解排列组合应用题的26种策略

本材料第 1 页 共 17 页 解排列组合应用题的解排列组合应用题的 2626 种策略种策略 排列组合问题是高考的必考题 它联系实际生动有趣 但题型多样 思路 灵活 不易掌握 解排列组合问题的基础是两个基本原理 分类用加法原理 分 步用乘法原理 问题在于怎样合理地进行分类 分步 特别是在分类时如何做 到既不重复 又不遗漏 正确分每一步 这是比较困难的 要求我们周密思考 细心分析 理解并掌握解题的常用方法和技巧 掌握并能运用分类思想 转化 思想 整体思想 正难则反等数学思想解决排列组合问题 实践证明 掌握题 型和解题方法 识别模式 熟练运用 是解决排列组合应用题的有效途径 下 面就谈一谈排列组合应用题的解题策略 1 1 相邻 相邻排列排列 捆绑法捆绑法 n 个不同元素排列成一排 其中某 k 个元素排在相邻位置上 有多少种不同排法 先将这 k 个元素 捆绑在一起 看成一个整体 当作一个元素同其它元素一起排列 共有种排法 然后再将 捆绑 在一起的元素进行内部排列 共有种方法 由乘 1 1 n k n k A k k A 法原理得符合条件的排列 共种 1 1 n kk n kk AA 例 1 五人并排站成一排 如果必须相邻且在的右边 那么不同的排法edcba ba ba 种数有 A 60 种 B 48 种 C 36 种 D 24 种 解析 把视为一人 且固定在的右边 则本题相当于 4 人的全排列 ba ba 种 答案 4 4 24A D 例 2 有 3 名女生 4 名男生站成一排 女生必须相邻 男生必须相邻 共有多少种不 同的站法 解 先把 3 名女生作为一个整体 看成一个元素 4 名男生作为一个整体 看成一个 元素 两个元素排列成一排共有种排法 女生内部的排法有种 男生内部的排法有 2 2 A 3 3 A 种 故合题意的排法有种 4 4 A 234 234 288AA A 2 相离排列相离排列 插空法 插空法 元素相离 即不相邻 问题 可先把无位置要求的几个元素全排列 再把规定的相离 的几个元素插入上述几个元素的空位和两端 将 n 个不同元素排成一排 其中 k 个元素互不相邻 有多少种排法 knk 先把个元素排成一排 然后把 k 个元素插入个空隙中 共有排法 nk 1 nk 本材料第 2 页 共 17 页 种 1 k n k A 例 3 五位科学家和五名中学生站成一排照像 中学生不相邻的站法有多少种 解 先把科学家作排列 共有种排法 然后把 5 名中学生插入 6 个空中 共有种 5 5 A 5 6 A 排法 故符合条件的站法共有种站法 55 56 86400A A 例 4 七位同学并排站成一行 如果甲乙两个必须不相邻 那么不同的排法种数是 A 1440 种 B 3600 种 C 4820 种 D 4800 种 解析 除甲乙外 其余 5 个排列数为种 再用甲乙去插 6 个空位有种 不同的排 5 5 A 2 6 A 法种数是种 选 52 56 3600A A B 3 定序问题 定序问题 倍缩法 倍缩法 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序 可用缩小倍数的方法 此法也被叫 消序法 将 n 个不同元素排列成一排 其中某 k 个元素的顺序保持一定 有多少种不同排法 n 个不同元素排列成一排 共有种排法 k 个不同元素排列成一排共有种不同排 n n A k k A 法 于 是 k 个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的分之一 故符合条件的排列共 k k A 种 n n k k A A 例 5 五人并排站成一排 如果必须站在的右边 可以不相邻 那么不edcba baba 同的排法种数是 A 24 种 B 60 种 C 90 种 D 120 种 解析 在的右边与在的左边排法数相同 所以题设的排法只是 5 个元素全排baba 列数的一半 即种 选 5 5 1 60 2 A B 例 6 A B C D E 五个元素排成一列 要求 A 在 B 的前面且 D 在 E 的前面 有多少 种不同的排法 解 5 个不同元素排列一列 共有种排法 A B 两个元素的排列数为 D E 5 5 A 2 2 A 两个元素的排列数为 