第九章内积空间ppt课件.ppt

第九章欧几里得空间 定义 设V是R上线性空间 存在映射 使得对任意x y z V c R 有 1 x y y x 2 x y z x z y z 3 cx y c x y 4 x x 0 且等号成立当且仅当x 0 则称在V上定义内积 V称为内积空间 有限维实内积空间称为Euclid空间 欧氏空间 定义 设V是C上线性空间 存在映射 使得对任意x y z V c C 有 1 2 x y z x z y z 3 cx y c x y 4 x x 0 且等号成立当且仅当x 0 则称在V上定义内积 V称为复内积空间 有限维复内积空间称为酉空间 注1 对任意实数a 所以复内积空间与实内积空间的定义是一致的 统称为内积空间 注2 在复内积空间中 定义 设V实内积空间 设x y V 定义x的长度为 定义x与y的距离为 当V是实空间时 定义x y的夹角 的余弦为 当V是复空间时 定义x y的夹角 的余弦为 当 x y 0时 称x与y正交 记x y 定理 设V是实的或复的内积空间 设x y V c为常数 实数或复数 则 1 2 Cauchy Schwarz不等式 3 三角不等式 标准正交基 1 定义 设e1 e2 en是n维内积空间V的一组基 若 ei ej 0 i j 则称这组基是V的一组正交基 若 ei ej ij 则称这组基是V的一组标准正交基 注 设e1 e2 en是n维内积空间V的一组标准正交基 则对任意x V 有X x e1 e1 x e2 e2 x en en引理 内积空间V中任意一组两两正交的非零向量必线性无关 标准正交基 2 定理 设V是内积空间 m是V中m个线性无关的向量 则在V中存在两两正交的向量 1 2 m 使得L m L 1 2 m 推论 任意n维内积空间有一组标准正交基 注 标准正交基可以简化内积的运算 度量矩阵 设V是n维欧氏空间 n是V的一组基 令由内积定义知G是一个实对称矩阵 设则 x y x1 xn G y1 yn X GY这里X x1 xn Y y1 yn 因为当x 0时 x x 0 所以 是正定阵 注1 R上n维线性空间的内积 实正定矩阵 注2 当 n为正交基时 G为对角阵 当 n为标准正交基时 G为单位阵 正交补 定义 设U是内积空间V的子空间 令U v V v u 0 对任意u U 则U 是V的子空间 称为U的正交补空间 定理 设 是n维内积空间 U是 的子空间 则 1 V UU 2 V上任意一组标准正交向量可扩为V的标准正交基 正交矩阵 1 设u1 u2 un和v1 v2 vn是n维欧氏空间V的两个标准正交基 T是从基v1 v2 vn到u1 u2 un的过渡矩阵 即 u1 u2 un v1 v2 vn T 则由于 故有T T I 定义 实n阶方阵T称为正交阵 如果T 1 T 注1 设v1 v2 vn是维欧氏空间的一个标准正交基 T是正交阵 且有 u1 u2 un v1 v2 vn T 则u1 u2 un是V的标准正交基 注2 T是正交阵T的列向量是标准内积空间的标准正交基 正交矩阵 2 例 1 单位阵是正交阵 2 实对角阵是正交阵的充分必要条件是对角元素为 1 3 上 下 三角阵是正交阵的充分必要条件是它是对角阵且对角元素为 1 4 是正交阵 正交矩阵 3 命题 设T S为正交阵 则 1 T可逆且T 1为正交阵 2 T 为正交阵 3 T为正交阵 4 TS为正交阵 5 T 1 6 T的特征值的模长为1 伴随 1 设V是数域K上线性空间 从V到K的线性映射称为线性函数 设V是n维欧氏空间 内积为 固定0 v V 则是V上线性函数 反之 任一线性函数均可由上面方式实现 引理 设f是n维欧氏空间V的线性函数 则必存在V上唯一向量v 使对任意x V 均有f x x v 定理 设 