2019-2020学年清华大学附中高一上学期9月月考数学试题（解析版）

2019-2020学年清华大学附中高一上学期9月月考数学试题一、单选题1命题,则为( )ABCD【答案】D【解析】根据全称命题的否定方法,由已知中的原命题,写出其否定形式,可得答案.【详解】解:命题,命题的否定为:.故选:D【点睛】本题考查的知识点是全称命题,命题的否定,熟练掌握全（特）称命题的否定方法是解答的关键.2已知,则下列等式一定成立的是( )ABCD【答案】B【解析】由题可得,则或,选项A整理得且,A错误;选项B两边同时平方整理得,即,B正确;选项C乘积为,则或,C错误;选项D整理得且,故D错误.【详解】解: 已知,则或,选项A: 且,故A错误;选项B: ,即,所以,故B正确;选项C: 或,故C错误;选项D: 且,故D错误;故选:B【点睛】本题考查由已知条件判断命题的真假,属于基础题.3已知,且,则下列不等式一定成立的是( )ABCD【答案】B【解析】根据不等式的基本性质,结合,且,逐一分析四个答案中的不等式是否一定成立,即可得出答案.【详解】解: 选项A: ,若,则,故A错误;选项B: ,因为若,故,则成立,故B正确;选项C: ,若,则,故C错误;选项D: ,若,则,故D错误;故选:B【点睛】本题考查不等式的性质,可以利用特殊值排除法求解,属于基础题.4已知全集,集合,集合.则下图的阴影部分表示的集合为( )ABCD【答案】C【解析】由题意求出集合A和集合B,图象阴影部分表示求,求解即可.【详解】解: ，或;图象阴影部分表示求,所以，或，,所以,即.故选:C【点睛】本题考查集合并集和补集的运算,以及Venn图表示集合,属于基础题.5已知,则“”是“”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件【答案】A【解析】设命题,命题,整理得,分别从充分性和必要性进行推理即可,推理过程中可用特殊值来判断.【详解】解:设命题,命题,整理得.充分性:因为,则显然成绩,所以成立;必要性:因为,当时, ,所以,必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质,考查了推理能力,属于基础题.6已知集合,若,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】D【解析】本题根据,则集合中的元素不能够全部属于集合,则集合中的最大值,结合,即可求出结果.【详解】解: 已知集合,若,则集合中的元素不能够全部属于集合,又因为,则集合中的最大值,所以,即实数的取值范围为.故选：D【点睛】本题是一道关于集合的题目,解题关键是掌握结合集合间的基本关系及集合间的基本运算.7已知,则的最小值为( )A4B6C7D10【答案】C【解析】由题意可得,可得,利用基本不等式求最小值,并验证等号成立即可.【详解】解: 已知,则,当且仅当,即时等号成立.所以的最小值为:故选:C【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值,整体变形为可用基本不等式的形式,注意”一正二定三相等”.8已知集合,且对于集合中任意两个元素,均有,则集合中元素的个数最多为( )A21B19C11D10【答案】A【解析】根据题意知集合表示的是第一象限内的个点,又因为,中任意两个元素,均有,则在同一象限内,随着的增大而减小或相等.根据规律一一列举即可得出结果.【详解】解:因为,则集合表示的是第一象限内的个点,又因为,且对于集合中任意两个元素,均有,则或则在同一象限内,随着的增大而减小或相等.若点,则或,根据规律可得:,或故中元素的个数最多为个.故选:A【点睛】本题考查集合的元素的个数的求法,考查不等式求函数的单调性,利用单调性解决集合问题.二、填空题9集合的真子集的个数为_.【答案】【解析】解法一: (列举法) 对集合的真子集一一列举即可得出个数;解法二:(公式法)算出集合中的元素个数,再用公式求出真子集个数.【详解】解:解法一: (列举法) 集合的真子集为,共个.故答案为: 解法二:(公式法)集合中的元素有个,则真子集个数为,个.故答案为: 【点睛】本题考查集合的子集个数问题,对于非空集合中有个元素,则集合的子集有个,真子集有,非空真子集有个.10写出能说明命题“若,则”为假命题的一组的整数值:_;_;_.【答案】 【解析】“若,则”为假命题,依次列举即可,答案不唯一.【详解】解:设是任意实数, “若,则”为假命题,可设依次为.(答案不唯一)故答案为: 【点睛】本题考查了命题的真假,举例说明即可,属于基础题.11已知则方程的根为_.【答案】或【解析】根据分段函数,分类讨论,将的值代入中求解即可.【详解】解: 已知,当时,则,解得或,又因为,所以.当时,则,解得或,又因为,所以无解.当时,则,解得或,又因为,所以.综上所述: 的根为或.故答案为: 或【点睛】本题考查分段函数,分情况讨论是解题的关键.12若关于的方程的根均为负数,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】根据方程进行运算求出根,然后根均为负数建立不等式,再结合分式的分母不等于,即可得出结果.【详解】解: 方程,则,解方程: ,即,所以,又因为方程的根均为负数,所以,所以且.所以实数的取值范围是:.故答案为: 【点睛】本题考查根据方程的根即方程的零点求解参数,需要注意分式的分母不等于,这是一个容易遗漏的条件,属于基础题.13已知集合中的最大值与最小值的差等于集合中所有元素之和,则_.