怀化学院省级精品课程高等代数教案第六章 线性空间

怀化学院省级精品课程高等代数教案第六章 线性空间 课程网址jpkc.hnadl./Able.A2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问第六章线性空间1集合映射 一、集合集合是数学中最基本的概念之一，所谓集合就是指作为整体看的一堆东西.组成集合的东西称为这个集合的元素.用a?M表示a是集合M的元素，读为a属于M.用a?M表示a不是集合M的元素，读为a不属于M.所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的.因此给出一个集合的方式不外两种，一种是列举法列举出它全部的元素，一种是描述法给出这个集合的元素所具有的特征性质.设M是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成?.M?a|a具有的性质不包含任何元素的集合称为空集，记作?.如果两个集合M与N含有完全相同的元素，即a?M当且仅当a?N，那么它们就称为相等，记为M?N.如果集合M的元素全是集合N的元素，即由a?M可以推出a?N，那么M就称为N的子集合，记为M?N或N?M.两个集合M和N如果同时满足M?N和N?M.，则M和N相等.设M和N是两个集合，既属于M又属于N的全体元素所成的集合称为M与N的交，记为M?N.属于集合M或者属于集合N的全体元素所成的集合称为M与N的并，记为M?N. 二、映射设M和M?是两个集合，所谓集合M到集合M?的一个映射就是指一个法则，它使M中每一个元素a都有M?中一个确定的元素a?与之对应.如果映射?使元素a?M?与元素a?M对应，那么就记为课程网址jpkc.hnadl./Able.A2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问?(a)?a?,a?就称为a在映射?下的像，而a称为a?在映射?下的一个原像.M到M自身的映射，有时也称为M到自身的变换.关于M到M?的映射?应注意1）M与M?可以相同，也可以不同；2）对于M中每个元素a，需要有M?中一个唯一确定的元素a?与它对应；3）一般，M?中元素不一定都是M中元素的像；4）M中不相同元素的像可能相同；5）两个集合之间可以建立多个映射.集合M到集合M?的两个映射?及?，若对M的每个元素a都有?(a)?(a)则称它们相等，记作?.例1M是全体整数的集合，M?是全体偶数的集合，定义?(n)?2n,n?M,这是M到M?的一个映射.例2M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义?1(A)?|A|,A?M.这是M到P的一个映射.例3M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义?2(a)?aE,a?P.E是n级单位矩阵，这是P到M的一个映射.例4对于f(x)?Px,定义?(f(x)?f?(x)这是Px到自身的一个映射.例5设M，M?是两个非空的集合，a0是M?中一个固定的元素，定义?(a)?a0,a?M.这是M到M?的一个映射.课程网址jpkc.hnadl./Able.A2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问例6设M是一个集合，定义?(a)?a,a?M.即?把M的每个元素都映到它自身，称为集合M的恒等映射或单位映射，记为1M.例7任意一个定义在全体实数上的函数y?f(x)都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形.对于映射可以定义乘法,设?及?分别是集合M到M?，M?到M?的映射，乘积?定义为(?)(a)?(?(a),a?M,即相继施行?和?的结果，?是M到M?的一个映射.对于集合集合M到M?的任何一个映射?显然都有1M?1M?.映射的乘法适合结合律.设?,?,?分别是集合M到M?，M?到M?，M?到M?的映射，映射乘法的结合律就是(?)?(?).设?是集合M到M?的一个映射，用?(M)代表M在映射?下像的全体，称为M在映射?下的像集合.显然?(M)?M?.如果?(M)?M?，映射?称为映上的或满射.如果在映射?下，M中不同元素的像也一定不同，即由a1?a2一定有?(a1)?(a2),那么映射?就称为1?1的或单射.一个映射如果既是单射又是满射就称1?1对应或双射.对于M到M?的双射?可以自然地定义它的逆映射，记为?1.因为?为满课程网址jpkc.hnadl./Able.A2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问射，所以M?中每个元素都有原像，又因为?是单射，所以每个元素只有一个原像，定义?1(a?)?a,当?(a)?a?.显然，?1是M?到M的一个双射，并且?1?1M,?1?1M?.不难证明，如果?,?分别是M到M?，M?到M?的双射，那么乘积?就是M到M?的一个双射.课程网址jpkc.hnadl./Able.A2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问2线性空间的定义与简单性质 一、线性空间的定义.例1在解析几何里,讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量算法.