2 2 A 本材料第 3 页 共 17 页 因此 符合条件的排列法为种 5 5 22 22 30 A AA 4 标号排位问题 标号排位问题 分步法 分步法 把元素排到指定位置上 可先把某个元素按规定排入 第二步再排另一个元素 如此 继续下去 依次即可完成 例 7 将数字 1 2 3 4 填入标号为 1 2 3 4 的四个方格里 每格填一个数 则每个方 格的标号与所填数字均不相同的填法有 A 6 种 B 9 种 C 11 种 D 23 种 解析 先把 1 填入方格中 符合条件的有 3 种方法 第二步把被填入方格的对应数字填 入其它三个方格 又有三种方法 第三步填余下的两个数字 只有一种填法 共有 3 3 1 9 种填法 选 B 5 留空排列留空排列 借元法借元法 例 8 一排 10 个坐位 3 人去坐 每两人之间都要留空位 共有 种坐法 解 由题意 先借 7 人一排坐好 再安排 3 在 8 个空中找 3 个空插入 最后撤出借来 的 7 人 得不同的坐法共有种 7 7 3 8 7 7 AAA 6 有序分配问题 有序分配问题 逐分法 逐分法 有序分配问题指把元素分成若干组 可用逐步下量分组法 例 9 1 有甲乙丙三项任务 甲需 2 人承担 乙丙各需一人承担 从 10 人中选出 4 人承 担这三项任务 不同的选法种数是 A 1260 种 B 2025 种 C 2520 种 D 5040 种 解析 先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务 再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项任务 第三步从另外的 7 人中选 1 人承担丙项任务 不同的选法共有种 选 211 1087 2520C C C C 2 学生会的 12 名同学分配到三个不同的年级对同学们进行仪容仪表检查 若每个年 级 4 人 则不同的分配方案有 A 种 B 种 C 种 D 种 444 1284 C C C 444 1284 3C C C 443 1283 C C A 444 1284 3 3 C C C A 答案 先从 12 人中选出 4 人到第一个年级 再从剩下的 8 人中选 4 人到第二个年级 第三步从剩下的 4 人中选 4 人到第三个年级 不同的选法共有种 选 444 1284 C C CA 本材料第 4 页 共 17 页 7 平均分堆问题 平均分堆问题 除序法除序法 例 10 12 本不同的书 平均分为 3 堆 不同的分法种数为多少种 解 先从 12 本书中选出 4 本到第一堆 再从剩下的 8 本中选出 4 本到第二堆 第三步 从剩下的 4 本中选 4 本到第三堆 但题中是不要堆序 所以不同的分法共有种 444 1284 3 3 C C C A 8 全员分配问题 全员分配问题 分组法分组法 例 11 1 4 名优秀学生全部保送到 3 所大学去 每所大学至少去一名 则不同的保送方 案有多少种 解析 把四名学生分成 3 组有种方法 再把三组学生分配到三所大学有种 故 2 4 C 3 3 A 共有种方法 23 43 36C A 说明 分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配 2 5 本不同的书 全部分给 4 个学生 每个学生至少一本 不同的分法种数为 A 480 种 B 240 种 C 120 种 D 96 种 答案 B 9 名额分配问题 名额分配问题 隔板法隔板法 例 12 10 个三好学生名额分到 7 个班级 每个班级至少一个名额 有多少种不同分配方案 解析 10 个名额分到 7 个班级 就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆 每 堆至少一个 可以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板 每一种插法对应着一种分配方 案 故共有不同的分配方案为种 6 9 84C 10 限制条件的分配问题 限制条件的分配问题 分类法分类法 例 13 某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发 