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浅谈函数的凹凸性与泛函分析中重要不等式的证明摘要：本文从函数的凹凸性质出发，推证了几个在泛函分析中应用特别广泛的不等式.关键词：凹凸性 泛函分析 不等式 证明函数在数学的学习中占有重要的地位，其精髓在于利用函数的性质讨论和解决实际问题，函数的凹凸性就是函数的一种特殊性质，利用此性质我们可以证明一些较为复杂的不等式，同时可以降低证明的难度。在学习泛函分析过程中，我们遇到了几个特别复杂的不等式，而且应用特别广泛，本文试用凸函数方法推证之。1. 凹凸函数的定义与性质1.1 定义设是在区间上有定义的连续的函数，如果对中的任意两点与和非负实数与，且 ，成立不等式. （1）则称函数区间上的凸函数；反之若有 . （2）则称函数区间上的凹函数。注：若将（1）式中的“”改为“”,则称函数区间上的严格凹函数.显然，若是凸（凹）的，则是凹（凸）的，这一说明可使我们在许多情下只讨论凸函数就够了.1.2 几何图像上的直观反映 （图1.2a） （图1.2b）图1.2a就是凸函数的几何形状；图1.2b是凹函数的几何形状.1.3 性质性质1 ：若为凸函数，则有： . （3）若为凹函数，则有：. （4）很显然，我们分别在（1），（2）式中令，就可得到上述性质。性质2：若为凸函数，则如下不等式成立 （5）此不等式被称为詹森不等式。依照凸函数定义参看（1）式，显然（5）式是（1）的更一般情形，我们用数学归纳法即可证明，由于现行的数学分析教材中都有其（5）式的证明，在此省略证明。1.4 凹凸函数的判定定理引理：为区间上的凸函数的充要条件是：对于，若，总有 . （6）此引理在书目1中有详细的证明，在此不予重复。定理1：设是区间上的可导函数，为凸函数的充要条件是：对于 ，若，有.证明：必要性 假定是凸的，对于，设，由（6）式得： . （7）令趋向于或并且求极限，我们将分别得到 和.由此得 .充分性 假定后面的条件被满足即是常增的，为了证明（7）式成立，我们对它两边应用有限增量公式，即， .其中，由于依照假定，则（7）式成立，有引理得是凸的.定理2：设为区间上的二阶可导函数，则为凸（凹）函数的充要条件是（），.证明略。特别指出：如果指的是狭义（严格）的凹凸性，那么把等号出去即可。2. 利用函数凹凸性质证明泛函分析中的重要不等式例1 ：证明不等式：证明：令由于，则在区间上为凹函数，直线的方程为 .取 则如取 由（4）式得 . 即 又因为在定义域上为严格增函数，所以有. 特别的，此不等式在泛函分析一些证明中经常用到，有时也会用它的积分形式：.例2： 不等式 设 ，若 则证明：设由于，故在区间上是凸的； 令 .由性质2得，詹森不等式成立：. （8）对于，令.代入（8）式得 . （9）把（9）式代入中可得 .即： .将换成，换成 可得.令 得. （10）证毕.注意：在（10）式中，令 得.这就是我们在数学分析中学的柯西不等式。 其实（10）式是不等式的离散形式，运用很广，好多复杂不等式就是通过它得到的；在泛函分析中我们通常用到它的积分（范数）形式来讨论和研究问题。不等式的积分形式为：设，则有：.例3 设，证明下列不等式：（1）当时，成立：. （2）当 时， 成立：.证明：设，由于（1） 当时，则有，有定理2知：在区间上是凹的.则当时，有不等式（4）得 . 即 . 可写做 .（2） 当，对于，则有，有定理2知：在区间上是凸的.则当时，有不等式（3）得 . 即 .证毕.注：利用函数凹凸性证明的此不等式在泛函分析中也有一定的用处.例4 设，当，成立不等式： . 证明：由于 （11）例2中的不等式可得： （12） （13）把（12），（13）代入（11）式中得 .证毕.特别的，以上不等式为不等式的离散形式，后来将其推广到积分（范数）形式：设，则成立不等式.总之不等式现已成为建立泛函分析中空间的基本理论工具，在泛函分析学习过程中随处可见，其意义深远，影响广泛，而且在许多领域成为最常用的不等式.参考文献1华东师范大学数学系.数学分析.第三版.高等教育出版社