不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的.10按平行四边形法则所定义的向量的加法是V3的一个运算;20解析几何中规定的实数与向量的乘法是RV3到V3的一个运算.30由知道,空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律.例2.数域P上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满足上述规律.定义1令V是一个非空集合，P是一个数域.在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说给出了一个法则，.对于V中任意两个向量?与?,在V中都有唯一的一个元素?与它们对应,称为?与?的和,记为?.在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域P中任一个数k与V中任一个元素?,在V中都有唯一的一个元素?与它们对应,称为k与?的数量乘积,记为?k?.如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域P上的线性空间.加法满足下面四条规则:1)?；2)(?)?(?)；3)在V中有一个元素0,?V,都有?0?（具有这个性质的元素0称为V的零元素）；4)?V,?V,st?0(?称为?的负元素).数量乘法满足下面两条规则5)1?;6)k(l?)?(kl)?;数量乘法与加法满足下面两条规则课程网址jpkc.hnadl./Able.A2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问7)(k?l)?k?l?;8)k(?）?k?k?;在以上规则中，k,l等表示数域P中任意数；?,?,?等表示集合V中任意元素.例3数域P上一元多项式环Px,按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P上的线性空间.如果只考虑其中次数小于n的多项式，再添上零多项式也构成数域P上的一个线性空间，用Pxn表示.例4元素属于数域P的m?n矩阵，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，用Pm?n表示.例5全体实函数，按函数加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间.例6数域P按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间.例7以下集合对于所指定的运算是否作成实数域R上的线性空间:1)平面上全体向量所作成的集合V,对于通常向量的加法和如下定义的纯量乘法:a?0,a?R,?V.2)R上n次多项式的全体所作成的集合W对于多项式的加法和数与多项式的乘法.例8设V是正实数集,R为实数域.规定?(即?与?的积),a?=?a(即?的a次幂),其中?,?V,a?R.则V对于加法?和数乘作成R上的线性空间.二线性空间的简单性质线性空间的元素也称为向量.当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多.线性空间有时也称为向量空间.以下用黑体的小写希腊字母?,?,?,?代表线性空间V中的元素，用小写拉丁字母a,b,c,?代表数域P中的数.课程网址jpkc.hnadl./Able.A2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问1.零元素是唯一的.证明设0与0均是零元素，则由零元素的性质，有0?0?0?0；2.负元素是唯一的.证明?V，设?,?都是?的负向量，则?0?(?)?(?)?0?，于是命题得证。 由于负向量唯一，我们用?代表?的负向量。 我们定义二元运算减法“-”如下?定义为?(?)。 3.0?0;k0?0;(?1)?.4.如果k?0,那么k?0或者?0.课程网址jpkc.hnadl./Able.A2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问3维数基与坐标 一、向量的线性相关与线性无关定义2设V是数域P上的一个线性空间，?1,.?2,?,?r(r?1)是V一组向量,k1,k2,?,k r是数域P中的数，那么向量?k1?1?k2.?2?k r?r称为向量组?1,.?2,?,?r的一个线性组合，有时也说向量?可以用向量组?1,.?2,?,?r线性表出.定义3设?1,.?2,?,?r; (1)?1,?2,?.?s (2)是V中两个向量组，如果 （1）中每个向量都可以用向量组 （2）线性表出，那么称向量 （1）可以用向量组 （2）线性表出.如果 （1）与 （2）可以互相线性表出，那么向量组 （1）与 （2）称为等价的.定义4线性空间V中向量?1,.?2,?,?r(r?1)称为线性相关，如果在数域P中有r个不全为零的数k1,k2,?,k r，使k1?1?k2.?2?k r?r?0. (3)如果向量?1,.?2,?,?r不线性相关，就称为线性无关.换句话说，向量组?1,.?2,?,?r称为线性无关，如果等式 （3）只有在k1?k2?k r?0时才成立.