广东省高一数学尖子班教案直线的一般式方程及综合

广东省高一数学尖子班教案直线的一般式方程及综合 第1页共12页广东省高一数学尖子班教案直线的一般式方程及综合【学习目标】1掌握直线的一般式方程；2能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；3能利用直线的一般式方程解决有关问题.【要点梳理】要点 一、直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式要点诠释1A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.当B0时，方程可变形为A Cy xB B，它表示过点0,CB，斜率为AB的直线当B=0，A0时，方程可变形为Ax+C=0，即CxA，它表示一条与x轴垂直的直线由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线2在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2xy+1=0，也可以是11022x y，还可以是4x2y+2=0等）要点 二、直线方程的不同形式间的关系第2页共12页直线方程的五种形式的比较如下表名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式yy1=k(xx1)（x1，y1）是直线上一定点，k是斜率不垂直于x轴斜截式y=kx+b k是斜率，b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴两点式112121y y x xyy x x（x1，y1），（x2，y2）是直线上两定点不垂直于x轴和y轴截距式1x yaba是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式Ax+By+C=0（A2+B20）A、B、C为系数任何位置的直线要点诠释在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x1x2，y1y2），应用时若采用(y2y1)(xx1)(x2x1)(yy1)=0的形式，即可消除局限性截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式一般式常化为斜截式与截距式若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同要点 三、直线方程的综合应用第3页共12页1已知所求曲线是直线时，用待定系数法求2根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同 （1）从斜截式考虑已知直线111:b xk yl,222:b xk yl,12121212/()l lk kb b；12121211221tan cot12l lk k kk于是与直线y kx b平行的直线可以设为1y kxb；垂直的直线可以设为21y xbk （2）从一般式考虑11112222:0,:0l Ax By Cl Ax By C1212120l lA A B B121221/0l lA BA B且12210AC AC或12210B CB C，记忆式（111222A B CA B C）1l与2l重合，12210A BA B，12210AC AC，12210BCBC于是与直线0Ax ByC平行的直线可以设为0Ax ByD；垂直的直线可以设为0Bx AyD.【典型例题】类型一直线的一般式方程例1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程 （1）斜率是12，经过点A（8，2）； （2）经过点B（4，2），平行于x轴； （3）在x轴和y轴上的截距分别是32，3； （4）经过两点P1（3，2），P2（5，4）【答案】 （1）x+2y4=0 （2）y2=0 （3）2xy3=0 （4）10x y第4页共12页【解析】 （1）由点斜式方程得1 (2) (8)2y x，化成一般式得x+2y4=0 （2）由斜截式得y=2，化为一般式得y2=0 （3）由截距式得1332x y，化成一般式得2xy3=0 （4）由两点式得234 (2)53y x，化成一般式方程为10x y【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定x的系数为正，x，y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项、y项、常数项顺序排列求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式举一反三【变式1】已知直线l经过点(3,1)B，且倾斜角是30，求直线的点斜式方程和一般式方程.【答案】31 (3)3y x333330x y【解析】因为直线倾斜角是30，所以直线的斜率3tan tan303k，所以直线的点斜式方程为31 (3)3y x，化成一般式方程为333330x y.例2ABC的一个顶点为(1,4)A，B、C的平分线在直线10y和10x y上，求直线BC的方程.【答案】230x y【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得A点关于B的平分线的对称点A在BC上，B点关于C的平分线的对称点B也在BC上写出直线AB的方程，即为直线BC的方程.例3求与直线3x+4y+1=0平行且过点（1，2）的直线l的方程第5页共12页【答案】3x+4y11=0【解析】解法一设直线l的斜率为k，l与直线3x+4y+1=0平行，34k又l经过点（1，2），可得所求直线方程为32 (1)4y x，即3x+4y11=0解法二设与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程为3x+4y+m=0，l经过点（1，2），31+42+m=0，解得m=11所求直线方程为3x+4y11=0【总结升华】 （1）一般地，直线Ax+By+C=0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+m=0，这是常采用的解题技巧我们称Ax+By+m=0是与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程参数m可以取mC的任意实数，这样就得到无数条与直线Ax+By+C=0平行的直线当m=C时，Ax+By+m=0与Ax+By+C=0重合 （2）一般地，经过点A（x0，y0），且与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为A(xx0)+B(yy0)=0 （3）类似地有与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为BxAy+m=0（A，B不同时为零）举一反三【变式1】已知直线1l3mx+8y+3m-10=0和2l x+6my-4=0.