高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第一节 空间几何体及其三视图、直观图、表面积与体积课件 理.ppt

第一节空间几何体及其三视图 直观图 表面积与体积 总纲目录 教材研读 1 空间几何体的结构特征 考点突破 2 空间几何体的三视图 3 空间几何体的直观图 考点二空间几何体的三视图与直观图 考点一空间几何体的结构特征 4 柱 锥 台 球的表面积和体积 考点三空间几何体的表面积与体积 教材研读 1 空间几何体的结构特征 2 空间几何体的三视图 1 三视图的形成与名称 i 形成 空间几何体的三视图是由平行投影得到的 在这种投影之下 与投影面平行的平面图形留下的影子 与平面图形的 形状和 大小是完全相同的 ii 名称 三视图包括 正视图 侧视图 俯视图 2 三视图的画法 i 在画三视图时 重叠的线只画一条 被挡住的线要画成虚线 ii 三视图的正视图 侧视图 俯视图分别是从几何体的正前方 正左方 正上方观察到的几何体的正投影图 3 空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画 其规则如下 1 原图形中x轴 y轴 z轴两两垂直 原点为o 直观图中 相应的x 轴 y 轴满足 x o y 45 或135 o 为原点 z 轴与x 轴和y 轴所在平面垂直 2 原图形中平行于坐标轴的线段 直观图中仍平行于坐标轴 平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变 平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半 4 柱 锥 台 球的表面积和体积 1 下列说法正确的是 a 有两个面平行 其余各面都是四边形的几何体叫棱柱b 有两个面平行 其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱c 有一个面是多边形 其余各面都是三角形的几何体叫棱锥d 棱台各侧棱的延长线交于一点 d 答案d由棱柱和棱锥的概念可知 a b c均错误 由于棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得到的截面与底面之间的部分 故棱台各侧棱的延长线交于一点 2 2017北京顺义二模 4 某四棱锥的三视图如图所示 则该四棱锥的侧面积为 a 8b 8 4c 2 d 4 2 d 答案d作出四棱锥的直观图p abcd 作p在平面abcd内的投影o 过p作pf bc pe ab 连oe of 则pf pe s侧面 2 2 4 故选d 3 2015北京 5 5分 某三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥的表面积是 a 2 b 4 c 2 2d 5 c 答案c由三视图可得该三棱锥的直观图如图所示 其中pa 1 bc 2 取bc的中点m 连接am mp 则am 2 am bc 故ac ab 由正视图和侧视图可知pa 平面abc 因此可得pc pb pm 所以三棱锥的表面积为s abc s pab s pac s pbc 2 2 1 1 2 2 2 故选c 4 侧面都是直角三角形的正三棱锥 底面边长为a时 该三棱锥的全面积是a2 答案a2 解析侧面都是直角三角形 故底面边长为a时 侧棱长等于a 所以s全 a2 3 a2 5 2016北京 11 5分 某四棱柱的三视图如图所示 则该四棱柱的体积为 答案 解析由题中三视图将几何体还原到长为2 宽为1 高为1的长方体中 如图所示 该几何体为四棱柱abcd a b c d 故该四棱柱的体积v sh 1 2 1 1 考点一空间几何体的结构特征 考点突破 典例1以下命题 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 圆柱 圆锥 圆台的底面都是圆 一个平面截圆锥 得到一个圆锥和一个圆台 其中正确命题的个数为 a 0b 1c 2d 3 b 答案b 解析命题 错 这条边若是直角三角形的斜边 则得不到圆锥 命题 错 这条腰必须是垂直于两底边的腰 命题 对 命题 错 用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以得到一个圆锥和一个圆台 方法技巧解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 1 要想真正把握几何体的结构特征 必须多角度 全方面地去分析 多观察实物 提高空间想象能力 2 紧扣结构特征是判断的关键 熟悉空间几何体的结构特征 依据条件构建几何模型 在条件不变的情况下 变换模型中的线面关系或增加线 面等基本元素 然后依据题意判定 3 通过反例对结构特征进行辨析 即要说明一个命题是错误的 只要举出一个反例即可 1 1如果四棱锥的四条侧棱都相等 就称它为 等腰四棱锥 四条侧棱称为它的腰 以下四个命题中 假命题是 a 等腰四棱锥 的腰与底面所成的角都相等b 等腰四棱锥 的侧面与底面所成的二面角都相等或互补c 等腰四棱锥 的底面四边形必存在外接圆d 等腰四棱锥 的各顶点必在同一球面上 b 答案bb不正确 反例见下图 等腰四棱锥 s abcd中 底面abcd为矩形 ab 4 bc 2 o为s在平面abcd上的射影 oe ab于e of bc于f oe of 1 2 又易知 1与 2不互补 等腰四棱锥 s abcd的侧面sab与底面所成的二面角和侧面sbc与底面所成的二面角既不相等 也不互补 1 2给出下列四个命题 有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 底面为正多边形 且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 