几个常用的结论1.单个向量?线性相关的充要条件是?0.两个以上的向量?1,.?2,?,?r线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合.2.如果向量组?1,.?2,?,?r线性无关，而且可以被?1,?2,?.?s线性表出，那么r?s.由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必含有相同个数的向量.课程网址jpkc.hnadl./Able.A2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问3.如果向量组?1,.?2,?,?r线性无关，但?1,.?2,?,?r,?线性相关，那么?可以由被?1,.?2,?,?r线性表出，而且表示法是唯一的.在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的一个重要属性.定义5如果在线性空间V中有n个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么V就称为n维的；如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V就称为无限维的.定义6在n维线性空间V中，n个线性无关的向量?1,?2,?,?n称为V的一组基.设?是V中任一向量，于是?1,?2,?,?n,?线性相关，因此?可以被基?1,?2,?,?n线性表出?a1?1?a2?2?a n?n.其中系数a1,a2,?,a n是被向量?和基?1,?2,?,?n唯一确定的，这组数就称为?在基?1,?2,?,?n下的坐标，记为(a1,a2,?,a n).由以上定义看来，在给出空间V的一组基之前，必须先确定V的维数.定理1如果在线性空间V中有n个线性无关的向量?1,.?2,?,?n，且V中任一向量都可以用它们线性表出，那么V是n维的，而?1,.?2,?,?n就是V的一组基.例1在线性空间Pxn中，1,x,x2,?,xn?1是n个线性无关的向量，而且每一个次数小于n的数域P上的多项式都可以被它们线性表出，所以Pxn是n维的，而1,x,x2,?,x n?1就是它的一组基.例2在n维的空间Pn中，显然课程网址jpkc.hnadl./Able.A2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问?1?(1,0,?,0),?(0,1,?,0),?2?n?(0,0,?,1)是一组基.对于每一个向量?(a1,a2,?,an),都有?a1?1?a2?2?a n?n.所以(a1,a2,?,an)就是向量?在这组基下的坐标.例3如果把复数域C看作是自身上的线性空间，那么它是一维的，数1就是一组基,把复数域C看作是实数域上的线性空间，那么它就是二维的，数1与i就是一组基.这个例子告诉我们，维数是和所考虑的数域有关的.例4求证向量组?e?1x,e?2x?的秩等于2（其中?1?2）证明方法一设k1,k2?P，满足k1e?1x?k2e?2x?0，则k1e?1x?k2e?2x，假若k1,k2不全为零，不妨设k1?0，则有e(?1?2)x?严格单调函数，矛盾于等号右边为常数.于是k2，而由于?1?2，等号左边为k1k1?k2?0.所以e?1x,e?2x线性无关，向量组的秩等于2.方法二若在(a,b)上k1e?1x?k2e?2x?0，两端求导数，得k1?1e?1x?k2?2e?2x?0，以x?c?(a,b)代入，?c?c?k1e1?k2e2?0,?1c?2c?k1?1e?k2?2e?0.而e?1c2e?2c2?1e?c?2e?c?e(?1?2)c(?2?1)?0，于是k1?k2?0.课程网址jpkc.hnadl./Able.A2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问4基变换与坐标变换在n维线性空间中，任意n个线性无关的向量都可以取作空间的基.对于不同的基，同一个向量的坐标一般是不同的.随着基的改变，向量的坐标是怎样变化的.?,?2?,?,?n?是n维线性空间V中两组基，它们的关系是设?1,?2,?,?n与?1?a11?1?a21?2?a n1?n,?1?a?a?a?,?2121222n2n (1)?a1n?1?a2n?2?a nn?n.?n?,x2?,?,x n?)，即设向量?在这两组基下的坐标分别是(x1,x2,?,xn)与(x1?1?x2?2?x n?n?. (2)?x1?1?x2?2?x n?n?x1?,x2?,?,x n?)的关系.现在的问题就是找出(x1,x2,?,xn)与(x1首先指出， (1)中各式的系数(a1j,a2j,?,a nj),j?1,2,?,n实际上就是第二组基向量?j(j?1,2,?,n)在第一组基下的坐标.向量?,?2?,?,?n?的线性无关性就保证了 (1)中系数矩阵的行列式不为零.换句话说，这?1个矩阵是可逆的.为了写起来方便，引入一种形式的写法.把向量?x1?1?x2?2?x n?n.写成?x1?x?(?1,?2,?,?n)?2?, (3)?x?n?也就是把基写成一个1?n矩阵，把向量的坐标写成一个n?1矩阵，而把向量看作是这两个矩阵的乘积.所以说这种写法是”形式的”，在于这里是以向量作为矩阵的元素，一般说来没有意义.