高中数学必修1知识点总结(原创).docx

高中数学必修1知识点总结第一章 集合与函数概念1.1 集合一、集合的概念某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素元素的性质： 确定性对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的 互异性任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象 无序性集合中的元素是平等的，没有先后顺序二、 集合与集合之间的关系 （元素与集合）含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。“包含”关系子集（可能A是B的一部分； A与B是同一集合）“相等”关系元素相同 （任何一个集合是它本身的子集。AA）“真子集”:如果AB,且B A那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)“属于”：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作aA ，相反，a不属于集合A 记作 aA三、集合的运算交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集 记作AB(读作“A交B”)，即AB=x|xA，且xB并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：AB(读作“A并B”)，即AB=x|xA，或xB交集与并集的性质AA = A, A= , AB = BA，AA = A，A= A ,AB = BA注意、和的区别四、 数学中一些常用的数集及其记法全体非负整数组成的集合称为非负整数级（或自然数集），记作N； （0，1，2，3，4，）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+； （1，2，3，4，）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z； （负整数、0、正整数） 全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q； （是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式）全体实数组成的集合称为数集，记作R； （包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数）五、集合的表示列举法 把集合中的元素一一列举出来描述法 用集合中所含元素的共同特征表示集合的方法韦恩图 用平面上封闭曲线的内部表示集合相关公式sAB=sAsB sAB=SaSb AA=A A= AB=BA A=A AB=BA ABAB ABAB=A ABAB=B 1.2 1.3 函数及其表示 函数的性质一、函数的概念构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域分段函数：一个函数分成若干个子区间，而每个子区间的解析式不同映射：一般地设A、B 是两个非空集合，如按一定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:AB” A到B的映射与B到A的映射不同复合函数：复合函数：若y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,n),那么y=fg(x)称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域复合函数的定义域：若已知的定义域，其复合函数的定义域应由解出偶函数：f-x=fx f-x-fx=0 关于y轴对称奇函数: f-x=-fx f-x+fx=0 关于原点对称 二、有关定义域能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：分式的分母不等于零； 偶次方根的被开方数不小于零； 对数式的真数必须大于零；指数、对数式的底必须大于零且不等于如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合指数为零底不可以等于零 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式三、有关值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. 应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础四、判断两函数关系两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备)五、一些有用的结论奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；若奇函数的定义域包含，即判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，必须注意使定义域不受影响；讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称，要重视这一点六、证明函数单调性的一般方法正比例函数y=kxk0 k0 k0 -,0 (0,+) k0时在R上 k0时减区间为（-，b2a 增区间为b2a,+) a1，且*当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数此时，的次方根用符号表示式子叫做根式（radical），这里叫做根指数，叫做被开方数当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示正的次方根与负的次方根可以合并成（0）由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作结论：当是奇数时， 当是偶数时2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂3、实数指数幂的运算性质；（2）；（3）二、指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R。 底数大于0且不等于1函数与关于y=x 对称2、指数函数的图象与性质 向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为R 图象关于原点和y轴不对称、非奇非偶函数 函数图象都在x轴上方、函数的值域为0，+函数图象都过定点（0，1） 图象逐渐上升、增函数图象逐渐下降减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1图象上升趋势是越来越陡、函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；图象上升趋势是越来越缓、函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢利用函数的单调性，结合图象还可以看出1） 在a，b上，值域是或2） 若，则；取遍所有正数当且仅当3） 对于指数函数，总有4） 当时，若，则2.2 对数函数一、对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数（Logarithm），记作： ，且 底数， 真数， 对数式注意 注意底数的限制，且 注意对数的书写格式 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数常用对数（common logarithm）：以10为底的对数自然对数（natural logarithm）：以无理数为底的对数叫自然数对数二、对数式与指数式的互化对数式指数式对数底数 幂底数对数 指数真数 幂三、对数的性质（1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零：；（3）底数的对数是1：；（4）对数恒等式：；（5）四、对数的运算性质如果，且，那么：（1）； （2）；（3） 换底公式（，且；，且；）（1）； （2）对数的性质 函数图象都在y轴右侧、函数的定义域为（0，）函数的定义域为（0，）图象关于原点和y轴不对称、非奇非偶函数非奇非偶函数向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R函数的值域为R函数图象都过定点（1，0） 图象逐渐上升增函数图象逐渐下降减函数第一象限的图象纵坐标都大于0第一象限的图象纵坐标都大于0第二象限的图象纵坐标都小于0第二象限的图象纵坐标都小于0当时，底数越大越靠近x轴 当时，底数越小越靠近x轴、2.3 幂函数一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数幂函数 a0时仅有一个零点。当a0时没有零点幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1）（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴第二章 函数的应用一、 方程的根与函数的零点1. 函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数 叫做函数的零点。2. 函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点3. 函数零点的求法：求函数的零点： （代数法）求方程的实数根； （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点二次函数的零点：二次函数），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点），方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点求零点就是求方程fx=0的实数根。Fa*fb0 a,b内有零点 二、零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c(a,b)，使得f(c )=0，这个c也就是方程f(