同方专转本高数模拟试卷1.doc

江苏省2014年普通高校“专转本”统一考试模拟试（一）高等数学注意事项：1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿纸上无效。3.本试卷五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟。一、 选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前得字母填在题后的括号内）。1. 已知存在，则常数的值分别为（ ）A. B. C. D. 2. 函数的可去间断点是（ ）A. B. C. D. 3.当时，下列无穷小中与不等价的是（ ）A. B. C. D. 4.设的一个原函数是，则（ ）A. B. C. D. 5.下列级数绝对收敛的是（ ）A. B. C. D. 6.二重积分交换积分次序后得（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）。7、若， 8、设是连续函数，则 9、以为顶点的三角形面积= 10、设函数由方程所确定，则 11、定积分 12、幂级数的收敛域为 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。13、求极限14、设函数由方程所确定，求15、求不定积分16、计算定积分17、求通过平面和平面的交线及点的平面方程。18、设，其中具有二阶连续偏导数，求。19、计算二重积分，其中是由以及轴所围成的平面闭区域。20、已知是二阶常系数非齐次线性方程的一个特解，试确定常数的值，并求该方程组的通解。四、综合题21、 设函数（1）求函数的单调区间、极值。（2）求函数图形的凹凸区间、拐点及渐进线方程。22、设直线与抛物线所围成的图形面积为,它们与直线所围成的平面图形面积为（1）试确定的值，使达到最小，并求出最小值。（2）求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积。五、证明题23、证明：当时，24、设，其中为有界函数，证明：在处连续且可导。江苏省2014年普通高校“专转本”统一考试模拟试（一）解析一、单项选择题1. 已知存在，则常数的值分别为（ ）A. B. C. D. 解：该题考察等价无穷小阶的比较，求极限等概念与方法。因为这表明是时的一阶无穷小；存在，可推出，同阶无穷小量或是高阶无穷小量的商式极限才有可能存在，这是无穷小量阶的比较理论。由可得 ，解得。故答案选择B2. 函数的可去间断点是（ ）A. B. C. D. 解：求函数间断点的方法首先需要考察函数的定义域，因为初等函数在定义域内都是连续函数，只有定义域的分段点才有可能是间断点。本题的间断点有可能为，下面逐个考察当时，因函数表达式中含有绝对值，从而必须分左右极限加以讨论。综上可知，是跳跃间断点；下面继续判断是否为间断点。当被讨论的函数是分段函数，并且分段点左右两边的表达式互不相同时，判断分段点的连续性或是间断点的类型才需分左右极限加以讨论。是无穷间断点，这是因为；是可去间断点，这是因为；是无穷间断点，这是因为；从而该题选择D3.当时，下列无穷小中与不等价的是（ ）A. B. C. D. 解：判断等价无穷小或是无穷小的阶，结合本题，常用的方法是考察，则说明无穷小量是阶无穷小。进一步，说明无穷小量与是等价无穷小。本题需要判断所给出的四个选项中的无穷小与是否为等价无穷小，只需判断何时成立。 时， 从而C选项是错误的。对于寻找一个无穷小量的等价无穷小量，这是一个非常重要的问题，这涉及到求极限，无穷小阶的比较，级数敛散性的判断等许多问题。学习过程中还需掌握以下一些结论：同“小”取“小”：有限个无穷小量的代数和，其阶数取最低的无穷小量的阶。例如：时，其阶数为1阶，它与是同阶无穷小，且为等价无穷小。 同“大”取“大”：有限个无穷大量的代数和，其阶数取最高的无穷小量的阶。例如：时，其阶数为5阶，它与是同阶无穷大，且与是等价无穷大。以上结论的证明不难，大家可尝试使用以上结论求解本题。4.设的一个原函数是，则（ ）A. B. C. D. 解：该题是考察函数与原函数之间的关系。本题有两种思路，一种是对分别求两次导数，可得，然后再积分：另外一种是先对积分，再根据已知条件求解。解题时除了考察可行性，还要考虑计算效率。从而，5.下列级数绝对收敛的是（ ）A. B. C. D. 解：考察一般项级数的是否绝对收敛，可使用正项级数敛散性的判别方法。正项级数敛散性的判别方法通常有比较判别法，比式判别法以及根式判别法。对于比较判别法，通常使用极限形式。设正项级数和，若，则与同敛同散。该定理的意义在于寻找的同阶无穷小，特别的，若，和是等价无穷小。根据的敛散性推出的敛散性。通常选取级数，收敛， 发散；-级数的意义在于当时是阶无穷小。可通过判别无穷小的阶数进而判断级数的敛散性。本题中考察通项的同阶或是等价无穷小对应级数的敛散性。选项A中； ，从而原级数不绝对收敛。选项B中； ，从而原级数绝对收敛。选项C中； ，从而原级数不绝对收敛。选项D中； ，从而原级数不绝对收敛。6.二重积分交换积分次序后得（ ）A. B. C. D. 