不过在这个特殊的情况下，这种约定的用法是不会出毛病的.课程网址jpkc.hnadl./Able.A2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问相仿地， (1)可以写成?a11?a?,?2?,?,?n?)?(?1,?2,?,?n)?21(?1?a?n1a12a22?a n2?a1n?a2n?. (4)?a nn?矩阵?a11?aA?21?a?n1a12a22?a n2?a1n?a2n?a nn?,?2?,?,?n?的过渡矩阵，它是可逆的.称为由基?1,?2,?,?n到?1在利用形式写法来作计算之前，首先指出这种写法所具有的一些运算规律.设?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?n是V中两个向量组，A?a ij?,B?bij?是两个n?n矩阵，那么(?1,?2,?,?n)A)B?(?1,?2,?,?n)(AB);(?1,?2,?,?n)A?(?1,?2,?,?n)B?(?1,?2,?,?n)(A?B);(?1,?2,?,?n)A?(?1,?2,?,?n)A?(?1?1,?2?2,?,?n?n)A.现在回到本节所要解决的问题上来.由 (2)有?x1?x2?,?,?n?)?.?(?1?,?2?x?n?用 (4)代入，得?a11?a?(?1,?2,?,?n)?21?a?n1a12a22?a n2?a1n?x1?a2n?x2.?a nn?x n?与 (3)比较，由基向量的线性无关性，得课程网址jpkc.hnadl./Able.A2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问?x1?a11?x2?a21?x?a?n?n1a12a22?a n2?a1n?x1?a2n?x2, (5)?a nn?x n?1或者?a11?x1?a21?x2?a12?a1n?x1?a22?a2n?x2?. (6)?x?n?a n1a?n2?a nn?x n? (5)与 (6)给出了在基变换 (4)下，向量的坐标变换公式.例1在3例2中有?10?0?(?,?11?0?12?,?,?n?)?(?1,?2,?,?n)?11?1?10?0?A?11?0?11?1?就是过渡矩阵.不难得出?100?0?100?0?A?1?0?10?0?.?000?1?因此?0?0?x1?10?x?0?0?x1?2?10?0?10?0?x?2?x?n?000?1?x?n?也就是x1?x1,x i?xi?xi?1(i?2，?，n).与3所得出的结果是一致的.课程网址jpkc.hnadl./Able.A2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问?,?2?例2取V2的两个彼此正交的单位向量?1,?2它们作成V2的一个基.令?1?,?2?也是V2的一个基，有分别是由?1,?2旋转角?所得的向量，则?1?1?1cos?2sin?2?1sin?2sin?,?2?的过渡矩阵是所以?1,?2到?1?cos?sin?sin?cos?.?,?2?,x2?).设V2的一个向量?关于基?1,?2和?1的坐标分别为(x1,x2)与(x1于是由 (5)得?x1?cos?x?2?sin?即?sin?x1?,?cos?x2?cos?x2?sin?,x1?x1?x1?sin?x2?cos?.x2这正是平面解析几何里，旋转坐标轴的坐标变换公式.课程网址jpkc.hnadl./Able.A2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问5线性子空间 一、线性子空间的概念定义7数域P上的线性空间V的一个非空子集合W称为V的一个线性子空V间（或简称子空间），如果W对于的两种运算也构成数域P上的线性空间.定理2如果线性空间V的一个非空集合W对于V两种运算是封闭的，也就是满足上面的条件1，2，那么W就是一个子空间.既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面引入的概念，如维数、基、坐标等，当然也可以应用到线性子空间上.因为要线性子空间中不可能比在整个子空间中有更多数目线性无关的向量.所以，任何一个线性子空间的维数不能超过整个空间的维数.例1在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间.V例2线性空间本身也是V的一个子空间.在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间有时叫做V的平凡子空间，而其它的线性子空间叫做非平凡子空间.例3在全体实函数组成的空间中，所有的实系数多项式组成一个子空间.例4Pxn是线性空间Px的子空间.例5在线性空间Pn中，齐次线性方程组?a11x1?a12x2?a1n x n?0,?a x?ax?a x?0,?2112222n n?a s1x1?a s2x2?a sn x n?0的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组的解空间.解空间的基就是方程组的基础解系，它的维数等于n?r，其中r为系数矩阵的秩. 