建设 其中甲同学不到银川 乙不到西宁 共有多少种不同派遣方案 解析 因为甲乙有限制条件 所以按照是否含有甲乙来分类 有以下四种情况 若甲乙都不参加 则有派遣方案种 若甲参加而乙不参加 先安排甲有 3 种 4 8 A 方法 然后安排其余学生有方法 所以共有 若乙参加而甲不参加同理也有 3 8 A 3 8 3A 本材料第 5 页 共 17 页 种 若甲乙都参加 则先安排甲乙 有 7 种方法 然后再安排其余 8 人到另外两个 3 8 3A 城市有种 共有方法 所以共有不同的派遣方法总数为 2 8 A 2 8 7A 种 4332 8888 3374088AAAA 11 多元问题 多元问题 分类法 分类法 元素多 取出的情况也多种 可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数 最后总计 例 14 1 由数字 0 1 2 3 4 5 组成没有重复数字的六位数 其中个位数字小于十位 数字的共有 A 210 种 B 300 种 C 464 种 D 600 种 解析 按题意 个位数字只可能是 0 1 2 3 4 共 5 种情况 分别有个 5 5 A 个 合并总计 300 个 选 11311311313 43333323333 A A AA A AA A AA AB 2 从 1 2 3 100 这 100 个数中 任取两个数 使它们的乘积能被 7 整除 这 两个数的取法 不计顺序 共有多少种 解析 被取的两个数中至少有一个能被 7 整除时 他们的乘积就能被 7 整除 将这 100 个数组成的集合视为全集 I 能被 7 整除的数的集合记做共有 14 个 7 14 21 98A 元素 不能被 7 整除的数组成的集合记做共有 86 个元素 由此可知 1 2 3 4 100A 从中任取 2 个元素的取法有 从中任取一个 又从中任取一个共有 两A 2 14 CAA 11 1486 C C 种情形共符合要求的取法有种 211 141486 1295CC C 3 从 1 2 3 100 这 100 个数中任取两个数 使其和能被 4 整除的取法 不计顺 序 有多少种 解析 将分成四个不相交的子集 能被 4 整除的数集 1 2 3 100I 能被 4 除余 1 的数集 能被 4 除余 2 的数集 4 8 12 100A 1 5 9 97B 能被 4 除余 3 的数集 易见这四个集合中每一个有 2 6 98C 3 7 11 99D 25 个元素 从中任取两个数符合要 从中各取一个数也符合要求 从中任取两A B DC 个数也符合要求 此外其它取法都不符合要求 所以符合要求的取法共有 种 2112 25252525 CC CC 本材料第 6 页 共 17 页 12 交叉问题 交叉问题 集合法 集合法 某些排列组合问题几部分之间有交集 可用集合中求元素个数公式 n ABn An Bn AB 例 15 从 6 名运动员中选出 4 人参加 4 100 米接力赛 如果甲不跑第一棒 乙不跑第四棒 共有多少种不同的参赛方案 解析 设全集 6 人中任取 4 人参赛的排列 A 甲跑第一棒的排列 B 乙跑 第四棒的排列 根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有 种 n In An Bn AB 4332 6554 252AAAA 13 定位问题 定位问题 优先法 优先法 有限制条件 某个或几个元素要排在指定位置 通常要优先考虑这个或几个元素受限 位置或受限元素 再排其它的元素 若反面情况较为简单时 则用排除法求解 例 16 乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员 现要派 5 名参加比赛 3 名主力队 员要安排在第一 三 五位置 其余 7 名队员选 2 名安排在第二 四位置 那么不同的出 场安排共有 种 用数字作答 解 由题意 先安排 3 名主力队员在第一 三 五位置 有种 再安排其余 7 名队 3 3 A 员选 2 名在第二 四位置有种 由乘法原理 得不同的出场安排共有种 2 7 A 32 37 252A A 例 17 1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念 