一个分式型双向不等式定理的应用(投稿正稿).doc

几个不等式问题的推广与引申阳凌云,张彩霞 (湖南工业大学 数学与计算机科学系，湖南 株洲 412007)摘 要: 本文应用一个分式型双向不等式定理,对国际数学竞赛和不同书刊中提到的有关不等式的证明以及求解最值问题进行探讨,并对其部分问题进行了适当推广.关键词: 分式型不等式；应用；推广Popularization and extension of Several Inequality QuestionsYANG Ling-yun ,ZHANG Cai-xia( Department of Mathematics & Computer Science, Hunan University of Technology Zhuzhou Hunan 412007,China )Abstract: This paper applies a fractional bi-directional inequality theorem, carries on the discussion on inequality proof mentioned in some international mathematics competitions, some books and periodicals. It also probes into a few maximum and minimum problems, and makes suitable popularization about some of the problems.Key word: fractional inequality；application；popularization 1 前言 数学素质教育导论1一书中第227页提出了如下分式型双向不等式定理：对任意,0,=1,2, 则当0+11时,有 (1)当0或1或0、0时，有 (2)当=或=、=或=1、=时，(1)、(2)式均取“=”;当、,且=时,当且仅当(0),(1)、(2)式均取“=”;当0、,且时,当且仅当,(1)、(2)式均取“=”.该定理是先将幂函数应用于Jensen加权不等式，得到一个分式型双向不等式2,然后推广到上述分式型双向不等式定理。通过对有关不等式问题的研究，我们发现：其他大多数研究者由于其研究方法和利用已有的不等式存在一定的局限性，难于推广引申不等式问题。然而，由于该定理来源于幂函数，同时考虑到幂函数在0时属于全体实数，因此我们有理由断言该不等式定理的适用范围应当非常宽泛，即不等式成立的条件不仅更宽松，而且其结论也会更深刻。因此，本文从该定理入手，通过挖掘其潜在的应用功能，探讨不等式领域中的更多问题，体现其丰富内涵和应用价值。2 (1)、(2)式的应用现对（1）、（2）式中的变元作适当的代换，同时对其指数作适当的变形，探讨和解决国际数学竞赛和不同书刊中提到的有关不等式的证明以及求解多元函数最值等问题,一方面提高解题技巧,另一方面拓宽命题范围，以使此类问题的研究更简捷、深刻.2.1 应用(1)式探讨有关问题2.1.1 有关不等式求证问题中的应用与推广问题1 设P是ABC内的一点,x、y、z是P到三角形三边、b 、c的距离,R是ABC外接圆的半径, 试证 .现将其推广成如下命题：命题1 设P是ABC内的一点,x、y、z是P到三角形三边、b 、c的距离,R是ABC外接圆的半径, 若2，则有 . （3） 证明 记为ABC的面积，则有,由条件2即01，于是应用(1)式，则有.根据(1)式等号成立的条件，易知：当且仅当 ,时，（3）式取“”2.2 应用(2)式探讨有关问题2.2.1 几个求解最值问题的综合研究问题2(1990年日本IMO代表队第一轮选拔赛题) 设,R，且+=1,求的最小值.问题3(数学通报2004年第7期问题1504) 已知,R,且+=1,求的最小值.问题4 (数学教学2003年6月号问题) 已知,R,+2+3=1,求的最小值.现将上述三个问题推广统一成如下命题：命题2 设,R,=1,2,.且,，则有 （4）当且仅当 =，=1,2,.即时，(4)式取“=”. 证明 由条件,应用(2)式,则有=根据(2)式等号成立的条件，易知：当且仅当 =，=1,2,时，(4)式取“=”. 上述三个问题,可 设(4)式中,.再令(4)式中 =1,=4,=9,=1,即得问题2,当且仅当，即=,=,=时,取到最小值36；再令(4)式中 =1,=1,=8,=2,即得问题3，当且仅当时，即=,=,=时，取到最小值64；再令(4)式中 =16,=81,=1,=3,即得问题4,当且仅当时，即=，=，=时，取到最小值1296.注：此命题包含了文3中的推广结论. 2.2.2几个不等式求证问题的综合研究 问题5(第28届IMO预选题) 设,是的三边长, ,N,求证 . 问题64若，,1,则 问题75设，,1,则 当且仅当时等号成立.现将上述三个问题推广、引申成如下命题：命题3设R，R，=1,2,.且，则 当或、时，有 （5）当时，有 （6）当=或=、=或=1、=时，(5)、(6)式均取“=”；当、时，当且仅当时，(5)、(6)式均取“=”证明1、先证（5）式当或、时，于是应用（2）式，易知：再应用（）式，则有=2、次证（6）式当时，于是应用（）式，则有根据（）、（2）式等号成立的条件，不难知道：当=或=、=或=1、=时，(5)、(6)式均取“=”；当、时，当且仅当时，(5)、(6)式均取“=”令(5)式中,即得问题5.令(5)式中,即得问题6.令(5)式中,即得问题7.注：命题中的（5）式是问题5、6、7的推广，且比问题7中不等式成立的条件更宽松；（6）式则是问题7的引申参考文献1 阳凌云等著.数学素质教育导论M.长沙：湖南科学技术出版社,2005：2272 阳凌云,郑光辉.一个不等式的衍生J.株洲师范高