第22讲定积分概念2009.doc

数学分析I第22讲教案第22讲 定积分概念与牛顿-莱布尼茨公式授课题目定积分概念与牛顿-莱布尼茨公式教学内容1. 定积分定义；2. 牛顿-莱布尼茨公式.教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能较好掌握定积分定义，理解定积分的几何意义和物理意义，熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式.教学重点及难点教学重点：定积分定义，定积分的牛顿-莱布尼茨公式；教学难点：定积分定义.教学方法及教材处理提示(1)从曲边梯形面积计算实例出发，引入定积分概念，讲清（分割，计算积分和，取极限）定积分的思想。(2) 定积分定义是本讲（也是全书）的重点内容，通过用定义计算某些简单连续定积分实例 ，进一步强化学生对定积分概念的理解。(3)要求学生能证明并应用牛顿-莱布尼茨公式，这是一个很好的证明题，务必要讲细讲透(4) 利用定积分定义来处理一些特殊的极限是一个难点，对学习较好的学生可布置这种类型的题目作业布置作业内容：教材 :1，2（1，2）；:1(2，3)，2（1，3）.讲授内容一、问题提出 1曲边梯形的面积 设为闭区间上的连续函数，且由曲线，直线，以及轴所围成的平面图形，称为曲边梯形下面讨论曲边梯形的面积(这是求任何曲线边界图形面积的基础)在区间内任取个分点，它们依次为，这些点把分割成个小区间再用直线把曲边梯形分割成个小曲边梯形 在每个小区间上任取一点，作以为高，为底的小矩形当分割的分点较多，又分割得较细密时，由于为连续函数，它在每个小区间上的值变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边梯形的面积于是，这个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积的近似值，即 （1） 注意到（1）式右边的和式既依赖于对区间的分割，又与所有中间点的取法有关。可以想象，当分点无限增多，且对无限细分时，如果此和式与某一常数无限接近，而且与分点和中间点的选取无关，就把此常数定义作为曲边梯形的面积 2变力所作的功 设质点受力F的作用沿轴由点移动到点，并设处处平行于轴由假设为一连续函数，故在很小的一段位移区间上可以近似地看作一常量。类似于求曲边梯形面积那样，把细分为个小区间；并在每个小区间上任取一点，就有，于是，质点从位移到时，力所作的功就近似等于，从而二、定积分的定义定义1 设闭区间内有个点，依次为 ，它们把分成个小区间这些分点或这些闭子区间构成对的一个分割，记为或，小区间的长度为，并记称为分割的模 注：由于，因此，可用来反映被分割的细密程度另外，分割一旦给出，就随之而确定；但是，具有同一细度的分割却有无限多个 定义2 设是定义在上的一个函数对于的一个分割，任取点，并作和式, 称此和式为函数在上的一个积分和，也称黎曼和显然，积分和既与分割丁有关，又与所选取的点集有关 定义3 设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数若对任给的正数，总存在某一正数，使得对的任何分割，以及在其上任意选取的点集，只要，就有 ，则称函数在区间上可积或黎曼可积；数称为在上的定积分或黎曼积分，记作 其中称为被积函数，称为积分变量，称为积分区间，分别称为这个定积分的下限和上限 注1：把定积分定义的说法和函数极限的说法相对照，便会发现两者有相似的陈述方式，因此我们也常用极限符号来表达定积分，即把它写作 然而，每一个并不唯一对应积分和的一个值这使得积分和的极限要比通常的函数极限复杂得多 注2：可积性是函数的又一分析性质稍后就会知道连续函数是可积的，于是本节开头两个实例都可用定积分记号来表示：（1）连续曲线在上形成的曲边梯形面积为（2）在连续变力作用下，质点从位移到所作的功为 注3：(定积分的几何意义) 对于上的连续函数，当，时，定积分的几何意义就是该曲边梯形的面积；当时，这时是位于轴下方的曲边梯形面积的相反数，不妨称之为“负面积”；对于一般非定号的而言，定积分的值则是曲线在轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和 注4： 定积分作为积分和的极限，它的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量所用的符号无关，即 例1 求在区间上，以抛物线为曲边的曲边三角形的面积 解 由注3，因在上连续，故所求面积为 为求得此极限，在定积分存在的前提下，允许选择某种特殊的分割和特殊的点集在此只需取等分分割：并取则有 三、牛顿一莱布尼茨公式从上节例题和习题看到，通过求积分和的极限来计算定积分一般是很困难的下面要介绍的牛顿一莱布尼茨公式不仅为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来 定理91 若函数在上连续，且存在原函数，即，则在上可积，且 这称为牛顿一莱布尼茨公式，它也常写成 证：由定积分定义，任给，要证存在，当时，有 事实上，对于的任一分割，在每个小区间上对使用拉格朗日中值定理，则分别存在，使得 （2）因为在上连续，从而一致连续，所以对上述，存在，当、时，有，于是，当时，任取，便有，这就证得 =.所以上可积，且牛顿一莱布尼茨公式成立 例1 利用牛顿一莱布尼茨公式计算下列定积分： （1）；（2）； （3）； （4）； （5） 解：，现在用牛顿莱布尼茨公式来计算就十分方便：（1） （2）（3） （4）