高考数学 专题3 第8讲构造法在解题中的应用课件 文.ppt

专题3解题策略 第8讲构造法在解题中的应用 在解题时 我们常常会采用这样的方法 通过对条件和结论的分析 构造辅助元素 它可以是一个图形 一个方程 组 一个等式 一个函数 一个等价命题等 架起一座连结条件和结论的桥梁 从而使问题得以解决 这种解题的数学方法 称为构造法 方法精要 解数学问题时 常规的思考方法是由条件到结论的定向思考 但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难 甚至无从着手 在这种情况下 经常要求我们改变思维方向 换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径 构造法就是这样的手段之一 构造法作为一种数学方法 不同于一般的逻辑方法 一步一步寻求必要条件 直至推导出结论 它属于非常规思维 其本质特征是 构造 用构造法解题 无一定之规 表现出思维的试探性 不规则性和创造性 数学证明中的构造法一般可分为两类 一类为直接性构造法 一类为间接性构造法 典例剖析 精题狂练 典例剖析 题型一构造向量解决不等式的问题 题型二构造不等式解决证明问题 题型三构造函数最值 比较大小的问题 题型四构造数列解决数列求和的问题 题型一构造向量解决不等式的问题 破题切入点根据点在直线上可以得到 1 联想向量的数量积的坐标运算法则 可以构造向量 题型一构造向量解决不等式的问题 答案 题型二构造不等式解决证明问题 破题切入点 题型二构造不等式解决证明问题 所以所证三式相加 不等式成立 破题切入点直接按照导数研究函数的方法解决 题型三构造函数最值 比较大小的问题 解f x 1 4x ln4 题型三构造函数最值 比较大小的问题 f x 0 题型三构造函数最值 比较大小的问题 2 判断an与an 1 n n 的大小 并说明理由 破题切入点根据给出的条件 f an 可以构造函数g x f x 2x 1 通过研究这个函数解决问题 解由 f an 记g x f x 2x 1得g x f x 2x 1ln2 1 2x 4x ln4 题型三构造函数最值 比较大小的问题 即 0 得an 1 an 所以g x g 0 f 0 2 0 f an 0 破题切入点首先根据已知条件求出sn的通项公式 进而求出通项an 题型四构造数列解决数列求和的问题 1 求出通项公式an 解因为an 2sn sn 1 n 2 所以sn sn 1 2sn sn 1 题型四构造数列解决数列求和的问题 又因为an 2sn sn 1 n 2 所以当n 2时 题型四构造数列解决数列求和的问题 题型四构造数列解决数列求和的问题 破题切入点利用放缩法和拆项法证明 所以当n 2时 题型四构造数列解决数列求和的问题 总结提高用构造法解题时 被构造的对象是多种多样的 按它的内容可分为数 式 函数 方程 数列 复数 图形 图表 几何变换 对应 数学模型 反例等 从上面的例子可以看出这些想法的实现是非常灵活的 没有固定的程序和模式 不可生搬硬套 但可以尝试从中总结规律 在运用构造法时 一要明确构造的目的 即以什么目的而构造 二要弄清楚问题的特点 以便依据特点确定方案 实现构造 精题狂练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 精题狂练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 精题狂练 2 已知数列 an 中 a1 1 an 2an 1 1 则数列 an 的通项公式为 解析因为an 2an 1 1 所以an 1 2 an 1 1 所以数列 an 1 是以a1 1 2为首项 2为公比的等比数列 所以an 1 2 2n 1 2n 所以an 2n 1 an 2n 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 精题狂练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 精题狂练 为求其值域只要求其最值即可 易知当m n p三点共线 即p在线段mn上 时 f x 取得最小值 故得函数的值域为 5 答案 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 精题狂练 4 如图 已知球o的球面上有四点a b c d da 平面abc ab bc da ab bc 则球o的体积等于 解析如图 以da ab bc为棱长构造正方体 设正方体的外接球球o的半径为r 则正方体的体对角线长即为球o的直径 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 精题狂练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 精题狂练 当00 即函数f x 在 0 1 上是增函数 a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 精题狂练 解析构造函数f x log2 x 1 问题就是函数f x 图象上的三个点 a f a b f b c f c 与原点连线的斜率在比较大小 观察图象即得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 精题狂练 7 若x2 y2 3 a2 b2 4 x y a b r 则ax by的取值范围是 解析构造向量m x y n a b 为m与n的夹角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 精题狂练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 精题狂练 这说明四边形oapb是一个正方形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 精题狂练 9 设a b c且a b c 1 a2 b2 c2 1 求a b的范围 解由a b c 1得a b 1 c 将 的两边平方并将a2 b2 c2 1代入得ab c2 c 由 可知 a b是方程x2 c 1 x c2 c 0的两个不等的实根 于是 c 1 2 4 c2 c 3c2 2c 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 精题狂练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 精题狂练 又f x 在 0 上是一个单调递增函数 所以有f a b f a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 精题狂练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 精题狂练 11 求值cos5 cos77 cos149 cos221 cos293 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 精题狂练 又因为和向量的投影等于各个向量投影的和 cos5 cos77 cos149 cos221 cos293 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 精题狂练 12 设各项均为正数的数列 an 的前n项和为sn 满足 4sn 4n 1 n n 且a2 a5 a14恰好是等比数列 bn 的前三项 1 求数列 an bn 的通项公式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 精题狂练 an 0 an 1 an 2 当n 2时 an 是公差d 2的等差数列 a2 a5 a14构成等比数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 精题狂练 a1 1 a2 a1 3 1 2 an 是