复变函数教学大纲(工科)(2).doc

课程编号：课程名称：复变函数(Complex Functions) 复变函数教学大纲一、课程说明复变函数的理论和方法，对物理、力学、工程及数学的其他分支都有广泛的应用。通过本课程的教学，使学生掌握复变函数的基本理论和基本方法，培养学生具有较好的分析问题和解决问题的能力。为了贯彻“少而精”的原则，本大纲在内容选取上注意了突出基本理论和基本方法，本大纲内容，重点放在单复变函数的微分、积分、解析函数的级数展开、残数定理等内容上。对于初等多值解析函数和解析开拓，要求只作初步介绍。本课程总时数为36学时左右，其中讲授时数与习题课时数之比大致是3:1。二、学时分配表教学内容授课学时第一章 复数与复变函数41、复数2、复平面上的点集3、复变函数4、复球面与无穷远点习题课第二章 解析函数61、解析函数的概念与柯西一黎曼条件2、初等解析函数3、初等多值函数习题课第三章 复变函数的积分61、复积分的概念、性质2、柯西积分定理3、柯西积分公式4、解析函数调和函数关系习题课第四章 解析函数的幂级数表示法61、复级数的基本性质2、幂级数3、解析函数泰勒展开式4、解析函数零点孤立性及唯一性定理第五章 解析函数的罗朗展开式与孤立奇点61、罗朗展式2、孤立奇点3、解析函数无穷远点性质4、整函数亚纯函数习题课第六章 残数理论及其应用61、残数的概念、求法及残数基本定理2、用残数定理计算实积分3、幅解原理及其应用习题课机动学时2合计 36三、教学目的与要求教学目的：1、通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决些有关的理论和实际问题的能力。为进一步学习其他课程，并为其他实际工作打好基础。 2、通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，使学生受到严格的思维训练，为初步掌握数学思维方法打下基础。 基本要求：掌握解析函数的基本性质，并能初步地运用这些性质来证明或计算四、教学内容纲要第一章 复数与复变函数主要内容：复数的有关概念，复数点集的概念，复数的运算。要求：1、理解复数的下列概念：实部、虚部、模、幅角、共轭复数、乘幂与方根，熟练掌握相应的运算。）2、理解平面点集(复数集)的下列概念：区域、单连通区域，边界、闭区域。3、了解Jordan曲线概念，复变函数的极限与连续定义并能进行相应的运算，知道复球面与无穷远点的关系。重点: 复变函数的概念，极限与连续性难点: 同上第二章 解析函数主要内容：解析概念与初步运算性质，CauchyRiemann条件，初等解析函数与初等多值函数。要求：1、了解复函数的可导与微分的概念，理解解析的概念及其与CauchyRiemann条件的关系。2、熟练掌握初等解析函数的运算。3、知道多值解析函数的概念及其单值解析分支的选取，会将指数函数、幂函数、三角函数及双曲函数等用其多值的反函数表示。重点：解析函数的概念与柯西黎曼条件难点：对多值函数注重讨论第三章 复变函数的积分主要内容：复积分概念及一些计算方法，Cauchy积分定理，Cauchy积分公式及其一系列推论，解析函数与调和函数关系。要求：1、知道复积分概念与一些简单运算性质，掌握用参数式及曲线积分计算复积分。2、理解Cauchy积分定理及Cauchy积分公式，知道解析函数的不定积分，了解解析函数的无穷可导性，掌握Cauchy不等式及Liouville定理与Morera定理。3、掌握解析函数与调和函数的关系，掌握求共轭调和函数方法及由解析函数的实(虚)部求解析函数的方法。重点：柯西积分定理；单连通，多连通区域情形，不定积分。难点：柯西积分公式，解析函数的无穷可微性，柯西不等式，刘维尔定理。代数基本定理的证明，摩勒拉定理。第四章 解析函数的幂级数表示法主要内容：复级数及其性质，幂级数的收敛性质与收敛半径，解析函数的Taylor展开式，解析函数零点的孤立性与唯一性定理与最大模定理。要求：1、了解复数级的概念及一致收敛性质在运算性质中的应用。2、掌握幂级数收敛半径的计算。3、熟练掌握解析函数的幂级数展开与幂级数求和。4、了解解析函数零点的孤立性，零点的阶数。5、掌握唯一性定理及最大模原理。第五章 解析函数的Laurent展开式与孤立奇点主要内容：Laurent展开式定义及其与解析函数关系，孤立奇点定义与分类，解析函数的无穷远点，整函数与亚纯函数。要求：1、了解Laurent展开式定义及其与解析函数的关系，会利用求解析函数的Taylor展开式求Laurent展开式。2、熟练掌握孤立奇点的定义与分类，三类孤立奇点的判别方法。3、熟练掌握极点阶数的判别及Laurent展开式的计算。4、知道讨论无穷点处解析函数的性质。5、了解整函数与亚纯函数概念及其简单性质。重点：解析函数的罗朗展式及在孤立奇点领域内的展式。难点：解析函数的孤立奇点的定义及其分类，解析函数在孤立奇点领域的性质，席瓦尔兹引理，毕卡定理。第六章 残数理论及其应用主要内容：残数定义与计算，用残数求实积分要求：1、了解残数的定义，掌握求残数的方法，熟练掌握一阶极点处求残数的方法。2、熟练掌握用残数求三类复积分的方法。3、知道幅角原理及其初步运用。重点：残数的定义，柯西残数定理，残数的计算，函数的无穷远点的残数。五、课程教材教科书：西安交通大学高等数学教研室编，复变函数(第四版