若老师不站两端则有不同的排法有多少 种 解析 老师在中间三个位置上选一个有种 4 名同学在其余 4 个位置上有种方 1 3 A 4 4 A 法 所以共有种 14 34 72A A 14 多排问题 多排问题 单排法 单排法 把元素排成几排的问题可归结为一排考虑 再分段处理 例 18 1 6 个不同的元素排成前后两排 每排 3 个元素 那么不同的排法种数是 A 36 种 B 120 种 C 720 种 D 1440 种 解析 前后两排可看成一排的两段 因此本题可看成 6 个不同的元素排成一排 共 种 选 6 6 720A C 2 8 个不同的元素排成前后两排 每排 4 个元素 其中某 2 个元素要排在前排 某 本材料第 7 页 共 17 页 1 个元素排在后排 有多少种不同排法 解析 看成一排 某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个 有种 某 1 个元素排 2 4 A 在后半段的四个位置中选一个有种 其余 5 个元素任排 5 个位置上有种 故共有 1 4 A 5 5 A 种排法 125 445 5760A A A 15 至少至少 至多至多 问题问题 间接排除法或分类法间接排除法或分类法 例 19 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台 其中至少要甲型和乙 型电视机各一台 则不同的取法共有 A 140 种 B 80 种 C 70 种 D 35 种 解析 1 逆向思考 至少各一台的反面就是分别只取一种型号 不取另一种型号的电 视机 故不同的取法共有种 选 333 945 70CCC C 解析 2 至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况 甲型 1 台乙型 2 台 甲型 2 台乙型 1 台 故不同的取法有台 选 2112 5454 70C CC C C 16 选排问题 选排问题 先取后排法 先取后排法 从几类元素中取出符合题意的几个元素 再安排到一定的位置上 可用先取后排法 例 20 1 四个不同的小球放入编号为 1 2 3 4 的四个盒中 则恰有一个空盒的放法有 多少种 解析 先取四个球中二个为一组 另二组各一个球的方法有种 再排 在四个盒中 2 4 C 每次排 3 个有种 故共有种 3 4 A 23 44 144C A 2 9 名乒乓球运动员 其中男 5 名 女 4 名 现在要进行混合双打训练 有多少种 不同的分组方法 解析 先取男女运动员各 2 名 有种 这四名运动员混和双打练习有中排法 22 54 C C 2 2 A 故共有种 222 542 120C C A 17 部分合条件问题 部分合条件问题 排除法 排除法 在选取的总数中 只有一部分合条件 可以从总数中减去不符合条件数 即为所求 例 21 1 以正方体的顶点为顶点的四面体共有 A 70 种 B 64 种 C 58 种 D 52 种 本材料第 8 页 共 17 页 解析 正方体 8 个顶点从中每次取四点 理论上可构成四面体 但 6 个表面和 6 个 4 8 C 对角面的四个顶点共面都不能构成四面体 所以四面体实际共有个 4 8 1258C 2 四面体的顶点和各棱中点共 10 点 在其中取 4 个不共面的点 不同的取法共有 A 150 种 B 147 种 C 144 种 D 141 种 解析 10 个点中任取 4 个点共有种 其中四点共面的有三种情况 在四面体的 4 10 C 四个面上 每面内四点共面的情况为 四个面共有个 过空间四边形各边中点 4 6 C 4 6 4C 的平行四边形共 3 个 过棱上三点与对棱中点的三角形共 6 个 所以四点不共面的情况的 种数是种 44 106 436141CC 18 圆排问题 圆排问题 直排法 直排法 把个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列 顺序 例如按顺时钟 不同的排nn 法才算不同的排列 而顺序相同 即旋转一下就可以重合 的排法认为是相同的 它与普 通排列的区别在于只计顺序而首位 末位之分 下列个普通排列 n 在圆排列中只算一种 因为旋转后 12323411 