数学人教版九年级下册圆的万变不离其宗.doc

圆的万变不离其宗图形的发散是图形中某些元素的位置不断变化，从而产生一个个新的图形。在数学学习中，一题多变是十分有效的学习手段，它可以开拓学生的视野，启发学生的发散思维，从而达到逐步提高的目的.现对一道例题的变式情况列举如下，以供大家参考.ABCEDF图1O1O2【例】如图1，O1和O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与O1交于点C，与O2交于点D，经过点B的直线EF与O1交于点E，与O2交于点F，求证：CEDF教师这个题目是初中几何第三册P98例子.这个题目经过改变直线和两圆的位置关系，可以演变出一系列新题目.演变一、两圆相交，两直线CD、EF都是割线ABCEDF图2O1O2（）如图2，直线CD、EF交O1内一点，证明：CEDF分析：连接AB，ECAB，又CABF，所以EF，所以CEDF（）如图3，直线CD、EF交O2内一点，证明：CEDFABCEDF图3O1O2分析：连接AB，则在O1中CABE，在O2中ABFD，所以CD，所以CEDFABCEDF图6除此之外，还有以下几种情况的变化（如图4图9），结论CEDF不变。ABCEDF图5ABCEDF图4ABCEDF图7ABCED(F)图9ABCEDF图8演变二、两圆相交，一条直线CD是切线，一条直线EF是割线，变式后的结论CEDF不变如图10，O1与O2相交于A、B两点，CD与O2相切，证明：CEDFA(D)CEF图10O1O2B分析：连接AB，CABF，E+CAB180，E+F180CEDFA(D)CEF图12O1O2BA(D)CEF图11O1O2B除此之外，也有以下几种情况，结论CEDF仍不变A(D)CEF图14BA(D)CEF图13B演变三、两圆相交，两条直线CD、EF都是切线如图15 O1与O2相交于AB，CD、EF与O2相切,证明:CEDF分析：GA、GB是过O2外一点G的O2的切线，GABGBAE，CEDF还可以有以下几种变化，如图16，图17，结论不变。A(D)B(F)EC图17GO1O2A(D)B(F)EC图16O1O2A(D)B(F)GEC图15ACEDF图18O1O2MN演变四、（）如图18，两圆O1与O2外切，证明：CEDF分析：过A作两圆的内公切线MN，则CNAE，又NAEMAF，MAFD，所以CD，所以CEDFACEDF图19O1O2MN（）如图19，O1与O2内切，证明：CEDF分析：过A作两圆的外公切线MN，则MACAEC，MAFD，所以AECD，所以CEDF除上述变化外，对上面（）可继续变式，则又有以下两种情况：（1）如图20，O1与O2内切于点A，DF与O1相切于点H，首先结论CEDF仍然成立，同时还有结论：DAHFAHACEFD图20O1O2MNH证法1：过点A作两圆的外公切线MN，连EH，则DAHMAHMADAEHFEHF=FAH DAHFAH证法2：连结CE、O1H，如图20，则CEDF，O1HCE O1H为O1的半径,CE为O1的弦，由垂径定理可知，O1H平分CE，H点为CE的中点，CHEH DAHFAHACEFD图21O1O2MNHG（2）如图21, O1与O2内切，但DF与O1相交，结论CEDF仍然成立，除此也有DAHFAG此例通过对一个问题的链锁变化，引导学生发现问题，并帮助学生从各问题信息上总结出它们的鲜明特征，了解它们之间的区别与联系，掌握特殊与一般的规律，从而解决问题，使学生在思维上有“质”的升华；同时，使学生明确近年中考热点题型：开放性、探索性题型，在很多情况下，就是从对图形的变化中得到不变的结论，那么就要从变化中挖掘出问题的特征.练习：如图(1)O1与O2相交于点A、B，直线DCE交O1于D、C，切O2于点E，求证：CAE+DBE180ABED(3)O1O2CFABED(2)O1O2ABED(1)O1O2C此题变化也非常灵活，DCE可变化成两圆的公切线、割线，两圆也可相对运动，因此还有五种变化：如图(2)(6)NMED(6)O1O2CFANMED(5)O1O