广东省高一数学重点班教案几何概型

广东省高一数学重点班教案几何概型 第1页共13页广东省高一数学重点班教案几何概型【学习目标】1.了解几何概型的概念及基本特点；2.熟练掌握几何概型中概率的计算公式；3.会进行简单的几何概率计算；4.能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想.【要点梳理】要点 一、几何概型1.几何概型的概念对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.2.几何概型的基本特点 (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； (2)每个基本事件出现的可能性相等.3.几何概型的概率一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件该点落在其内部一个区域d内为事件A，则事件A发生的概率()dP AD的测度的测度.说明 (1)D的测度不为0； (2)其中测度的意义依D确定，当D分别是线段，平面图形，立体图形第2页共13页时，相应的测度分别是长度，面积和体积. (3)区域为开区域； (4)区域D内随机取点是指该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关.要点诠释几种常见的几何概型 (1)设线段l是线段L的一部分，向线段L上任投一点，若落在线段l上的点数与线段l的长度成正比，而与线段l在线段L上的相对位置无关，则点落在线段l上的概率为P=l的长度/L的长度 (2)设平面区域g是平面区域G的一部分，向区域G上任投一点，若落在区域g上的点数与区域g的面积成正比，而与区域g在区域G上的相对位置无关，则点落在区域g上概率为P=g的面积/G的面积 (3)设空间区域上v是空间区域V的一部分，向区域V上任投一点，若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比，而与区域v在区域V上的相对位置无关，则点落在区域v上的概率为P=v的体积/V的体积要点 二、均匀随机数的产生1.随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的.它可以帮助我们模拟随机试验，特别是一些成本高、时间长的试验，用随机模拟的方法可以起到降低成本，缩短时间的作用.第3页共13页2.随机数的产生方法 (1)实例法.包括掷骰子、掷硬币、抽签、转盘等. (2)计算器模拟法.现在大部分计算器的RAND函数都能产生01之间的均匀随机数. (3)计算机软件法.几乎所有的高级编程语言都有随机函数，借用随机函数可以产生一定范围的随机数.要点诠释1.在区间a，b上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.3.用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.4.利用计算机和线性变换Y=X*(b-a)a，可以产生任意区间a，b上的均匀随机数.【典型例题】类型一与长度有关的几何概型问题例1假设车站每隔10分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过3分钟的概率？第4页共13页【思路点拨】以两班车出发间隔(0，10)区间作为样本空间S，乘客随机地到达，即在这个长度是10的区间里任何一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题.【答案】0.3【解析】记“等车时间不超过3分钟”为事件a，要使得等车的时间不超过3分钟，即到达的时刻应该是图中a包含的样本点，P=的长度的长度Sa=103=0.3.【总结升华】在本例中，到站等车的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X服从0，60上的均匀分布，X为0，60上的均匀随机数.举一反三【变式1】某汽车站每隔15min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间大于10min的概率【答案】13【解析】设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T=5，T2T=10，如图所示记“等车时间大于10min”为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上时，事件A发生，区域T1T2的长度为15，区域T1T的长度为511251()153TTP ATT的长度的长度即乘客等车时间大于10min的概率是13【变式2】在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，则PBC的面积大0S10第5页共13页于4S的概率为（）A14B12C34D23【答案】C【变式3】某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率【答案】16【解析】因为电台每隔1小时报时一次，他在0到60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，这符合几何概型的条件，因此，可以通过几何概型的概率公式得到事件发生的概率于是，设A=等待报时的时间不多于10分钟事件A是打开收音机的时刻位于5060的时间段内，因此由几何概型求概率的公式得60501()606P A即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为16类型二与面积有关的几何概型问题例2两人约定在2000到2100之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在2000至2100各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率【思路点拨】两人不论谁先到最多只等40分钟，设两人到的时间分别为x、y，则当且仅当2|3x y时，两人才能见面，所以此问题转化为面积性几何概型问题。 【答案】89【解析】设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当第6页共13页两人到达约见地点所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，因此所求的概率为【总结升华】此类问题的难点是把两个时间分别用x，y表示，构成平面内的点（x，y），从而把时间这个一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，从而转化成面积型几何概率问题举一反三【变式1】平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率【答案】a ra【解析】把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM长度（记作OM）2a ro M2233x y2211()8319SPS阴影单位正方形第7页共13页的取值范围就是0,a，只有当r OMa时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是(,()0,r aP Aa的长度的长度=ar a【变式2】甲、乙两人相约上午10点到1l点在某地会面，先到者等候另一人15分钟，过时就离去，那么这两个人见面的机会多大？