二、生成子空间设?1,?2,?,?r是线性空间V中一组向量，这组向量所有可能的线性组合k1?1?k2?2?k r?r所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因而是V的一个子空间，这个子空课程网址jpkc.hnadl./Able.A2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问间叫做由?1,?2,?,?r生成的子空间，记为L(?1,?2,?,?r).由子空间的定义可知，如果V的一个子空间包含向量?1,?2,?,?r，那么就一定包含它们所有的线性组合，也就是说，一定包含L(?1,?2,?,?r)作为子空间.在有限维线性空间中，任何一个子空间都可以这样得到.事实上，设W是V的一个子空间，W当然也是有限维的.设?1,?2,?,?r是W的一组基，就有W?L(?1,?2,?,?r).定理31)两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价.2）L(?1,?2,?,?r)的维数等于向量组?1,?2,?,?r的秩.定理4设W是数域P上n维线性空间V的一个m维子空间，?1,?2,?,?m是W的一组基，那么这组向量必可扩充为整个空间的基.也就是说，在V中必定可以找到n?m个向量?m?1,?m?2,?,?n使得?1,?2,?,?n是V的一组基.结论数域P上线性空间V的一个非空子集W是V的一个子空间?a,b?F,?,?W,都有a?b?W.课程网址jpkc.hnadl./Able.A2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问6子空间的交与和定理5如果V1,V2是线性空间V的两个子空间，那么它们的交V1?V2也是V的子空间.只需要证明V1?V2关于加法与数乘封闭即可.事实上，?,?V1?V2，则?,?V1，?,?V2。 由于V1,V2均是V的子空间，则?V1,?V2，于是?V1?V2，V1?V2关于加法封闭，?V1?V2，k?K，kv?V1,kv?V2，于是kv?V1?V2，V1?V2关于数乘封闭.由集合的交的定义有，子空间的交适合下列运算规律V1?V2?V2?V1(交换律)，(V1?V2)?V3?V1?(V2?V3)（结合律）.由结合律，可以定义多个子空间的交V1?V2?V s?V i,i?1s它也是子空间.定义8设V1,V2是线性空间V的子空间，所谓V1与V2的和，是指由所有能表示成?1?2,而?1?V1,?2?V2的向量组成的子集合，记作V1?V2.定理6如果V1,V2是线性空间V的子空间，那么它们的和V1?V2也是V的子空间.只需要证明V1?V2关于加法与数乘封闭即可.事实上，?,?V1?V2，则由V1?V2的定义，?1,?1?V1,?2,?2?V2，使得?1?2,?1?2，而?1?1?V1,?2?2?V2，则?(?1?2)?(?1?2)?(?1?1)?(?2?2)?V1?V2，V1?V2关于加法封闭，使得?1?2，由于k?1?V1,k?2?V2，?V1?V2,k?K，?1?V1,?2?V2，则k?k(?1?2)?k?1?k?2?V1?V2，V1?V2关于数乘封闭.课程网址jpkc.hnadl./Able.A2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问由定义有，子空间的和适合下列运算规律V1?V2?V2?V1(交换律)，(V1?V2)?V3?V1?(V2?V3)（结合律）.由结合律，可以定义多个子空间的和V1?V2?V s?V i.i?1s它是由所有表示成?1?2?s,?i?V i(i?1,2,?,s)的向量组成的子空间.关于子空间的交与和有以下结论1.设V1,V2,W都是子空间，那么由W?V1与W?V2可推出W?V1?V2；而由W?V1与W?V2可推出W?V1?V2.2.对于子空间V1与V2，以下三个论断是等价的1）V1?V2;2)V1?V2?V1;3)V1?V2?V2.例1在三维几何中用V1表示一条通过原点的直线，V2表示一张通过原点而且与V1垂直的平面，那么，V1与V2的交是?0?，而V1与V2的和是整个空间.例2在线性空间Pn中，用V1与V2分别表示齐次方程组?a11x1?a12x2?a1n x n?0,?a x?ax?a x?0,?2112222n n?a s1x1?a s2x2?a sn x n?0与课程网址jpkc.hnadl./Able.A2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问?b11x1?b12x2?b1nx n?0,?b x?b x?bx?0,?2112222n n?b t1x1?b t2x2?b tnx n?0的解空间，那么V1?V2就是齐次方程组?a11x1?a12x2?a1nxn?0,?a s1x1?a s2x2?a snxn?0,?b x?b x?b x?0,1n n?111122?b t1x1?b t2x2?b tnxn?0的解空间.例3在一个线性空间V中，有L(?1,?2,?,?s)?L(?1,?2,?,?t)?L(?1,?,?s,?1,?,?t).关于两个子空间的交与和的维数，有以下定理.定理7（维数公式）如果V1，V2是线性空间V的两个子空间，那么维（V1）+维（V2）=维（V1?V2）+维（V1?V2）.