【答案】【解析】因为集合中的未知,则可为最大值、最小值,或者既不是最大值也不是最小值,分三种情况讨论即可得出结果.【详解】解: 已知集合中的最大值与最小值的差等于集合中所有元素之和.当为最大值时, ,显然不成立,则无解, 不是最大值.当为最小值时, ,则,满足为最小值,故成立.当既不是最大值也不是最小值时,则, 为最小值,与既不是最大值也不是最小值矛盾,故不成立.综上所述: .故答案为: 【点睛】本题考查根据集合中元素的性质求集合的元素,分情况讨论是解题的关键.三、解答题14在某校冬季长跑活动中,学校要给获得一二等奖的学生购买奖品,要求花费总额不得超过200元.已知一等奖和二等奖奖品的单架分别为20元10元,一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于,且获得一等奖的人数不能少于2人,有下列四个结论:最多可以购买4份一等奖奖品最多可以购买16份二等奖奖品购买奖品至少要花费100元共有20种不同的购买奖品方案其中正确结论的序号为_.【答案】【解析】设购买一、二等奖奖品份数分别为、,则根据题意列出线性规划条件, 作出可行域,再逐一判断即可.【详解】解: 设购买一、二等奖奖品份数分别为、,则根据题意有 ,作可行域为:解得:,所以最多可以购买4份一等奖奖品,最多可以购买16份二等奖奖品, 故正确,购买奖品至少要花费元,故正确,由可行域知:,可行域内的整数点有 ,共个.故错误.故答案为: 【点睛】本题考查线性规划在实际生活中的应用,关键是求出、的范围,属于基础题.15解下列关于的不等式:(1);(2);(3)【答案】(1).(2) (3)当时,解集为,当时,解集为,当时,解集为.【解析】(1)利用十字相乘法将不等式整理成, .,故解集为:.(2)先将去掉负号得,利用配方法可得结果.(3) 利用十字相乘法将不等式整理成,分、三种情况讨论即可得出不等式的解.【详解】解: (1),故解集为:.(2),无解,故解集为:(3),当,即时,解集为,当,即时,解集为,当,即时,解集为.所以:当时,解集为,当时,解集为,当时,解集为.【点睛】本题考查解一元二次不等式,利用十字相乘法求根,再根据不等式的性质得出解即可.对于含参的一元二次不等式求解需要考虑参数的取值范围.16已知集合,(1)当时,求.(2)是否存在实数,使得,说明你的理由;(3)记若中恰好有3个元素,求所有满足条件的实数的值.(直接写出答案即可)【答案】(1).(2)不存在,证明见解析;(3),.【解析】解:(1)将代入集合中,再求出即可.(2)不存在.证明:若,则且,将代入集合和中,再求交集,得出,与矛盾,故不存在.(3)根据得出,再根据中恰好有3个元素,即可得出满足条件的实数的值.【详解】解:(1)当时,所以.(2)不存在实数,使得,证明:若,则,且,所以,则,则,与矛盾,故不存在实数,使得;(3)因为,所以含有，,含有，又因为中恰好有3个元素,所以当时, ,当,所以满足条件的实数的值有,.【点睛】本题考查集合的基本性质和集合的基本运算,注意集合的互异性是解题中容易出错的地方.17已知集合(1)当时,求集合中的所有正整数元素;(2)求证:对于任意的;(3)若,求证:.【答案】(1);(2)证明见详解;(3) 证明见详解.【解析】(1)代入时, 整理得,即可得出集合中的所有正整数的元素为;(2)利用根的判别式得出方程有解,则成立;(3)根据(2)知,方程有两根,设,又因为,则,再根据两根之积小于,得出,当时, 解得,两者矛盾,则,所以成立.【详解】解: (1) 已知集合,当时, ,所以集合中的所有正整数的元素为;(2)证明:对于任意的,所以有解,成立(3)证明:由(2)知,方程有两根,设,又因为,则,则两根之和,则,即,当时, ,则与矛盾,则,成立.【点睛】本题考查集合间的基本关系,考查一元二次不等式的解与参数的关系,属于中档题.18己知,(1)若,求的最大值;(2)若,求的最小值;(3)求的最小值.【答案】(1) ;(2);(3).【解析】(1)由题可知 ,先平方得到,再根据,利用基本不等式得,代入上式子可得,最后再开方即可得出的最大值为;(2) 由,得,利用基本不等式求得最小值,验证即可.(3)由,可得,代入消元得出,整理至一元二次函数的顶点式,即可得出最小值.【详解】解:(1)若,所以,又因为,所以,所以,将代入得: ,所以,当且仅当时等号成立.所以的最大值为;(2)因为,且所以,当且仅当,即时,等号成立.所以的最小值为.(3)己知,所以,则.所以的最小值为.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值和和利用一元二次函数的顶点式求最值,属于基础题.利用基本不等式要注意”一正二定三相等”.19己知抛物线的顶点为,与轴的交点为,则直线称为抛物线的伴随直线.(1)求抛物线的伴随直线的表达式;(2)已知抛物线的伴随直线为,且该抛物线与轴有两个不同的公共点,求的取值范围.(3)已知,若抛物线的伴随直线为,且该抛物线与线段恰有1个公共点,求的取值范围(直接写出答案即可)【答案】(1);(2);(3) 或.【解析】(1)先求抛物线的顶点为,再与抛物线轴的交点为,根据截距式即可得出伴随直线方程.(2)先求抛物线的顶点,与轴的交点为,将代入伴随直线方程,解得,再根据该抛物线与轴有两个不同的公共点,用根的判别式列不等式,解得,结合,即可得出的取值范围.(3)根据抛物线的伴随直线为,将抛物线化为,又因为该抛物线与线段恰有1个公共点,即则 或,代入数据求解即可.【详解】解: (1)的顶点为,与抛物线轴的交点为,直线:,即,所以抛