单元评估检测(五).doc

世纪金榜 圆您梦想温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。单元评估检测（五）（第五章）（120分钟 160分） 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上)1.(2012扬州模拟)已知等比数列an中,各项都是正数,且a1,2a2成等差数列,则=_.2.已知等差数列an中，a5+a9-a7=10,记Sn=a1+a2+an，则S13=_.3.已知数列an中,a1=1,以后各项由公式an=(n2,nN*)给出，则a4=_.4.已知Sn为等比数列an的前n项和，a1=2，若数列1+an也是等比数列，则Sn=_.5.已知数列an的前n项和为Sn，a1=1,若n2时，an是Sn与Sn-1的等差中项，则S5=_.6.设Sn是等差数列an的前n项和，S5=3(a2+a8)，则的值为_.7.若Sn为等差数列an的前n项和，S9=-36,S13=-104,则a5与a7的等比中项为_.8.(2012淮安模拟)公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项,S8=32,则S10等于_.9.(2012盐城模拟)已知数列an满足a1=1,an+an-1=(n2),Sn=a12+a222+an2n,类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法,可求得3Sn-an2n+1=_.10.已知函数f(x)对应关系如表所示，数列an满足a1=3,an+1=f(an),则a2 013=_.x123f(x)32111.(2012南通模拟)在圆x2+y2=5x内,过点()有n条弦,其长度成等差数列,最小弦长为数列的首项a1,最大弦长为an,若公差为d,d,那么n的值为_.12.(2012通州模拟)记数列an的前n项和为Sn,若是公差为d的等差数列,则an为等差数列时d的值为_.13.已知数列an的通项为an=2n-1(nN*)，把数列an的各项排列成如图所示的三角形数阵.记M(s,t)表示该数阵中第s行的第t个数，则该数阵中的数2 011对应于_.13 57 9 1 113 15 17 1914.某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的产量为f(n)=n(n+1)(2n+1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害.为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线的生产期限是_年.二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)已知an是公比大于1的等比数列，a1,a3是函数f(x)=x+-10的两个零点.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=log3an+n+2,且b1+b2+b3+bn80，求n的最小值.16.(14分)(2012无锡模拟)已知数列an满足a1=2,a2=1,且(n2),bn=.(1)证明:(2)求数列bn的前n项和Sn.17.(14分)(2012徐州模拟)已知数列an的各项均是正数,其前n项和为Sn,满足(p-1)Sn=p2-an,其中p为正常数,且p1.(1)求数列an的通项公式;(2)设(nN*),数列bnbn+2的前n项和为Tn,求证:Tn0,q=1+.答案：2.【解析】a5+a9=2a7,a5+a9-a7=a7=10,S13=13a7=130.答案：1303.【解题指南】(n2,nN*),可采用累加法.【解析】(n2),a2-a1=,a3-a2=以上各式两边分别相加.a4-a1=,答案：4.【解析】设数列an的公比为q,数列1+an是等比数列，(1+2q)2=3(1+2q2)q=1,Sn=2n.答案：2n5.【解析】由题意知n2时，2an=Sn+Sn-1,2an+1=Sn+1+Sn,2an+1-2an=an+1+an,an+1=3an(n2),又n=2时，2a2=S2+S1,a2=2a1=2,数列an中，a1=1,a2=2,an=23n-2(n2),S5=81.答案：816.【解析】由题意得=5a3,a2+a8=2a5,由S5=3(a2+a8)得5a3=6a5,.答案：7.【解析】S9=9a5=-36,a5=-4,S13=13a7=-104,a7=-8,a5a7=32,故a5与a7的等比中项为.答案：【变式备选】在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个数的和是_.【解析】设中间两数为x,y，则x2=3y,2y=x+9,解得或(舍去)，所以x+y=.答案：8.【解题指南】由等比中项的定义可得a42=a3a7,根据等差数列的通项公式及前n项和公式,列方程解出a1和d(数列an的公差),进而求出S10.【解析】设数列an的公差为d,a4是a3与a7的等比中项,a42=a3a7,即(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d),整理得2a1+3d=0, ,又S8=8a1+28d=32,整理得2a1+7d=8, 由联立,解得d=2,a1=-3,S10=10a1+d=60.答案：609.【解析】Sn=a12+a222+an2n,2Sn=a122+a223+an-12n+an2n+1,3Sn=2a1+(a1+a2)22+(a2+a3)23+(an-1+an)2n+2n+1an=n+1+2n+1an3Sn-an2n+1=n+1.