证明设dim V1?s，dimV2?t，dim(V1?V2)?n，dim(V1?V2)?r，取V1?V2的一组基?1,?2,?,?r（若V1?V2=0，则r?0，基为空集），将此基分别扩充为V1,V2的基?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?s?r，?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?t?r，只需要证明?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?s?r,?1,?2,?,?t?r是V1?V2的一组基即可.首先，易见V1?V2中的任一向量都可以被?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?s?r,?1,?2,?,?t?r线性表出.事实上，?V1?V2，则?1?2，其中?1?V1,?2?V2，而?1?k1?1?k2?2?k r?r?k r?1?1?k r?2?2?k s?s?r,?2?l1?1?l2?2?lr l?r?r?l11?r?2?2?l?.t k i r,l j?K t?课程网址jpkc.hnadl./Able.A2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问于是?1?2可被?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?l?r,?1,?2?,?t?r线性表出.只要再证明向量组?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?l?r,?1,?2,?,?t?r线性无关即可.设k1?1?k2?2?k r?r?a1?1?a2?2?a s?r?s?r?b1?1?b2?2?b t?r?t?r?0，其中ki,aj,bh?K，则（*）k1?1?k2?2?k r?r?a1?1?a2?2?a s?r?s?r?b1?1?b2?2?b t?r?t?r，于是k1?1?k2?2?k r?r?a1?1?a2?2?a s?r?s?r?V1，?b1?1?b2?2?b t?r?t?r?V2，于是k1?1?k2?2?k r?r?a1?1?a2?2?a s?r?s?r?V1?V2，记为?.则?可被?1,?2,?,?r线性表示，因而?h1?1?h2?2?h r?r，带入（*），有h1?1?h2?2?h r?r?b1?1?b2?2?b t?r?t?r?0，由于?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?t?r是V2的一组基，所以线性无关，则h1?h2?h r?b1?b2?b t?r?0，带回（*），又有k1?k2?k r?a1?a2?a s?r?0，于是向量组?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?s?r,?1,?2,?,?t?r线性无关.从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数的和来得小.推论如果n维线性空间V中两个子空间V1，V2的维数之和大于n，那么V1，V2必含有非零的公共向量.课程网址jpkc.hnadl./Able.A2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问7子空间的直和定义9设V1,V2是线性空间V的子空间，如果和V1?V2中每个向量?的分解式?1?2,?1?V1,?2?V2是唯一的，这个和就称为直和，记为V1?V2.定理8和V1?V2是直和的充要条件是等式?1?2?0,?i?V i(i?1,2)只有在?i全为零时才成立.推论和V1?V2是直和?V1?V2?0?.定理9设V1,V2是线性空间V的子空间，令W?V1?V2，则W?V1?V2?维(W)=维(V1)+维(V2).定理10设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W使V?U?W.子空间的直和的概念可以推广到多个子空间的情形.定义10设V1,V2,?,V s都是线性空间V的子空间，如果和V1?V2?V s中每个向量?的分解式?1?2?s,?i?V i(i?1,2,?,s)是唯一的，这个和就称为直和，记为V1?V2?V s.定理11V1,V2,?,V s是线性空间V的一些子空间，下面这些条件是等价的1）W?V i是直和；2）零向量的表法唯一；3）V i?V j?0?j?i(i?1,2,?,s);4）维(W)=?维(V i).证明1)?2)显然.2)?1)设?1?2?m?1?2?m,则课程网址jpkc.hnadl./Able.A2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问(?1?1)?(?2?2)?(?m?m)?0.由2）知，零向量的表示法唯一，于是?i?i,i?1,2,?,m，即?的表示法唯一.由直和的定义可知，V1?V2?V m是直和.?V)?0，则存2)?3)假若存在某个i,1?i?m，使得V i?(V1?V im?V)，于是存在?V，使得在向量?0且?V i?(V1?Vj ji m?i?m.?1?由线性空间的定义，?V)，?V i?(V1?V im则?1?(?)?m?