是n维欧氏空间V的线性变换算子 则存在一线性变换算子 使得对任意u v V 有 u v u v 注 称为 的伴随变换 伴随 2 定理 设u1 u2 un是n维欧氏空间V的一组标准正交基 若V的线性变换 在这组基下的矩阵为A 则 的伴随算子 在这组基下的矩阵为A 定理 设 是n维内欧氏空间V的两个线性变换 c为常数 则 1 2 c c 3 4 正交算子 1 引理 设 是维欧氏空间V到W的线性映射 则下列条件等价 1 保持内积 x y x y 2 保持范数 x 3 保持距离 d x y d x y 定义 设V W是n维欧氏空间是线性映射 如果 是线性空间同构且保持内积 即 x y x y 则称 是欧氏空间的同构 记 正交算子 2 引理 设V W是n维欧氏空间 是线性映射 则下列条件等价 1 保持内积 2 保持范数 3 保持距离 4 是欧氏空间同构 5 将V的任一组标准正交基变成W的标准正交基 6 将V的某一组标准正交基变成W的标准正交基 定理 设V W是有限维欧氏空间 则的充分必要条件是dimV dimW 注1 欧氏空间的同构是等价关系 注2 任意n维欧氏空间都同构于标准内积空间Rn 正交算子 3 定义 n维欧氏空间保持内积的线性算子称为正交算子 定理 设 是n维欧氏空间V的线性变换 则下列条件等价 1 是正交算子 2 保持距离 3 保持范数 4 是V的自同构 5 可逆且 1 6 将V的任意标准正交基变为另一个标准正交基 7 将V的一组标准正交基变为另一个标准正交基 8 在V的任意标准正交基下的矩阵是正交阵 9 在V的某组标准正交基下的矩阵是正交阵 正交相似 1 设 是n维欧氏空间V上正交算子 u1 un和v1 vn分别是V的标准正交基 v1 vn u1 un T u1 un u1 un A v1 vn v1 vn B 则B T 1AT T AT 定义 设A B Rn n 若存在正交阵T 使T 1AT T AT B 则称A B是正交相似的 正交相似 2 注1 设A B Rn n 则A与B是正交相似的充分必要条件是A B是n维欧氏空间V上同一个线性算子在不同标准正交基下的矩阵 注2 正交相似是Rn n的等价关系 注3 设A与B正交相似 A是正交阵 则B也是正交阵 正交算子 4 引理 设A为正交阵 a ib为A的一个复特征值 b 0 u i 为对应的特征向量 则 且 定理 设A为正交阵 则存在正交阵T 使T 1AT 定理 设 是n维欧氏空间V的正交算子 则存在一组标准正交基 使得 在此基下的矩阵是 对称算子 1 定义 设V是n维欧氏空间 是V的线性算子 如果 则称 是自伴随算子 对称算子 定理 设 是n维欧氏空间V的线性算子 则下列条件等价 1 是对称算子 2 3 在V的任一组标准正交基下的矩阵是对称阵 4 在V的某一组标准正交基下的矩阵是对称阵 定义 设V是C上线性空间 存在映射 使得对任意x y z V c C 有 1 2 x y z x z y z 3 cx y c x y 4 x x 0 且等号成立当且仅当x 0 则称在V上定义内积 V称为复内积空间 有限维复内积空间称为酉空间 注1 对任意实数a 所以复内积空间与实内积空间的定义是一致的 统称为内积空间 注2 在复内积空间中 对称算子 2 定理 设 是n维欧氏空间V上对称算子 则 的特征值全为实数且属于不同特征值的特征向量互相正交 定理 设A A Rn n 则A的特征值全为实数且属于不同特征值的特征向量互相正交 引理 设 是n维欧氏空间V上对称算子 U是 不变子空间 则U 也是 不变子空间 定理 设 是n维欧氏空间V上对称算子 则存在V的一组标准正交基 使 在这组标准正交基下的矩阵是对角阵 定理 设A A Rn n 则存在正交阵T 使T 1AT T AT为对角阵 且对角线元素为A的特征值 对称算子 3