高中数学第一章推理与证明1.4数学归纳法学业分层测评北师大版选修.docx

1.4 数学归纳法(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.(2016广州高二检测)用数学归纳法证明3nn3(n3，nN)，第一步验证()A.n1B.n2C.n3D.n4【解析】由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n3是否成立.【答案】C2.已知f(n)，则()A.f(n)共有n项，当n2时，f(2)B.f(n)共有n1项，当n2时，f(2)C.f(n)共有n2n项，当n2时，f(2)D.f(n)共有n2n1项，当n2时，f(2)【解析】结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n1，n2的连续自然数共有n2n1个，且f(2).【答案】D3.用数学归纳法证明123n2，则当nk1(nN)时，等式左边应在nk的基础上加上() A.k21B.(k1)2C.D.(k21)(k22)(k23)(k1)2【解析】当nk时，等式左边12k2，当nk1时，等式左边12k2(k21)(k1)2，故选D.【答案】D4.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”，那么，下列命题总成立的是()A.若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立B.若f(5)25成立，则当k4时，均有f(k)k2成立C.若f(7)49成立，则当k8时，均有f(k).假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是_.【解析】当nk1时，目标不等式为：.【答案】8.用数学归纳法证明1222(n1)2n2(n1)22212时，由nk的假设到证明nk1时，等式左边应添加的式子是_.【解析】当nk时，左边1222(k1)2k2(k1)22212.当nk1时，左边1222k2(k1)2k2(k1)22212，所以左边添加的式子为(k1)2k2.【答案】(k1)2k2三、解答题9.用数学归纳法证明：13(2n1)n2(nN).【证明】(1)当n1时，左边1，右边1，等式成立.(2)假设当nk(k1)时，等式成立，即13(2k1)k2，那么，当nk1时，13(2k1)2(k1)1k22(k1)1k22k1(k1)2.这就是说，当nk1时等式成立.根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立.10.用数学归纳法证明：11).【证明】(1)当n2时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立.(2)假设当nk时，不等式成立，即1k，则当nk1时，有1kkk1，所以当nk1时不等式成立.由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立.能力提升1.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，第二步归纳假设应写成()A.假设n2k1(kN)时正确，再推n2k3时正确B.假设n2k1(kN)时正确，再推n2k1时正确C.假设nk(kN)时正确，再推nk1时正确D.假设nk(kN)时正确，再推nk2时正确【解析】n为正奇数，在证明时，归纳假设应写成：假设n2k1(kN)时正确，再推出n2k1时正确.故选B.【答案】B2.对于不等式n1(nN)，某学生的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立；(2)假设当nk(kN)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，所以当nk1时，不等式成立.上述证法() A.过程全都正确B.n1验证不正确C.归纳假设不正确D.从nk到nk1的推理不正确【解析】n1的验证及归纳假设都正确，但从nk到nk1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的证题要求.故选D.【答案】D3.用数学归纳法证明34n252n1能被14整除的过程中，当nk1时，34(k1)252(k1)1应变形为_.【解析】当nk1时，34(k1)252(k1)18134k22552k125(34k252k1)5634k2.【答案】25(34k252k1)5634k24.设函数yf(x)对任意实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(nN)的表达式，并用数学归纳法加以证明.【解】(1)令xy0，得f(00)f(0)f(0)200f(0)0.(2)f(1)1，f(2)f(11)1124，f(3)f(21)412219，f(4)f(31)9123116.(3)猜想f(n)n2，下面用数学归纳法证明.当n1时，f(