二重积分的积分区域为只用型积分区域表示为答案选择（A）二、填空题7、若， 解：该题考察的是第二个重要极限，解得8、设是连续函数，则 解：变上限函数的求导公式，对于很多同学可能会觉得不容易记牢在记忆时不彷考虑牛顿莱布尼兹公式辅助记忆9、以为顶点的三角形面积= 解：该题考察的是向量的点乘和叉乘等运算性质以向量和向量为两边的三角形的面积等于，三角形的面积等于10、设函数由方程所确定，则 解：本题求由方程所确定的隐函数的偏导数。解法一：对方程两边关于直接求偏导数,得 ，解得解法二：公式法 设,则， 由公式 11、定积分 解：该题考察奇偶函数的定积分在对称区间上的积分性质12、幂级数的收敛域为 解：幂级数的收敛半径，收敛区间为,收敛域为+收敛区间端点。幂级数的收敛半径，收敛区间为,收敛域为+收敛区间端点。该题中，收敛区间为当时，原级数变为收敛；当时， 原级数变为 发散；所以原级数的收敛域为三、计算题13、求极限解：求极限时，多次使用罗比达法则，成了求极限的“利器”。这是不提倡的。罗比达法则求极限的好处主要有两方面，一是通过求导降阶，二是通过求导将难求极限的极限形式转变为容易求极限的形式。求极限的通常形式是无穷小量或是无穷大量阶的比较，使用等价无穷小或是等价无穷大的目的是将函数转换为幂的形式，方便判别阶数。本题可这样求解求极限，目的是找到的等价无穷小。显然，当时，也即从而，可得时， 又 从而本题常规做法是，然后使用罗比达法则求极限。两种解题方法，体现了对极限思想不同理解的差异，其繁简程度大家做完该题后自行体会。14、设函数由方程所确定，求解：该题是隐函数求导的问题，可对方程两边直接求导，求一阶导时，也可采用公式法求导。求一阶导数：（1） 直接求，说明：求本可对上式两边继续关于求导，但是上式等号左侧是商的形式，求完后形式较繁琐，而且后续计算量较大，积的导数形式要比商式的导数简单。从而变形为下面的表达式。解出 对上式两边关于继续求导得 上式中令，可得将代入 中得将代入得，得从而解得，通过求解本题，大家需要学习到解题过程中细节的处理，以及解题风格的培养，本题难度不大，但是求解过程冗长，如何沉着仔细，又快又好的得到正确结果，需要不断训练。（2） 求解一阶导数时还可使用公式法求解设 ，将以上各式代入整理，转化为积的形式，继续求导，可得15、求不定积分解:根据往年的命题规律，几乎每年都有不定积分与定积分的题型各一道。主要考察第一、第二类换元法与分部积分法。分析：从而该题转化为求解不定积分，继续使用分部积分不可取。可考虑使用换元法，令做到此，积分是容易求的，但是做到这，回过来看看，好似兜了个大圈子，该方法也可以求解出结果。但是有点繁琐。经过以上分析，本题最好的求解方法是直接换元。解：令变量代换可得16、计算定积分解： 令，则，上式变为17、求通过平面和平面的交线及点的平面方程。解：求平面方程通常使用点法式，这是最基本的方法。解法一：（基本解法，点法式）对于本题，先取满足方程组的两个特殊点和，再由平面上的不共线三点求出平面方程。具体可先求出向量和，然后两向量再叉乘求出平面的法向量。使用点法式求出平面方程。该方法虽然计算量略微繁琐，但是方法是基本方法。解法二：该题还可使用平面束理论假设有两个相交平面和平面,则通过两平面的交线的所有平面构成一平面束。其方程为注意：该平面束不包含平面，因为时，上面的方程表示平面。解: 设通过平面和平面的交线的方程为因为点在该平面上，代入上面的方程解得从而所求方程为，也即18、设，其中具有二阶连续偏导数，求。解：该题型是几乎每年必考。需要认真掌握。 19、计算二重积分，其中是由以及轴所围成的平面闭区域。解： 该题的积分区域是无论是使用型积分区域还是型积分区域，都必须分成两块来表示 ，该题使用型积分区域求解。 20、已知是二阶常系数非齐次线性方程的一个特解，试确定常数的值，并求该方程组的通解。分析：对于该题，需要熟悉形如的特解形式 方程的特解形式为 其中的取值为 不是特征方程的根， 则； 不是特征方程的单根，则；不是特征方程的重根，则；是与次数相同的多项式；根据以上理论，本题的特解形式应为,是待定的零次多项式。本题的特解形式为 ，与已给的形式不匹配，所以已有的公式不能使用，需要使用其他方法。将特解代入方程，过程如下； ； 对比上式左右两边，可得 解得从而原方程对应的齐次线性方程为，对应的特征方程为，对应的特征根为，故齐次线性方程的通解为原方程的特解为 说明：本题的特解，其中是的解， 是 的解，是 的解。若强行使用特解形式，将导致错误。四、综合题21、 设函数（1）求函数的单调区间、极值。（2）求函数图形的凹凸区间、拐点及渐进线方程。解：（1） ，解得驻点为，不可导点为。 单调递减极小值单调递增无定义单调递减函数的极小值为。（2）二阶导数等于零的点为和二阶导数不存在的点为。 凸函数拐点凹函数无定义凹函数函数的拐点为函数的渐进线方程水平渐进线为，即；铅直渐进线，即；斜渐进线因 不存在，从而不存在。22、设直线与抛物线所围成的图形面积为,它们与直线所围成的平面图形面积为（1）试确定的值，使达到最小，并求出最小值。（2）求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积。解：（1），解得（舍去），故在处有极小值，极小值为；（2） 五、证明题23、证明：当时，分析：证明不等式的常用方法通常有以下几种（1）利用单调性证明（2）利用极值或是最值理论证明（3）利用拉格朗日中值定理并结合导数的有界性对于本题，可尝试使用单调性证明分析法证明：欲使原不等式成立，等价于证明：当时，设 ，且从而等价于证明当时，