实验报告四 线性方程组的求解-迭代.doc

浙江大学城市学院实验报告课程名称 科学计算 实验项目名称 线性方程组的求解迭代法 实验成绩 指导老师（签名 ） 日期 2012-4-6 一. 实验目的和要求1 掌握Jacobi迭代方法，Gauss-Seidel迭代方法，SOR迭代方法的编程思想，能够分别用分量形式和矩阵形式编写相关程序。2 观察SOR迭代法中松弛因子变化情况对收敛的影响。 3 了解Hilbert矩阵的病态性和作为线性方程组系数矩阵的收敛性。二. 实验内容和原理编程题2-1要求写出Matlab源程序(m文件)，并有适当的注释语句；分析应用题2-2，2-3，2-4要求将问题的分析过程、Matlab源程序和运行结果和结果的解释、算法的分析写在实验报告上。2-1 编程注释设 对下述求解线性方程组的Matlab程序添上注释语句，其中和分别为线性方程组的系数矩阵和右端向量；为迭代初始向量；为容许迭代最大次数，为迭代终止条件的精度(容许误差)，终止条件为前后两次迭代解的差的向量2-范数。1） Jacobi迭代：2） Gauss-Seidel迭代：GaussSeidelmethod(A,b,x0,Nmax,eps)3） 松弛迭代：SORmethod(A,b,x0,Nmax,eps,w) 2-2 分析应用题利用2-1中的程序来分析用下列迭代法解线性方程组：的收敛性，并求出使的近似解及相应的迭代次数，其中取迭代初始向量为零向量。1）Jacobi迭代法；2）Gauss-Seidel迭代法；3）松弛迭代法（松弛因子依次取1.334，1.95，0.95）。2-3 分析应用题考虑方程组，其中系数矩阵为Hilbert矩阵， 选择问题的维数分别为2、3、5、10，并通过首先给定解再定出右端的办法确定问题，解的给定可以使用函数定义，并取迭代初始向量为零向量，迭代误差为，编写程序： 其中n为Hilbert矩阵的维数，分别构造求解该问题的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代，看它们是否收敛。2-4 分析应用题解线性方程组的解向量，取，其中为任一非零的六元向量；编写程序输出结果： 认真观察之，能发现什么有趣的现象？【MATLAB相关函数】n 提取(产生)对角阵v=diag(x) 若输入向量x，则输出v是以x为对角元素的对角阵；若输入矩阵x，则输出v是x的对角元素构成的向量v=diag(diag(x) 输入矩阵x，输出v是x的对角元素构成的对角阵，可用于迭代法中从A中提取D。n 提取(产生)上(下)三角阵v=triu(x) 输入矩阵x，输出v是x的上三角阵；v=tril(x) 输入矩阵x，输出v是x的下三角阵；v=triu(x,1) 输入矩阵x，输出v是x的上三角阵，但对角元素为0，可用于迭代法中从A中提取U。v=tril(x,-1) 输入矩阵x，输出v是x的下三角阵，但对角元素为0，可用于迭代法中从A中提取L。n 矩阵特征值b=eig(A) 输入矩阵A，输出b是A的所有特征值。n 范数n=norm(x) 输入x为向量或矩阵，输出为x的2范数；n=norm(x,p) 输入x为向量或矩阵，当p=1, inf时分别输出为x的1，无穷范数；n Hilbert矩阵h=hilb(n) 输出h为n阶Hilbert矩阵三. 操作方法与实验步骤（包括实验数据记录和处理）2-1 编程注释设 对下述求解线性方程组的Matlab程序添上注释语句，其中和分别为线性方程组的系数矩阵和右端向量；为迭代初始向量；为容许迭代最大次数，为迭代终止条件的精度(容许误差)，终止条件为前后两次迭代解的差的向量2-范数。1）Jacobi迭代：function X = Jacobimethod( A,b,X0,P,Nmax,eps)%A和b分别为线性方程组的系数矩阵和右端向量；x0为迭代初始向量X0；Nmax为容许迭代最大%次数，eps为迭代终止条件的精度(容许误差)，终止条件为前后两次迭代解的差的向量2-范数%P=1，2，inf或fro.%输出的量：系数矩阵的的值和有关雅可比迭代收敛性的相关信息及AX=b的精确解jX和近似解X n m=size(A);for j=1:m a(j)=sum(abs(A(:,j)-2*(abs(A(j,j);endfor i=1:n if a(i)=0 disp(请注意：系数矩阵A不是严格对角占优的，此雅可比迭代不一定收敛) return endendif a(i)0 disp(请注意：系数矩阵A是严格对角占优的，此方程组由唯一解，且雅可比迭代收敛)endfor k=1:Nmax k for j=1:m X(j)=(b(j)-A(j,1:j-1,j+1:m)*X0(1:j-1,j+1:m)/A(j,j); end X,djwcX=norm(X-X0,P); xdwcX=djwcX/(norm(X,P)+eps); X0=X; X1=Ab; if (djwcXeps)&(xdwcXeps)&(xdwcXeps) disp(请注意：雅可比迭代次数已经超过最大迭代次数Nmax)enda,X=X;jX=X1,end2）Gauss-Seidel迭代：GaussSeidelmethod(A,b,x0,Nmax,eps)function x = GaussSeidelmethod( A,b,x0,P,Nmax,wucha )% 输入的量：线性方程组AX=b的系数矩阵A和b，初始向量x0，范数的名称P=1，2，inf或fro.