nnnn a a aa a a aaa aa 可以重合 故认为相同 个元素的圆排列数有种 因此可将某个元素固定展成单排 n n n 其它的元素全排列 1n 例 22 5 对姐妹站成一圈 要求每对姐妹相邻 有多少种不同站法 解析 首先可让 5 位姐姐站成一圈 属圆排列有种 然后在让插入其间 每位均可 4 4 A 插入其姐姐的左边和右边 有 2 种方式 故不同的安排方式种不同站法 5 24 2768 说明 从个不同元素中取出个元素作圆形排列共有种不同排法 nm 1 m n A m 19 可重复的排列 可重复的排列 求幂法 求幂法 允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象 元素不受位置的约束 可逐一安排元 素的位置 一般地个不同元素排在个不同位置的排列数有种方法 nm n m 例 23 把 6 名实习生分配到 7 个车间实习共有多少种不同方法 解析 完成此事共分 6 步 第一步 将第一名实习生分配到车间有 7 种不同方案 第 本材料第 9 页 共 17 页 二步 将第二名实习生分配到车间也有 7 种不同方案 依次类推 由分步计数原理知共有 种不同方案 6 7 20 元素个数较少的排列组合问题 元素个数较少的排列组合问题 枚举法 枚举法 例 24 设有编号为 1 2 3 4 5 的五个球和编号为 1 2 3 4 5 的盒子现将这 5 个球投 入 5 个盒子要求每个盒子放一个球 并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同 问有多少 种不同的方法 解析 从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有种 还剩下 3 个球与 3 个盒子序号不能对 2 5 C 应 利用枚举法分析 如果剩下 3 4 5 号球与 3 4 5 号盒子时 3 号球不能装入 3 号 盒子 当 3 号球装入 4 号盒子时 4 5 号球只有 1 种装法 3 号球装入 5 号盒子时 4 5 号球也只有 1 种装法 所以剩下三球只有 2 种装法 因此总共装法数为种 2 5 220C 21 复杂的问题 复杂的问题 对应思想转化法 对应思想转化法 对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法 它可以将复杂的问题转化为简单问题处理 例 25 1 圆周上有 10 点 以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个 解析 因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点 一个圆的内接四边形 就对应着两条弦相交于圆内的一个交点 于是问题就转化为圆周上的 10 个点可以确定多少 个不同的四边形 显然有个 所以圆周上有 10 点 以这些点为端点的弦相交于圆内的 4 10 C 交点有个 4 10 C 2 某城市的街区有 12 个全等的矩形组成 其中实线表示马路 从到的最短路径有AB 多少种 解析 可将图中矩形的一边叫一小段 从到最短路线必须走 7 小段 其中 向东AB A B 本材料第 10 页 共 17 页 4 段 向北 3 段 而且前一段的尾接后一段的首 所以只要确定向东走过 4 段的走法 便 能确定路径 因此不同走法有种 4 7 C 22 2 区域涂色问题区域涂色问题 分步与分类综合法分步与分类综合法 解答区域涂色问题 一是根据分步计数原理 对各个区域分步涂色 二是根据共用了多少 种颜色分类讨论 三是根据相间区域使用颜色的种数分类 以上三种方法常会结合起来使 用 例 27 用 5 种不同的颜色给图中标 的各部分涂色 每部分只涂一种颜色 相 邻部分涂不同颜色 则不同的涂色方法有多少种 法 1 240 1 4 3 5 AA 法 2 2402 3 5 4 5 AA 例 28 一个地区分 5 个区域 现用 4 种颜色给地图着色 要求相邻区域不得使用同一种颜色 则不同的着色方法有多少种 法 1 分步 涂 有 4 种方法 涂 有 3 种方法 涂 有 2 种方法 涂 有 2 种方法 涂 时需看 与 是否相同 因此分两类 法 2 按用了几种颜色分两类 