高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第四节 导数与函数的综合问题课件 文.ppt

第四节导数与函数的综合问题 总纲目录 教材研读 1 利用导数证明不等式的基本步骤 考点突破 2 一元三次方程根的个数问题 考点二利用导数证明不等式 考点一利用导数研究恒成立问题和存在性问题 考点三利用导数研究函数零点或方程根的问题 1 利用导数证明不等式的基本步骤 1 作差或变形 2 构造新的函数h x 3 对h x 求导 4 利用h x 判断h x 的单调性或最值 5 下结论 教材研读 2 一元三次方程根的个数问题令f x ax3 bx2 cx d a 0 则f x 3ax2 2bx c 方程f x 0的判别式 2b 2 12ac 1 当 0 即b2 3ac时 f x 0恒成立 f x 在r上为增函数 结合函数f x 的图象知 方程f x 0有 唯一一个实根 2 当 0 即b2 3ac时 方程f x 0有两个不同的实根 设为x1 x2 x1m a 当m 0时 方程f x 0有 一个实根 b 当m 0时 方程f x 0有 两个实根 c 当m0时 方程f x 0有 三个实根 d 当m 0时 方程f x 0有 两个实根 e 当m 0时 方程f x 0有 一个实根 3 生活中的利润最大 用料最省 效率最高等问题我们称之为优化问题 导数是解决生活中优化问题的有力工具 用导数解决优化问题的基本思路 1 分析实际问题中各量之间的关系 建立实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 确定极值点 3 比较函数在区间端点的值和在极值点的值的大小 最大 小 值为函数的最大 小 值 4 还原到实际问题中作答 1 已知某生产厂家的年利润y 单位 万元 与年产量x 单位 万件 的函数关系式为y x3 81x 234 则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 a 13万件b 11万件c 9万件d 7万件 答案cy x2 81 令y 0 得x 9或x 9 舍去 当00 函数单调递增 当x 9时 y 0 函数单调递减 故当x 9时 y取最大值 c 2 已知函数f x 的定义域为 1 4 部分对应值如下表 f x 的导函数y f x 的图象如图所示 当1 a 2时 函数y f x a的零点的个数为 a 2b 3c 4d 5 c 答案c根据已知条件可还原出函数f x 在定义域 1 4 内的大致图象 函数y f x a的零点个数即直线y a与曲线y f x 的交点个数 因为1 a 2 所以交点个数为4 故选c 3 若a 3 则方程x3 ax2 1 0在 0 2 上的实根个数为 a 0b 1c 2d 3 答案b设f x x3 ax2 1 则f x 3x2 2ax x 3x 2a 由于a 3 则在 0 2 上f x 0 f 2 9 4a 0 则方程x3 ax2 1 0在 0 2 上恰有1个实根 故选b b 4 设函数f x ax3 3x 1 x r 若对于任意x 1 1 都有f x 0成立 则实数a的值为 答案4 解析若x 0 则不论a取何值 f x 0显然成立 当x 0 即x 0 1 时 f x ax3 3x 1 0可化为a 设g x 则g x 所以g x 在区间上单调递增 在区间上单调递减 因此g x max g 4 从而a 4 当x 0 即x 1 0 时 a 同理可求得a 4 综上 可知a 4 4 考点突破 解析 1 函数f x 的定义域为 x x 0 f x 当a 0时 ax 10 解得01 所以函数f x 的单调递增区间为 0 1 单调递减区间为 1 当01 令f x 0 解得0 令f x 0 解得1 x 所以函数f x 的单调递增区间为 0 1 单调递减区间为 当a 1时 f x 0恒成立 所以函数f x 的单调递增区间为 0 当a 1时 00 解得01 令f x 1恒成立转化为f x min 1恒成立 f x a 1 令f x 0 得x 1或x 若a e 则由f x 0得 11 满足题意 若10 得 x 或1 x e 由f x 0 得 x 1 故函数f x 在 1 e 上单调递增 在上单调递减 f x min min 依题意即所以22 命题角度二存在性问题典例2已知函数f x x a 1 lnx a r g x x2 ex xex 1 当x 1 e 时 求f x 的最小值 2 当a 1时 若存在x1 e e2 使得对任意的x2 2 0 f x1 g x2 恒成立 求a的取值范围 解析 1 f x 的定义域为 0 f x 当a 1时 x 1 e f x 0 f x 为增函数 所以f x min f 1 1 a 当1 a e时 x 1 a 时 f x 0 f x 为减函数 x a e 时 f x 0 f x 为增函数 所以f x min f a a a 1 lna 1 当a e时 x 1 e f x 0 f x 在 1 e 上为减函数 易错警示 恒成立 与 存在性 问题的求解是 互补 关系 即f x g a 对于x d恒成立 应求f x 的最小值 若存在x d 使得f