，% 近似解x的误差（精度）wucha和迭代的最大次数Nmax。% 输出的量：以系数矩阵的对角元构成对角矩阵D、A的上三角形矩阵U，但对角% 元为0、A的下三角矩阵L，但对角元为0和有关高斯-赛德尔迭代收敛性的相关信息及其AX=b% 的精确解jx和近似解x。D=diag(diag(A);U=-triu(A,1);L=-tril(A,-1);dD=det(D);if dD=0 disp(请注意：因为对角矩阵D奇异，所以此方程组无解.)else disp(请注意：因为对角矩阵D非奇异，所以此方程组有解.) iD=inv(D-L);B2=iD*U;f2=iD*b;jx=Ab; x=x0;n m=size(A); for k=1:Nmax x1=B2*x+f2;djwcx=norm(x1-x,P); xdwcx=djwcx/(norm(x,P)+eps); if (djwcxwucha)|(xdwcxwucha) return else k;x1;k=k+1;x=x1; end end if (djwcxwucha)|(xdwcxwucha) disp(请注意：高斯-赛德尔迭代收敛，此A的分解矩阵D，U,L和方程组的精确解jx和近似解如下：) else disp(请注意：高斯-赛德尔迭代的结果没有达到给定的精度，并且迭代次数已经超过最大迭代次数Nmax，方程组的精确解jx和迭代向量x如下：) x=x;jx=jx endendx=x;D,U,L,jx=jx3）松弛迭代：SORmethod(A,b,x0,Nmax,eps,w)function x = SORmethod( A,b,x,Nmax,wucha,w )% 输入的量：线性方程组AX=b的系数矩阵A和b，初始向量x，范数名称P=1，2，inf，或fro.，% 松弛因子w，近似解x的误差（精度）wucha和迭代的最大次数Nmax。% 输出的量：谱半径mH，以系数矩阵A的对角元构成的对角矩阵D、A的上三角矩阵U，但对角% 元为0、A的下三角矩阵L，但对角元为0，迭代次数i，有关超松弛迭代收敛性的相关信息% 及其AX=b的精确解jx和近似解x。D=diag(diag(A);U=-triu(A,1);L=-tril(A,-1);jx=Ab;n m=size(A);iD=inv(D-w*L);B2=iD*(w*U+(1-w)*D);H=eig(B2);mH=norm(H,inf);for k=1:Nmax iD=inv(D-w*L);B2=iD*(w*U+(1-w)*D); f2=w*iD*b;x1=B2*x+f2; x=x1;djwcx=norm(x1-jx,inf);xdwcx=djwcx/(norm(x,inf)+eps); if (djwcxwucha)|(xdwcxNmax disp(迭代次数已经超过最大迭代次数Nmax，谱半径mH，方程组的精确解jx，迭代次数i如下：) mH,D,U,L,jx=jx,i=k-1, end endendif mH=1 disp(请注意：因为谱半径不小于1，所以超松弛迭代序列发散.) disp(谱半径mH，A的分解矩阵D,U,L和方程组的精确解jx，迭代次数i和迭代序列x如下：) i=k-1,mH,D,U,L,jx,else disp(因为谱半径小于1，所以超松弛迭代序列收敛，近似解x如下：)end2-2分析应用题利用2-1中的程序来分析用下列迭代法解线性方程组：的收敛性，并求出使的近似解及相应的迭代次数，其中取迭代初始向量为零向量。1）Jacobi迭代法；2）Gauss-Seidel迭代法；3）松弛迭代法（松弛因子依次取1.334，1.95，0.95）。