问m为何值时: （1）1l与2l平行 （2）1l与2l垂直.【答案】 （1）23m （2）0m【解析】当0m时，1l8y-10=0；2l x-4=0，12l l第6页共12页当0m时，1l310388m my x；2l1466y xmm由3186mm，得23m，由103486mm得2833m或而31()()186mm无解综上所述 （1）23m，1l与2l平行 （2）0m，1l与2l垂直【变式2】求经过点A（2，1），且与直线2x+y10=0垂直的直线l的方程【答案】x2y=0【解析】因为直线l与直线2x+y10=0垂直，可设直线l的方程为20x ym，把点A（2，1）代入直线l的方程得0m，所以直线l的方程为x2y=0类型二直线与坐标轴形成三角形问题例4已知直线l的倾斜角的正弦值为35，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数直线在y轴上的截距b，再根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，便可求出b也可以根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，设截距式直线方程，从而得出1|62ab，再根据它的斜率已知，从而得到关于a，b的方程组，解之即可【答案】334y x或334y x【解析】解法一设l的倾斜角为，由3sin5，得3tan4设l的方程为34y xb，令y=0，得43xb直线l与x轴、y轴的交点分别为4,03b，（0，b）第7页共12页2142|6233S b bb，即b2=9，b=3故所求的直线方程分别为334y x或334y x解法二设直线l的方程为1x yab，倾斜角为，由3sin5，得3tan41|6234a bba，解得43ab故所求的直线方程为143x y或143x y【总结升华】 （1）本例中，由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说 （2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决例如已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏举一反三【变式1】如下图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45、30过点P（1，0）作直线AB分别交OA、OB于点A、B当AB的中点C恰好落在直线12y x上时，求直线AB的方程第8页共12页【答案】33 (1)2y x【解析】设直线AB的方程为 (1)y kx，因为直线OA为y x，直线OB为33y x，求得,AB两点坐标分别是3(,),113331k kk kABk kkk，求得C点坐标，进一步求出斜率332k，所以直线方程为33 (1)2y x例5.过点P(2，1)作直线l与x轴、y轴正半轴交于A、B两点，求AOB面积的最小值及此时直线l的方程.【思路点拨】因直线l已经过定点P(2，1)，只缺斜率，可先设出直线l的点斜式方程，且易知k0且1-2k0故k0，b0，点P(2，1)在直线l上，故112b a，由均值不等式:1=,82212abab b a得当且仅当2112ba，即a=4，b=2时取等号，且S=21ab=4，此时l方程为,124y x即:x+2y-4=0.解法三如图，过P(2，1)作x轴与y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，设=PAM=BPN，则AOB面积S=S矩形OMPN+SPAM+SBPN=1121cot2tan22cot2tan22=4，当且仅当11cot2tan,tan22即时，SAOB有最小值4，故此时直线l的方程为y-1=-21(x-2)，即:x+2y-4=0.【总结升华】解法一与解法二选取了直线方程的不同形式，解法三考虑到图形的直观性，利用了形数结合的思想，体现了解题的“灵活性”.已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解.而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.举一反三第10页共12页【变式1】已知a（0，2），直线l1ax2y2a+4=0和直线l22x+a2y2a2y2=0与坐标轴围成一个四边形，要使此四边形面积最小，求a的值【答案】12【解析】直线l1与y轴交点为A（0，2-a），直线l2与x轴交点为B（a2+2，0），如图由直线l1ax2y2a+4=0，l22x+a2y2a2y2=0知，两直线的交点为（2，2），过C点作x轴垂线，垂足为D，于是S四边形AOBC=S梯形AODC+SBCD=211 (22)222a a=24a a=2115()24a所以当12a时，S四过形AOBC最小类型三直线方程的实际应用例6一条光线从点(3,2)A出发，经x轴反射，通过点(1,6)B，求入射光线和反射光线所在直线的方程【思路点拨】利用对称的知识来求解。 【答案】240x y240x y【解析】点(3,2)A关于x轴的对称点为(3,2)A，由两点式可得直线AB的方程为612631y x即240x y同理点B关于x轴的对称点为(1,6)B，由两点式可得直线AB的方程为236213y x第11页共12页入射光线所在直线方程为240x y，反射光线所在直线方程为240x y【总结升华】一般地，点(,)A ab关于x轴的对称点的坐标为(,)A ab，关于y轴的对称点的坐标为(,)A ab例7如图，某房地产公司要在荒地ABCDE上划出一块长方形土地（不改变方向）建造一幢8层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积（精确到1m2）【答案】6017【解析】建立坐标系，则B（30，0），A（0，20）由直线的截距方程得到线段AB的方程为13020x y（0x30）设点P的坐标为（x，y），则有2203yx公寓的占地面积为2 (100) (80) (100) (8020)3S x yxx2220600033xx（0x30）当x=5，503y时，S取最大值，最大值为222205560006017(m)33S即当点P的坐标为50(5,)3时，公寓占地面积最大，最大面积为60