答案：n+110.【解题指南】解答此类题目应先找规律，即先求a2,a3,a4,从中找出周期变化的规律.【解析】由题意知，a2=f(a1)=f(3)=1,a3=f(a2)=f(1)=3,a4=f(a3)=f(3)=1,数列an是周期为2的数列，a2 013=a1=3.答案：311.【解析】由题意知，圆心为(,0)，半径为，最大弦为直径为5，最小弦长为a1=4,an=5,又5=4+(n-1)d,n=+1.4+17,n=4、5、6、7.答案：4、5、6、712.【解析】由题意知=1+(n-1)d,当n=2时,=1+d,当n=3时,=1+2d,由2a2=a1+a3得2d3-3d2+d=0,2d2-3d+1=0,解得d=1或d=.答案：1或13.【解题指南】先求2 011对应数列an的项数，再求前n行的项数，找出2 011所在的行数.【解析】由2n-1=2 011得n=1 006，即2 011是数列an的第1 006项，由数阵的排列规律知，数阵中的前n行共有1+2+3+n=项，当n=44时，共有990项，故2 011是第45行的第16个数.答案：M(45,16)14.【解题指南】令第n年的年产量为an,根据题意先求an,再解不等式an150，从而得出答案.【解析】令第n年的年产量为an,则由题意可知第一年的产量a1=f(1)=123=3(吨)；第n(n=2,3,)年的产量an=f(n)-f(n-1)=(n+1)(2n+1)-(n-1)n(2n-1)=3n2(吨).令3n2150，则结合题意可得1n.又nN*,所以1n7,即生产期限最长为7年.答案：715.【解析】(1)a1,a3是函数f(x)=x+-10的两个零点，a1,a3是方程x2-10x+9=0的两根，又公比大于1，故a1=1,a3=9,则q=3.等比数列an的通项公式为an=3n-1.(2)由(1)知bn=log3an+n+2=2n+1,数列bn是首项为3，公差为2的等差数列，b1+b2+bn=n2+2n80,解得n8或n-10(舍),故n的最小值是8.16.【解析】(1)(2)由(1)知是以为首项, 为公差的等差数列,bn=n2n-1.Sn=120+221+322+n2n-1 2Sn=121+222+(n-1)2n-1+n2n 由-得-Sn=1+21+22+2n-1-n2n=(1-n)2n-1,Sn=(n-1)2n+1.17.【解析】(1)由题设知(p-1)a1=p2-a1,解得a1=p.由两式作差得(p-1)(Sn+1-Sn)=an-an+1,所以(p-1)an+1=an-an+1,即可见,数列an是首项为p,公比为的等比数列.所以(2)18【解析】(1)由题意得2an-Sn-2=0,当n=1时，2a1-S1-2=0得a1=2,当n2时，由2an-Sn-2=0 得2an-1-Sn-1-2=0 -得2an-2an-1-an=0即an=2an-1,因为a1=2，所以所以an是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an=22n-1=2n.(2)假设存在等差数列bn，使得a1b1+a2b2+anbn=(n-1)2n+1+2对一切nN*都成立，则当n=1时，a1b1=(1-1)22+2得b1=1,当n2时，由a1b1+a2b2+anbn=(n-1)2n+1+2 得a1b1+a2b2+an-1bn-1=(n-1-1)2n+2 -得anbn=n2n即bn=n,当n=1时也满足条件，所以bn=n,因为bn是等差数列，故存在bn=n(nN*)满足条件.【方法技巧】构造法求递推数列的通项公式对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化，构造出等差数列或等比数列.一般根据递推式子的特点采取以下方法：(1)递推式为an+1=qan(q为常数)：作商构造；(2)递推式为an+1=an+f(n)：累加构造；(3)递推式为an+1=pan+q(p,q为常数)：待定系数构造；(4)递推式为an+1=pan+qn(p,q为常数)：辅助数列构造；(5)递推式为an+2=pan+1+qan：待定系数构造；思路：设an+2=pan+1+qan可以变形为：an+2-an+1=(an+1-an)，就是an+2=(+)an+1-an，则可从解得,，于是an+1-an是公比为的等比数列，就转化为前面的类型.(6)递推式为an+1=f(n)an(nN*)：累乘构造；(7)递推式为an-an-1+panan-1=0(p为常数)：倒数构造.19.【解析】(1)由bn=3-nan得an=3nbn，则an+1=3n+1bn+1.代入an+1-3an=3n中，得3n+1bn+1-3n+1bn=3n,即得bn+1-bn=,所以数列bn是等差数列.(2)因为数列bn是首项为b1=3-1a1=1，公差为的等差数列，则则an=3nbn=(n+2)3n-1.从而有故=1+3+32+3n-1=则由得即33n127,因nN*，则可得1n4.故满足不等式的所有正整数n的值为2，3，4.20.【解析】(1)由题意可知a1=2,a2=6,a3=18，公比，通项公式为an=23n-1；(2)bn=an+(-1)nlnan=23n-1+(-1)nln(23n-1)=23n-1+(-1)nln2+(n-1)ln3当n=2k(kN*)时，Sn=b1+b2+b2k=2(1+3+32k-1)+1+(-2+3)+-(2k-2)+(2k-1)ln3=2+kln3=3n-1+，当n=2k-1(kN*)时,Sn=b1+b2+b2k-1=2(1+3+32k-2)+(1-2)+(2k-3)-(2k-2)ln3-ln2=3n-1-ln3-ln2故【变式备选】在等比数列an中，an0(nN*)，且a1a3=4,a3+1是a2和a4的等差中