(?)?0，与零向量的表示法唯一矛盾，于是?V)?0,?i?1,2,?,m.V i?(V1?V im3)?2)若2）不真，则有0?1?i?m，其中?j?V j(j?1,2,?,m)且?i?0。 于是?V)，?i?m?V i?(V1?V?i?1?i m与3）矛盾，于是2）成立.3)?4)对m作归纳法.m=2时，由维数公式得到dim(V1?V2)?dimV1?dimV2?dim(V1?V2)?dimV1?dimV2.设m?1(m?3)已证，dim(V1?V2?V m)?dimV m?dim(V1?V2?V m?1)?dim(V m?(V1?V2?V m?1)?dimV m?dim(V1?V2?V m?1),而?i,1?i?m?1，都有垐V i?(V1?V i?V m?1)?V i?(V1?V i?V m)?0；用归纳假设，可以得到dim(V1?V2?V m)?dimV1?dimV2?dimV m；课程网址jpkc.hnadl./Able.A2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问4)?3)?i,1?i?m，都有垐dim(V i?(V1?V i?V m)?dim(V i)?dim(V1?V i?V m)?dim(V1?V2?V m)?0，?V)?0,?i?1,2,?,m.于是V i?(V1?V im命题设V?V1?V2?V m，则V1,V2,?,V m的基的并集为V的一组基.证明设?i1,?i2,?,?i r是V i的一组基，则V中任一向量可被?i1,?i2,?,?i rimi?1i线性表出。 又dimV?dimV i?r1?r2?r m，由命题，它们线性无关，于是它i?1m们是V的一组基.定义设V1为V的子空间，若子空间V2满足V?V1?V2，则称为V1的补空间.命题有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间.证明设V1为P上的n维线性空间V的非平凡子空间，取V1的一组基?,?1,?2,?,?r，将其扩为V的一组基?1,?2V2?L(?r?1,?r?2,?,?n)，则有r,?r,?1?r?,?2,.n取?,V?V1?V2，且dimV1?dimV2?n?dim(V1?V2)，于是V?V1?V2，即V2是V1的补空间.课程网址jpkc.hnadl./Able.A2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问8线性空间的同构设?1,?2,?,?n是线性空间V的一组基，在这组基下，V中每个向量都有确定的坐标，而向量的坐标可以看成Pn元素，因此向量与它的坐标之间的对应实质上就是V到Pn的一个映射.显然这个映射是单射与满射，换句话说，坐标给出了线性空间V与Pn的一个双射.这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.设?a1?1?a2?2?a n?n,?b1?1?b2?2?b n?n而向量?,?,的坐标分别是(a1,a2,?,an),(b1,b2,?,b n)，那么?(a1?b1)?1?(a2?b2)?2?(a n?b n)?n;k?ka1?1?ka2?2?ka n?n.于是向量?,k?的坐标分别是(a1?b1,a2?b2,?,a n?b n)?(a1,a2,?,a n)?(b1,b2,?,b n),(ka1,ka2,?,ka n)?k(a1,a2,?,a n).以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它们的运算就可以归结为它们坐标的运算.因而线性空间V的讨论也就可以归结为Pn的讨论.定义11数域P上两个线性空间V与V?称为同构的，如果由V到V?有一个双射?，具有以下性质1）?(?)?(?)?(?);2)?(k?)?k?(?).其中?,?是V中任意向量，k是P中任意数.这样的映射?称为同构映射.前面的讨论说明在n维线性空间V中取定一组基后，向量与它的坐标之间的对应就是V到Pn的一个同构映射.因而，数域P上任一个n维线性空间都与Pn同构.n课程网址jpkc.hnadl./Able.A2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问由定义可以看出，同构映射具有下列性质1.? (0)?0,?(?)?(?).2.?(k1?1?k2?2?k r?r)?k1?(?1)?k2?(?2)?k r?(?r).3.V中向量组?1,?2,?,?r线性相关线性相关.因为维数就是空间中线性无关向量的最大个数，所以由同构映射的性质可以推知，同构的线性空间有相同的维数.4.如果V1是V的一个线性子空间，那么，V1在?下的象集合?它们的象?(?1),?(?2),?,?(?r)?(V1)?(?)|?V1?是?(V)的子空间，并且V1与?(V1)维数相同.5.同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射.同构作为线性空间之间的一种关系，具有反身性、对称性与传递性.既然数域P上任意一个n维线性空间都与Pn同构，由同构的对称性与传递性即得，数域P上任意两个维线性空间都同构.定理12数域P上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数