对数平均数的不等式链的几何解释及应用

精品文档 1欢迎下载 对数平均数的不等式链的几何解释及应用对数平均数的不等式链的几何解释及应用 中学数学教育专家安振平先生在剖析 2014 年陕西高考数学试题时指出 其压轴题的理论背景是 设则 其中被称之为对数平均数 0 a bab 2lnln abab ab ab lnln ab ab 童永奇老师构造函数 借助于导数证明了对数平均数的上述不等式 难度较大 为此 我作了深入 地探讨 给出对数平均数的不等关系的几何解释 形象直观 易于理解 1 1 对数平均数的不等关系的几何解释对数平均数的不等关系的几何解释 反比例函数的图象 如图所示 轴 1 0f xx x APBCTUKV MNCDx 作在点处的切线分别与 0 A a 1 P a a 1 0 B bQ b b 1 Tab ab f x 2 2 ab K ab 交于 根据左图可知 AP BQ E F 因为 ABNMABQPABFE SSS 矩形曲边梯形梯形 所以 12 lnln b a dxbaba xab 精品文档 2欢迎下载 又 1 lnln ab AUTP a Sdxaba x 曲边梯形 11 lnln 22 ABQP baS 曲边梯形 1 1111 222 AUTPABCD ba SabaS aabab 梯形梯形 根据右图可知 所以 AUTPAUTP SS 曲边梯形梯形 lnln ba ba ab 另外 可得 ABQXABYPABQPABQP SSSS 矩形矩形曲边梯形梯形 11 111 lnln 2 babababa baba 综上 结合重要不等式可知 211 111 lnln 2 baba babababa bababaab 2 2 不等式链的应用不等式链的应用 对数平均数的不等式链 提供了多种巧妙放缩的途径 可以用来证明含自然对数的不等式问题 对 数平均数的不等式链包含多个不等式 我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目 的 2 12 1 的应用的应用 0 lnln ba ba a ba 例例 1 1 2014 年陕西 设函数 其中是的导函 1ln xxf g xxfx fx xf 数 1 2 略 精品文档 3欢迎下载 3 设 比较与的大小 并加以证明 Nn 12ggg n nf n 解析解析 3 因为 1 x g x x 所以 12111 12 231231 n ggg nn nn 而 因此 比较与的大小 即只需比 ln1nf nnn 12ggg n nf n 较与的大小即可 1 1 3 1 2 1 n ln1n 根据时 即0ba lnln ba b ba 1 lnln baba b 令则 1 an bn 1 ln1ln 1 nn n lnln ba a ba 1 lnln baba a 1 an bn 则可得 1 ln1ln nn n 111 ln11 23 n n lnln ba b ba 1 lnln baba b 令则21 21 anbn 22 ln 21ln 21 21121 nn nn 2 ln3ln1 3 2 ln5ln3 5 2 ln7ln5 7 L 2 ln 21ln 21 211 nn n 例例 3 3 设数列的通项 其前项的和为 证明 n a 1 11 n a n n n n S ln1 n Sn 解析解析 根据时 即 0ba 22 2lnln abba ba 22 2 lnln ba ba ab 令则1 bnan 2 2 2 ln1ln 1 nn nn 2 2 221nn 精品文档 5欢迎下载 易证 2 2 222 n a nn ln1 n Sn 2 32 3 的应用的应用 0 2lnln abba ba ba 例例 4 4 设数列的通项 证明 n a 111 1 23 n a n ln 21 n an 解析解析 根据时 即 0ba 2lnln abba ba 2 lnln ba ba ab 令则 易证 21 21 bnan 1 ln 21ln 21nn n ln 21 n an 2 42 4 的应用的应用 2 0 11 lnln ba ba ba ab 例例 5 5 2010 年湖北 已知函数的图象在点处的切线方程为 0 b f xaxc a x 1 1f 1yx 1 用表示出 2 略 a b c 3 证明 111 1ln11 2321 n nn nn L 解析 1 1 12baca 3 当时 即 0ba 2 11 lnln ba ba ab 1 11 lnln 2 baba ab 令则 1 an bn 1 11 ln1ln 21 nn nn 精品文档 6欢迎下载 所以 1 11 ln2ln1 2 12 1 11 ln3ln2 2 23 L 1 11 ln1ln 21 nn nn 将以上各不等式左右两边分别相加得 111111 ln1 223421 n nn L 即 111111 ln11 234212 n nn L 例例 6 6 2013 年新课标 已知函数 1 ln 1 1 xx f xx x 1 若时 求的最小值 0 x 0 f x 2 设数列的通项 证明 n a 111 1 23 n a n 2 1 ln2 4 nn aa n 解析解析 1 易得 2 2 1 2 00 1 xx ffx x 令则 0 fx 1 2 0 xx 若 则当时 是增函数 不符合题意 若0 0 x 0 fxf x 00 f xf 则当时 是增函数 不符合题意 1 0 2 1 2 0 x 0 fxf x 00 f xf 若 则当时 是减函数 符合题意 1 2 0 x 0 fxf x 00 f xf 精品文档 7欢迎下载 综上 的最小值是 1 2 2 当时 即 0ba 2 11 lnln ba ba ab 1 11 lnln 2 baba ab 令则 1 an bn 1 11 ln1ln 21 nn nn 所以 1 11 ln1ln 21 nn nn 111 ln2ln1 212 nn nn 111 ln3ln2 223 nn nn L 111 ln2ln 21 2 212 nn nn 将以上各不等式左右两边分别相加得 1 122221 ln2ln 2123212 nn nnnnnn L 即 111111 ln2 2123214nnnnnn 例例 7 7 2014 福建预赛 已知 1 ln 1 31 1 f xaxx x 1 略 2 求证 对一切正整数均 2222 23411 ln 21 4 114 214 31414 n n n n 成立 解析解析 2 根据时 即0ba lnln ba ab ba lnln ba ba ab 令则21 21 bnan 2 2 ln 21ln 21 41 nn n 变形可得 则 2 22 2 11 11 42 ln 21ln 21 44141 41 n n nn nn n 2 12 ln3ln1 44 11 2 13 ln5ln3 4421 L 2 11 ln 21ln 21 441 n nn n 将以上各不等式左右两边相加得 对一切正整数均成立 2222 23411 ln 21 4 114 214 31414 n n n n 评注评注 本题提供标准答案是借助于第一问的的最小值时 即 a2a 1 2ln 1 310 1 xx x 1 312ln1 1 xx x 精品文档 9欢迎下载 结合待证不等式的特征 令 得 2 21 xkN k 122 312ln 1 2 2121 1 21 kk k 整理得 即 借此作为放缩的途径达到 2 8821 2ln 4121 kk kk 2 11 ln 21ln 21 414 k kk k 证明的目的 你能注意到两种方法的区别吗 对数平均数的不等式链的运用是近几年数学竞赛 名校模拟数学试题 高考数学真题的理论背景 正如罗增儒教授指出 通过有限的典型考题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智 这里