涂了 4 色和 3 色 例 29 某城市在中心广场建造一个花圃 花圃分为 6 个部分 如图 现要栽种 4 种不同颜 色的花 每部分栽种一种且相邻两个区域不能同色 不同的栽种 方法有 种 用数字作答 解法 1 首先栽种第 1 部分 有种栽种方法 1 4 C 然后问题就转化为用余下 3 种颜色的花 去栽种周围的 5 个部 分 如右图所示 对扇形 2 有 3 种栽种方法 扇形 3 有 2 种栽种方法 扇形 4 也有 2 种栽种方法 扇形 5 也有 2 种栽种方法 扇形 6 也有 2 种栽种方法 于是 共有种不同的栽种方法 但是 这种栽种方法可能出现 4 3 2 区域 2 与 6 着色相同的情形 这是不符合题意的 因此 答案应从中减去这些不符 4 3 2 合题意的栽种方法 这时 把 2 与 6 看作一个扇形 其涂色方法相当于用 3 种颜色的花对 4 个扇形区域栽种 这种转换思维相当巧妙 综合 和 共有种 1412 433 3 2 221 1 4 4818 430120CCA 4 3 224 3 2 172 43 44 272AA 本材料第 11 页 共 17 页 解法 2 依题意只能选用 4 种颜色 要分 5 类 1 与 同色 与 同色 则有 4 4 A 2 与 同色 与 同色 则有 3 与 同色 与 同色 则有 4 4 A 4 4 A 4 与 同色 与 同色 则有 5 与 同色 与 同色 则有 4 4 A 4 4 A 所以根据加法原理得涂色方法总数为 5 120 种 4 4 A 23 3 复杂问题复杂问题 树图法树图法 选组选组穷举法 当以上各法还难以解决时 可用画树图的方法解决 虽然原始 笨拙 但清楚 可靠 此法称选组穷举法 即将所有满足条件的排列一一列举 探索出其规律 例 30 同例 29 解 以 a b c d 分别代替 4 种颜色的花 通过树图可知 完成此事共分 6 步 第一步有 4 方 法 二步有 3 方法 第三步有 2 同方案 第四步也有 2 不同方法第五步有 2 种不同方案 然而第六步有 种不同方案 不易看清 画出树图 由图知将四 五 六两步并为一步 有 5 种方法 于是共有1205234 24 4 复杂排列组合问题 复杂排列组合问题 构造模型法 构造模型法 例 31 马路上有编号为 1 2 3 9 九只路灯 现要关掉其中的三盏 但不能关掉相邻的 二盏或三盏 也不能关掉两端的两盏 求满足条件的关灯方案有多少种 解析 把此问题当作一个排对模型 在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯种 3 5 C 方法 所以满足条件的关灯方案有 10 种 说明 一些不易理解的排列组合题 如果能转化为熟悉的模型如填空模型 排队模型 装 盒模型可使问题容易解决 25 5 复杂的排列组合问题 复杂的排列组合问题 分解与合成法 分解与合成法 例 32 1 30030 能被多少个不同偶数整除 解析 先把 30030 分解成质因数的形式 30030 2 3 5 7 11 13 依题意偶因数 2 必 取 3 5 7 11 13 这 5 个因数中任取若干个组成成积 所有的偶因数为 个 012345 555555 32CCCCCC 2 正方体 8 个顶点可连成多少队异面直线 本材料第 12 页 共 17 页 解析 因为四面体中仅有 3 对异面直线 可将问题分解成正方体的 8 个顶点可构成多少个 不同的四面体 从正方体 8 个顶点中任取四个顶点构成的四面体有个 所以 4 8 1258C 8 个顶点可连成的异面直线有 3 58 174 对 26 逆向问题逆向问题 方程法方程法 例 33 平面上有相异的 11 个点 每两点连成一条直线 共得 43 条不同的直线 1 这 11 个点中有无三点或三个以上的点共线 若有共线 情形怎样 2 这 11 个点构成多少个三角形 解 1 设若有 x 条三点共线 y 条四点共线 z 条五点共线 于是有 C112 x C32 1 y C42 1 z C52 1 43 即 23 2x 5y 9z 0 这方程的解只可能是 x 6 y z 0 或 x 1 y 2 z 0 由此可知 这 11 个点中有 6 条三点共线或一条三点共和二条四点共线的情形 2 由上可知这 11 