入消元法 简称代入法 4x 2y 1 用含有x的式子表示y的形式是y 用含有y的式子表示x的形式是x 8 2 1代入消元法 例1用代入法解方程组 1 选取一个方程 将它写成用一个未知数表示另一个未知数 记作方程 2 把 代人另一个方程 得一元一次方程 3 解这个一元一次方程 得一个未知数的值 4 把这个未知数的值代人 求出另一个未知数值 从而得到方程组的解 代入消元法解二元一次方程组的过程 知识要点 二元一次方程组 一元一次方程 一元一次方程的解 二元一次方程组的解 代入消元法 化多为少 由繁至简 各个击破 逐一解决 的转化的数学思想 转化 代入消元法解二元一次方程组的过程框图 例3两个完全相同的纸杯中盛有相同重量的水 现将第一个纸杯中的若干重量的水倒入第二个纸杯中 称得第一个纸杯重50克 第二个纸杯重90克 纸杯本身的重量忽略不计 问原来纸杯中各盛有多少克水 从第一个纸杯中倒了多少克水到第二个纸杯中 解 设原来纸杯中盛有x克水 从第一个纸杯中倒入第二个纸杯中的水为y克 根据题意 得 由 得x y 50 把 代入 得y 50 y 90 解这个方程 得y 20 把y 20代入 得x 70 所以这个方程组的解是 答 原来纸杯中盛有70克水 从第一个纸杯中倒入第二个纸杯中的水为20克 得 x y x y 50 90 则有2x 50 90所以x 70 或者 得 x y x y 90 50 则有2y 40所以y 20 上述方程的另一种解法是 8 2 2加减消元法 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时 把两个方程两边分别相加 或相减 消去一个未知数 把二元一次方程组转化为一元一次方程 这种方法叫做加减消元法 简称加减法 解 得 9y 18 y 2 把y 2代入 得 3x 5 2 5 解得 x 5 所以这个方程组的解是 例4用加减法解方程组 解这个方程得 解 得 7x 14 x 2 把x 2代入 得 3 2 7y 27 6 7y 27 y 3 所以这个原方程组的解是 例6用加减法解方程组 解 2 得8x 10y 46 5 得25x 10y 20 得33x 66x 2 把x 2代入 得5 2 2y 4 y 3 解 原方程组变形为 得 2y 2y 1 把y 1代入 得x 2 解 由 6 得 3x 2y 9 由 15 得 5x 3y 15 例8用加减法解方程组 得19x 57x 3 把x 3代入 得 组成一个新的方程组 3 得9x 6y 27 2 得10 x 6y 30 3 3 2y 9y 0 当方程组中同一未知数的系数的绝对值不相等时 必须用等式性质来改变方程组中方程的形式 得到与原方程组同解的且某未知数系数的绝对值相等的新的方程组 从而为加减消元法解方程组创造条件 主要步骤 基本思路 写解 求解 加减 二元变一元 加减消元 消去一个元 求出两个未知数的值 写出方程组的解 加减消元法解方程组基本思路和主要步骤 变形 同一个未知数的系数相同或互为相反数 解 得 3k 6 y 0即 2 k y 0 1 当k 2时 y 0 2 当k 2时 则k 2 0 2 k y 0恒成立原方程组有无数组解 把y 0代入 得 4x 1 例11已知4 5x 3y 23 5 x 4y 8 2 0 求x y的值 解 由题知 解这个方程组 得 所以x y 4 1 3 例12已知4x3a b 3 3y2a b 2 是关于x y的二元一次方程 试求a b的值 解 根据题意 得 解 得 解 由已知得 例13已知 3x 2y 8z 0 2x y 10z 0 且x y z均不为零 求的值 解得 把x 4z y 2z代入所求代数式 解得 例13当x 2与x 3时 代数式2x2 ax b的值都是9 求a b的值 解 把x 2 x 3代入2x2 ax b 得 即 解 得 解 若方程组的解互为相反数 则有y x 将y x代入原方程组 得 解 得 当a 3时 原方程组中的解互为相反数 即 例15m n为何值时 5x4m ny3m 2n与3x5y6m是同类项 解 根据同类项的定义 有 解 得 1 代入消元法解二元一次方程组 对于用代入法解未知数系数的绝对值不是1的二元一次方程组 解题时应选择未知数的系数绝对值比较小的一个方程进行变形 这样运算简便 课堂小结 用加减法解二元一次方程组的思想 二元 消元转化为 一元 条件 某一未知数系数绝对值相等 2 用加减消元法解二元一次方程组 2 若 x 2y 3 2 2x y 3 2 0 则x y的值是x y 1 1 3 已知 x y 5 2x 3y 10 2 0 则x y 1 4 随堂练习 4 己知 则方程组的解是 x 2 y 3 5 已知 3m 2n 16 2与 3m n 1 互为相反数 则m 2n 12 6 若方程 a2 9 x2 2 4a x a 4 y 3a 5 0是二元一次方程 则a的值为 3 7 已知5a3xb2x y和 9a8 yb7是同类项 则2xy 6 2 3 9 下列方程组中 x y 4 2 10 已知方程组 且x y 2 则m2 2m 5的值是 11 当m 时 方程组有一组解 8 12 已知方程组