x g a 成立 应求f x 的最大值 在具体问题中究竟是求最大值还是最小值 可以先联想 恒成立 是求最大值还是最小值 这样也就可以解决相应的 存在性 问题是求最大值还是最小值 特别需要关注等号是否成立问题 以免细节出错 1 1 2016北京西城二模 已知函数f x 1 若f a 1 求a的值 2 设a 0 若对于定义域内的任意x1 总存在x2使得f x2 f x1 求a的取值范围 解析 1 函数y f x 的定义域d x x r且x a 对f x 求导 得f x 由题意 知f a 有意义 所以a 0 所以f a 1 解得a 2 对于定义域内的任意x1 总存在x2使得f x2 f x1 等价于 f x 不存在最小值 当a 0时 f x 易知f x 无最小值 符合题意 当a 0时 f x 令f x 0 得x 3a 随着x的变化 f x 与f x 的变化情况如下表 所以函数f x 的单调递减区间为 3a a 单调递增区间为 3a a 因为当x a时 f x 0 当x a时 f x 0 所以f x min f 3a 所以当x1 3a时 不存在x2使得f x2 f x1 故a 0不符合题意 综上所述 a的取值范围是 0 考点二利用导数证明不等式 典例3 2017北京海淀一模 已知函数f x ex x2 ax 曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线与x轴平行 1 求a的值 2 若g x ex 2x 1 求函数g x 的最小值 3 求证 存在cc时 f x 0 解析 1 f x ex 2x a 由已知可得f 0 0 所以1 a 0 解得a 1 2 g x ex 2 令g x 0 得x ln2 所以x g x g x 的变化情况如下表所示 所以g x 的最小值为g ln2 eln2 2ln2 1 1 2ln2 3 证明 显然g x f x 且g 0 0 由 2 知 g x 在 ln2 上单调递减 在 ln2 上单调递增 又g ln2 0 由零点存在性定理 知存在唯一实数x0 ln2 使得g x0 0 即 2x0 1 0 2x0 1 综上 g x f x 存在两个零点 分别为0 x0 所以x0 即f x 0 f x 在 0 上单调递增 0 x0时 g x 0 即f x 0 f x 在 x0 上单调递增 所以f 0 是极大值 f x0 是极小值 f x0 x0 2x0 1 x0 x0 1 因为g 1 e 30 所以x0 所以f x0 0 因为f 0 1 所以当x 0时 f x 0 因为f x 在 0 上单调递增 所以一定存在c0 所以存在cc时 f x 0 方法技巧若证明f x g x x a b 可以构造函数f x f x g x 若f x 0 则f x 在 a b 上是减函数 同时 若f a 0 由减函数的定义可知 当x a b 时 有f x 0 即证明了f x g x 2 1 2018北京朝阳高三期中 已知函数f x lnx 1 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 求证 lnx x 0 3 判断曲线y f x 是否位于x轴下方 并说明理由 解析函数的定义域为 0 f x 1 因为f 1 1 f 1 所以曲线y f x 在x 1处的切线方程为y x 1 即x y 1 0 2 证明 lnx x 0 等价于xlnx x 0 设函数g x xlnx 令g x 1 lnx 0 解得x 因此 函数g x 的最小值为g 故xlnx 即lnx 3 曲线y f x 位于x轴下方 理由如下 由 2 可知lnx 所以f x 设k x 则k x 令k x 0 得01 所以k x 在 0 1 上为增函数 在 1 上为减函数 所以当x 0时 k x k 1 0恒成立 当且仅当x 1时 k 1 0 又因为f 1 0 所以f x 0恒成立 故曲线y f x 位于x轴下方 解析 1 由f x x3 ax2 bx c 得f x 3x2 2ax b 因为f 0 c f 0 b 所以曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y bx c 2 当a b 4时 f x x3 4x2 4x c 所以f x 3x2 8x 4 令f x 0 得3x2 8x 4 0 解得x 2或x f x 与f x 在区间 上的情况如下 方法技巧利用导数研究函数零点的方法方法一 1 求函数f x 的单调区间和极值 2 根据函数f x 的性质作出图象 3 判断函数零点的个数 方法二 1 求函数f x 的单调区间和极值 2 分类讨论 判断函数零点的个数 3 1 2016北京顺义一模 已知函数f x xex ax2 2x 1在x 1处取得极值 1 求函数f x 的单调区间 2 若函数y f x m 1在 2 2 上恰有两个不同的零点 求实数m的取值范围 解析 1 由题意得f x ex xex 2ax 2 f x 在x 1处取得极值 f 1 0 解得a 1 f x xex x2 2x 1 f x x 1 ex 2 当f x 0时 x 1 当f x 0时 x 1 故函数f x 的单调递减区间为 1 单调递