【答案】716【解析】两个人要想见面，一个人先到达后必须等待一段时间，设x，y分别表示甲、乙到达会面地点的时间，若甲先到需等15分钟，若乙先到也需等15分钟，两个人能见面必须满足|xy|15由于每个人到达地点的时间是任意的，所以在边长为60的正方形内的每一点都是等可能的，所求问题就转化为面积型的几何概型如图，能见面的点的区域用阴影表示记“两个人见面”为事件A，根据几何概型。 得22260457()6016P A所以两个人见面的机会是716【变式3】已知2()2(,)f xax bxa a b R （1）若a从集合0，1，2，3中任取一个元素，若b从集合0，1，2，3中任取一个元素，求方程f(x)=0恰有两个不相等实根的概率。 （2）若b从区间【0，2】中任取一个数，a从区间【0，3】中任取一个数，求方程f(x)=0没有实根的概率。 【答案】 （1） （2）第8页共13页【解析】 （1）因为a从集合0，1，2，3中任取一个元素，b从集合0，1，2，3中任取一个元素，a,b取值的情况是（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）共16种。 记“方程f(x)=0恰有两个不相等实根”为事件A，若f(x)=0恰有两个不相等实根,=4b2-4a20即ba,所以满足题意ba且0a的可能的(a,b)组合为(1,2)(1,3)(2,3),共3种，故3()16PA。 （2）记“方程f(x)=0没有实数根”为事件B，因为b从区间【0，2】中任取一个数，a从区间【0，3】中任取一个数，则试验的全部结果构成区域(,)|03,02a b a b，这是一个矩形区域，其面积为236。 则事件B构成的区域为(,)|03,02,a b a bab，其面积为162242，所以42()63P B。 类型三与体积有关的几何概型问题例3在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，在正方体内随机取点M （1）求M落在三棱柱ABCA1B1C1内的概率； （2）求M落在三棱锥BA1B1C1内的概率； （3）求M与面ABCD的距离大于3a的概率； （4）求M与面ABCD及面A1B1C1D1的距离都大于3a的概率； （5）求使四棱锥MABCD的体积小于316a的概率第9页共13页【思路点拨】此题是几何概型问题，求各部分的体积比即可。 【答案】 （1）12 （2）16 （3）23 （4）13 （5）12【解析】正方体的体积为V=a3 （1）231122V a a a三棱柱，所求概率112P （2）11231111113326A BBVS BC aaa三棱锥，所求概率216P （3）3233aaPa （4）41333a aaPa （5）设M到面ABCD的距离为h，则31136M ABCDABCDV Sh a底面，而2ABCDS a底面，12h51122aPa【总结升华】求体积时要注意选择适当的底，以使计算方便，本题综合考查了立体几何的体积计算及几何概型的计算举一反三【变式1】已知正三棱锥SABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于2h的概率【答案】78【解析】如图，在SA、SB、SC上取点A 1、B 1、C1，使A 1、B 1、C1分别为SA、SB、SC的中点，则当点M位于面ABC和面A1B1C1之间时，点M到底面的距离小于2h设ABC的面积为S，由ABCA1B1C1且相似比为2，得A1B1C1的面积为4S由题意，三棱锥SABC的体积为13Sh，三棱台A1B1C1ABC的体积为第10页共13页1117334438S hShSh78P【变式2】在线段0，1上任意投三个点，问由0至三点的三线段，能构成三角形与不能构成三角形这两个事件中哪一个事件的概率大.【答案】12【解析】设O到三点的三线段长分别为x，y，z，即相应的右端点坐标为x，y，z，显然0,1x y z，这三条线段构成三角形的充要条件是x z y yz xz y x,.在线段0，1上任意投三点x，y，z与立方体10x，10y，10z中的点),(z y x一一对应，可见所求“构成三角形”的概率，等价于x边长为1的立方体T中均匀地掷点，而点落在,x yz xzyyzx区域中的概率；这也就是落在图中由ADC，ADB，BDC，AOC，AOB，BOC所围成的区域G中的概率.由于,1)(T V33111()131322V G，()1()2V GpVT由此得，能与不能构成三角形两事件的概率一样大.类型四几何概型问题在实际中的应用例4假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上630至730之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上700至800之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？【思路点拨】如下图（左），送报人到达的时间是630至730之间的任一时刻，父亲离开家去工作的时间是700至800之间的任一时刻，如果平面A BC DO第11页共13页直角坐标系内以x轴表示报纸送到的时间，y轴表示父亲离开家的时间，因为报纸送到的时间和父亲离开的时间都是随机的，所以随机试验的所有结果（x，y）是正方形内的任意一点事件A（父亲能得到报纸）发生的充要条件是xy，即对应下图中（左）正方形内阴影部分，事件A发生的概率只与阴影部分的面积大小有关，这符合几何概型的条件【解析】设事件A“父亲离开家前能得到报纸”在平面直角坐标系内，以x和y分别表示报纸送到和父亲离开家的时间，则父亲能得到报纸的充要条件是xy，而（x，y）的所有可能结果为边长为1的正方形中任意一点，而能得到报纸的所有可能结果由上图（右）中阴影部分表示，这是一个几何概型问题，2111712228A，1，所以7()8AP A举一反三【变式1】甲和乙都为货运公司工作，由于工作需要，他们都使用对讲机.他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午30O时甲正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而乙在下午300时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午30O时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？【答案】0.41【解析】设x和y分别代表甲和乙距基地的距离，第12页共13页于是400,300y x则他俩所有可能的距离的数据构成有序点对(x，y)，这里x，y都在它们各自的限制范围内，则所有这样的有序数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一个几何区域中的点都代表甲和乙的一个特定的位置，他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离不超过25公里时发生(如图)，因此构成该事件的点由满足不等式2522yx的数对组成，