其中不正确的命题为 答案 解析对于 平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形 故 错 对于 对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明 如图 故 错 对于 若底面不是矩形 则 错 由线面垂直的判定 可知侧棱垂直于底面 故 正确 综上 命题 不正确 典例2 1 2017北京 7 5分 某四棱锥的三视图如图所示 则该四棱锥的最长棱的长度为 a 3b 2c 2d 2 2 如图 矩形o a b c 是水平放置的一个平面图形的直观图 其中o a 6 考点二空间几何体的三视图与直观图 b cm o c 2cm 则原图形是 a 正方形b 矩形c 菱形d 一般的平行四边形 c 答案 1 b 2 c 解析 1 本题考查空间几何体的三视图 考查空间想象能力 根据三视图可得该四棱锥的直观图 四棱锥p abcd 如图所示 将该四棱锥放入棱长为2的正方体中 由图可知该四棱锥的最长棱为pd pd 2 故选b 2 将直观图还原得 oabc 如图 因为o d o c 2cm 所以od 2o d 4cm 因为c d o c 2cm 所以cd 2cm 所以oc 6 cm 所以oa o a 6cm oc 故原图形为菱形 方法技巧 1 解决三视图问题的方法 1 对柱 锥 台 球的三视图要熟悉 2 明确三视图的形成原理 并能结合空间想象将三视图还原为直观图 3 画三视图时要遵循 长对正 高平齐 宽相等 的原则 2 原图与直观图中的 三变 与 三不变 1 三变 2 三不变 2 1一个几何体的三视图如图所示 那么该几何体中最长棱的长为 a 2b 2c 3d c 答案c该几何体的直观图如图所示 其中ae 2 de 2 bc 1 be 2 ae be ae de be cb ab 2 ad 2 过c作cf de于点f 易知四边形bcfe为矩形 cd bc be bc ae be ae e bc 平面abe bc ab ac 3 即最长棱ac 3 典例3 1 2017北京石景山一模 6 某三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥的表面积是 a 2 b 2 2c 4 d 5 考点三空间几何体的表面积与体积 b 2 2017北京东城一模 6 某三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥的体积为 a b c 1d d 答案 1 b 2 d 解析 1 该三棱锥的直观图如图所示 三棱锥p abm 其可由棱长分别为2 2 1的长方体截得 其中s abm 2 s pma s pmb s pab 故该三棱锥的表面积为2 2 2 2 2 三棱锥d1 b1be如图所示 该三棱锥可由棱长为2的正方体abcd a1b1c1d1截得 其中e为cc1的中点 故 d1c1 2 方法技巧 1 解决组合体问题的关键是分清该组合体是由哪些简单的几何体组成的 以及这些简单的几何体的组合方式 2 由三视图求几何体的表面积 体积时 关键是由三视图还原几何体 同时还需掌握求体积的常用方法 如 割补法和等价转化法 3 1一个几何体的三视图如图所示 那么这个几何体的表面积是 a 16 2b 16 2c 20 2d 20 2 b 答案b由题中的三视图可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱 其底面面积为 1 2 2 3 底面周长为2 2 1 5 高为2 故四棱柱的表面积为s 2 3 5 2 16 2 3 2某三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥的体积是 a b c 1d a 答案a该三棱锥的直观图如图所示 其中cd 1 bc 2 cd bc 且点a到底面 bcd的距离为1 底面积s bcd 1 2 1 va bcd 1 1 故选a 典例4 1 已知a b是球o的球面上两点 aob 90 c为该球面上的动点 若三棱锥o abc体积的最大值为36 则球o的表面积为 a 36 b 64 c 144 d 256 2 在封闭的直三棱柱abc a1b1c1内有一个体积为v的球 若ab bc ab 6 bc 8 aa1 3 则v的最大值是 a 4 b c 6 d 考点四球与几何体的切 接问题 c b 答案 1 c 2 b 解析 1 s oab是定值 且vo abc vc oab 当oc 平面oab时 vc oab最大 即vo abc最大 设球o的半径为r 则 vo abc max r2 r r3 36 r 6 球o的表面积s 4 r2 4 62 144 2 易知ac 10 设底面 abc的内切圆的半径为r 则 6 8 6 8 10 r 所以r 2 因为2r 4 3 所以最大球的直径2r 3 即r 此时球的体积v r3 故选b 方法技巧空间几何体与球接 切问题的求解方法 1 求解球与棱柱 棱锥的接 切问题时 一般过球心及接 切点作截面 把空间问题转化为平面图形问题 再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解 2 若球面上四点p a b c所连的三条线段pa pb pc两两互相垂直 且pa a pb b pc c 一般把有关图形 补形 成一个球内接长方体 利用4r2 a2 b2 c2 r为球的半径 求解 4 1一个六棱柱的底面是正六边形 侧棱垂直于底面 所有棱的长都为1 顶点都在同一个球面上 则该球的体积为 a 20 b c 5 d d 答案d解法一 以正六棱柱的一个最大对角面作截面 如图 设球心为o 正六棱柱的上下底面中心分别为o1 o2 则o是o1o2的中点 o1o2 1 ab 2 则球的直径d 所以球的体积为v 半径r 故球的体积v 解法二 底面正六边形外接圆的半径r 1 球心o到底