高等数学教学教案§9. 5 隐函数的求导法则.doc

六六老师数学网专用资料： http:/y66.80.hk qq：745924769 tel：153273761179. 5 隐函数的求导法则授课次序56教 学 基 本 指 标教学课题9. 5 隐函数的求导法则教学方法当堂讲授，辅以多媒体教学教学重点隐函数的求导法则教学难点方程组形式参考教材同济大学编高等数学（第6版）自编教材高等数学习题课教程作业布置高等数学标准化作业双语教学函数：function；极限：limit；极限值：limit value ；导数：derivative；偏导数：partial derivative；微分：differential calculus；全微分：total differential；偏微分：partial differential；课堂教学目标1 会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数2 了解隐函数存在定理教学过程1隐函数的偏导数（45min）；2由方程组确定的隐函数的偏导数（45min）教 学 基 本 内 容9. 5 隐函数的求导法则 一、一个方程的情形 隐函数存在定理1 设函数F(x, y)在点P(x0, y0)的某一邻域内具有连续偏导数, F(x0, y0)=0, Fy(x0, y0)0, 则方程F(x, y)=0在点(x0, y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x), 它满足条件y0=f(x0), 并有 . 求导公式证明: 将y=f(x)代入F(x, y)=0, 得恒等式F(x, f(x)0, 等式两边对x求导得 , 由于F y连续, 且Fy(x0, y0)0, 所以存在(x0, y0)的一个邻域, 在这个邻域同Fy 0, 于是得 . 例1 验证方程x2+y2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x), 并求这函数的一阶与二阶导数在x=0的值. 隐函数存在定理还可以推广到多元函数. 一个二元方程F(x, y)=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F(x, y, z)=0可以确定一个二元隐函数. 隐函数存在定理2 设函数F(x, y, z)在点P(x0, y0, z0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F(x0, y0, z0)=0, Fz(x0, y0, z0)0 , 则方程F(x, y, z)=0在点(x0, y0, z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x, y), 它满足条件z0=f(x0, y0), 并有 , . 公式的证明: 将z=f(x, y)代入F(x, y, z)=0, 得F(x, y, f(x, y)0, 将上式两端分别对x和y求导, 得 , . 因为F z连续且F z(x0, y0, z0)0, 所以存在点(x0, y0, z0)的一个邻域, 使F z0, 于是得 , . 例2. 设x2+y2+z2-4z=0, 求. 二、方程组的情形 在一定条件下, 由个方程组F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0可以确定一对二元函数u=u(x, y), v=v(x, y), 例如方程xu-yv=0和yu+xv=1可以确定两个二元函数, . 事实上, xu-yv=0 , . 如何根据原方程组求u, v的偏导数？ 隐函数存在定理3 设F(x, y, u, v)、G(x, y, u, v)在点P(x0, y0, u0, v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数, 又F(x0, y0, u0, v0)=0, G(x0, y0, u0, v0)=0, 且偏导数所组成的函数行列式: 在点P(x0, y0, u0, v0)不等于零, 则方程组F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0在点P(x0, y0, u0, v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u=u(x, y), v=v(x, y), 它们满足条件u0=u(x0, y0), v0=v(x0, y0), 并有 , , , . 隐函数的偏导数: 设方程组F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0确定一对具有连续偏导数的二元函数u=u(x, y), v=v(x, y), 则偏导数, 由方程组确定; 偏导数, 由方程组确定. 例3 设xu-yv=0, yu+xv=1, 求, , 和. 例4 设函数x=x(u, v), y=y(u, v)连续且有连续偏导数, 又 . (1)证明方程组 在点(x, y, u, v)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u=u(x, y), v=v(x, y). (2)求反函数u=u(x, y), v=v(x, y)对x, y的偏导数. 解 (1)将方程组改写成下面的形式 , 则按假设 由隐函数存在定理3, 即得所要证的结论. (2)将方程组(7)所确定的反函数u=u