个点构成三角形个数的情形有 C113 6C33 159 或 C113 C3 2C42 156排列 基础 例题讲习排列 基础 例题讲习 例例 1 1 7 位同学站成一排 共有多少种不同的排法 解 问题可以看作 7 个元素的全排列 5040 7 7 A 7 位同学站成两排 前 3 后 4 共有多少种不同的排法 解 根据分步计数原理 7 6 5 4 3 2 1 7 5040 7 位同学站成一排 其中甲站在中间的位置 共有多少种不同的排法 解 问题可以看作 余下的 6 个元素的全排列 720 6 6 A 7 位同学站成一排 甲 乙只能站在两端的排法共有多少种 解 根据分步计数原理 第一步 甲 乙站在两端有种 第二步 余下的 2 2 A 5 名同学进行全排列有种 则共有 240 种排列方法 5 5 A 2 2 A 5 5 A 7 位同学站成一排 甲 乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种 解法一 直接法 第一步 从 除去甲 乙 其余的 5 位同学中选 2 位同学站在排 头和排尾有种方法 第二步 从余下的 5 位同学中选 5 位进行排列 全排 2 5 A 列 有种方法 所以一共有 2400 种排列方法 5 5 A 2 5 A 5 5 A 解法二 排除法 若甲站在排头有种方法 若乙站在排尾有种方法 若甲 6 6 A 6 6 A 站在排头且乙站在排尾则有种方法 所以甲不能站在排头 乙不能排在排 5 5 A 尾的排法共有 2400 种 7 7 A 6 6 2A 5 5 A 小结一 小结一 对于 在 与 不在 的问题 常常使用 直接法 或 排除法 对某些特 殊元素可以优先考虑 例例 2 2 7 位同学站成一排 1 乙两同学必须相邻的排法共有多少种 本材料第 13 页 共 17 页 解 先将甲 乙两位同学 捆绑 在一起看成一个元素与其余的 5 个元素 同学 一起进行全排列有种方法 再将甲 乙两个同学 松绑 进行排列有 6 6 A 种方法 2 2 A 所以这样的排法一共有 1440 种 6 6 A 2 2 A 2 乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种 解 方法同上 一共有 720 种 5 5 A 3 3 A 3 乙两同学必须相邻 而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种 解法一 将甲 乙两同学 捆绑 在一起看成一个元素 此时一共有 6 个元素 因 为丙不能站在排头和排尾 所以可以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在 排头和排尾 有种方法 将剩下的 4 个元素进行全排列有种方法 最后将 2 5 A 4 4 A 甲 乙两个同学 松绑 进行排列有种方法 所以这样的排法一共有 2 2 A 2 5 A 4 4 A 960 种方法 2 2 A 解法二 将甲 乙两同学 捆绑 在一起看成一个元素 此时一共有 6 个元素 若丙站在排头或排尾有 2种方法 所以丙不能站在排头和排尾的排法有 5 5 A 种方法 960 2 2 2 5 5 6 6 AAA 解法三 将甲 乙两同学 捆绑 在一起看成一个元素 此时一共有 6 个元素 因为丙不能站在排头和排尾 所以可以从其余的四个位置选择共有种方法 1 4 A 再将其余的 5 个元素进行全排列共有种方法 最后将甲 乙两同学 松绑 5 5 A 所以这样的排法一共有 960 种方法 1 4 A 5 5 A 2 2 A 小结二 小结二 对于相邻问题 常用 捆绑法 先捆后松 例例 3 3 7 位同学站成一排 1 乙两同学不能相邻的排法共有多少种 解法一 排除法 3600 2 2 6 6 7 7 AAA 解法二 插空法 先将其余五个同学排好有种方法 此时他们留下六个位置 就 5 5 A 称为 空 吧 再将甲 乙同学分别插入这六个位置 空 有种方法 所以一共有 2 6 A 种方法 3600 2 6 5 5 AA 甲 乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种 解 先将其余四个同学排好有种方法 此时他们留下五个 空 再将甲 乙和丙三 4 4 A 个同学分别插入这五个 空 有种方法 所以一共有 1440 种 3 5 A 4 4 A 3 5 A 小结三 小结三 对于不相邻问题 常用 插空法 特殊元素后考虑 例例 4 4 从 10 个不同的文艺节目中选 6 个编成一个节目单 如果某女演员的独唱节目一定不 能排在第二个节目的位置上 则共有多少种不同的排法 解法一 从特殊位置考虑 136080 5 9 1 9 AA 解法二 从特殊元素考虑 若选 若不选 则共有 5 9 5 A 6 9 A 本材料第 14 页 共 17 页 136080 5 9 5 A 6 9 A 解法三 间接法 136080 5 9 6 10 AA 例例 5 5 八个人排成前后两排 每排四人 其中甲 乙要排在前排 丙要排在后排 则共有多少种不同的排法 略解 甲 乙排在前排 丙排在后排 其余进行全排列 所以一共有 2 4 A 1 4 A 5 5 A 2 4 A 1 4 A 5760 种方法 5 5 A 不同的五种商品在货架上排成一排 其中a b两种商品必须排在一起 而c d两 种商品不排在一起 则不同的排法共有多少种 略解 捆绑法 和 插空法 的综合应用 a b捆在一起与e进行排列有 2 2 A 此时留下三个空 将c d两种商品排进去一共有 最后将a b 松绑 有 所以 2 3 A 2 2 A 一共有 24 种方法 2 2 A 2 3 A 2 2 A 6 张同排连号的电影票 分给 3 名教师与 3 名学生 若要求师生相间而坐 则不同 的坐法有多少种 略解 分类 若第一个为老师则有 若第一个为学生则有所以一共有 2 3 3 A 3 3 A 3 3 A 3 3 A 72 种方法 3 3 A 3 3 A 例例 6 6 由数字 1 2 3 4 5 可以组成多少个没有重复数字的正整数 略解 325 5 5 4 5 3 5 2 5 1 5 AAAAA 2 由数字 1 2 3 4 5 可以组成多少个没有重复数字 并且比 13 000 大的正整数 解法一 分成两类 一类是首位为 1 时 十位必须大于等于 3 有种方法 另一类 3 3 1 3A A 是首位不为 1 有种方法 所以一共有个数比 13 000 大 4 4 1 4A A 3 3 1 3A A114 4 4 1 4 AA 解法二 排除法 比 13 000 小的正整数有个 所以比 13 000 大的正整数有 3 3 A 114 个 5 5 A 3 3 A 例例 7 7 用 1 3 6 7 8 9 组成无重复数字的四位数 由小到大排列 1 第 114 个数是多少 3 796 是第几个数 解 因为千位数是 1 的四位数一共有个 所以第 114 个数的千位数应该是60 3 5 A 3 十位数字是 1 即 31 开头的四位数有个 同理 以 36 37 12 2 4 A 38 开头的数也分别有 12 个 所以第 114 个数的前两位数必然是 39 而 3 968 排 在第 6 个位置上 所以 3 968 是第 114 个数 由上可知 37 开头的数的前面有 60 12 12 84 个 而 3 796 在 37 开头的四 位数中排在第 11 个 倒数第二个 故 3 796 是第 95 个数 例例 8 8 用 0 1 2 3 4 5 组成无重复数字的四位数 其中 1 能被 25 整除的数有多少个 十位数字比个位数字大的有多少个 解 能被 25 整除的四位数的末两位只能为 25 50 两种 末尾为 50 的四位数有 本材料第 15 页 共 17 页 个 末尾为 25 的有个 所以一共有 21 个 2 4 A 1 3 1 3A A 2 4 A 1 3 1 3A A 注 注 能被 25 整除的四位数的末两位只能为 25 50 75 00 四种情况 用 0 1 2 3 4 5 组成无重复数字的四位数 一共有个 因为在这300 3 5 1 5 AA 300 个数中 十位数字与个位数字的大小关系是 等可能的等可能的 所以十位数字比个位数字大 的有个 150 2 1 3 5 1 5 AA 参考练习 1 有 6 张椅子排成一排 现有 3 人就座 恰有两张空椅子相邻的不同坐法数是 A 36 B 48 C 72 D 96 2 由 1 2 3 4 组成的无重复数字的四位数 按从小到大的顺序排成一个数列 an 则 a1