解：1） A=4 -1 0 -1 0 0;-1 4 -1 0 -1 0;0 -1 4 -1 0 -1;-1 0 -1 4 -1 0;0 -1 0 -1 4 -1;0 0 -1 0 -1 4;b=0;5;-2;5;-2;6;X0=0 0 0 0 0 0;X=Jacobimethod( A,b,X0,inf,0.0001,100)请注意：系数矩阵A是严格对角占优的，此方程组有唯一解，且雅可比迭代收敛k = 1X = 0 1.2500 -0.5000 1.2500 -0.5000 1.5000k = 2X = 0.6250 1.0000 0.5000 1.0000 0.5000 1.2500k = 3X = 0.5000 1.6563 0.3125 1.6563 0.3125 1.7500k = 4X = 0.8281 1.5313 0.7656 1.5313 0.7656 1.6563k = 5X = 0.7656 1.8398 0.6797 1.8398 0.6797 1.8828k = 6X = 0.9199 1.7813 0.8906 1.7813 0.8906 1.8398k = 7X = 0.8906 1.9253 0.8506 1.9253 0.8506 1.9453k = 8X = 0.9626 1.8979 0.9490 1.8979 0.9490 1.9253k = 9X = 0.9490 1.9651 0.9303 1.9651 0.9303 1.9745k = 10X = 0.9826 1.9524 0.9762 1.9524 0.9762 1.9651k = 11X = 0.9762 1.9837 0.9675 1.9837 0.9675 1.9881k = 12X = 0.9919 1.9778 0.9889 1.9778 0.9889 1.9837k = 13X = 0.9889 1.9924 0.9848 1.9924 0.9848 1.9944k = 14X = 0.9962 1.9896 0.9948 1.9896 0.9948 1.9924k = 15X = 0.9948 1.9965 0.9929 1.9965 0.9929 1.9974k = 16X = 0.9982 1.9952 0.9976 1.9952 0.9976 1.9965k = 17X = 0.9976 1.9983 0.9967 1.9983 0.9967 1.9988k = 18X = 0.9992 1.9977 0.9989 1.9977 0.9989 1.9983k = 19X = 0.9989 1.9992 0.9985 1.9992 0.9985 1.9994k = 20X = 0.9996 1.9989 0.9995 1.9989 0.9995 1.9992k = 21X = 0.9995 1.9996 0.9993 1.9996 0.9993 1.9997k = 22X = 0.9998 1.9995 0.9998 1.9995 0.9998 1.9996k = 23X = 0.9998 1.9998 0.9997 1.9998 0.9997 1.9999k = 24X = 0.9999 1.9998 0.9999 1.9998 0.9999 1.9998k = 25X = 0.9999 1.9999 0.9998 1.9999 0.9998 1.9999k = 26X = 1.0000 1.9999 0.9999 1.9999 0.9999 1.9999k = 27X = 0.9999 2.0000 0.9999 2.0000 0.9999 2.0000请注意：雅可比迭代收敛，此方程组的精确解jx和近似解x如下：X = 0.9999 2.0000 0.9999 2.0000 0.9999 2.00002) A=4 -1 0 -1 0 0;-1 4 -1 0 -1 0;0 -1 4 -1 0 -1;-1 0 -1 4 -1 0;0 -1 0 -1 4 -1;0 0 -1 0 -1 4;b=0;5;-2;5;-2;6;x0=0 0 0 0 0 0;x=GaussSeidelmethod( A,b,x0,inf,100,0.0001 )请注意：因为对角矩阵D非奇异，所以此方程组有解.k = 1ans = 0 1.2500 -0.1875 1.2031 0.1133 1.4814k = 2ans = 0.6133 1.3848 0.5173 1.5610 0.6068 1.7810k = 3ans = 0.7364 1.7151 0.7643 1.7769 0.8183 1.8956k = 4ans = 0.8730 1.8639 0.8841 1.8938 0.9133 1.9494k = 5ans = 0.9394 1.9342 0.9444 1.9493 0.9582 1.9756k = 6ans = 0.9709 1.9684 0.9733 1.9756 0.9799 1.9883k = 7ans = 0.9860 1.9848 0.9872 1.9883 0.9903 1.9944k = 8ans = 0.9933 1.9927 0.9938 1.9944 0.9954 1.9973k = 9ans = 0.9968 1.9965 0.9970 1.9973 0.9978 1.9987k = 10ans = 0.9984 1.9983 0.9986 1.9987 0.9989 1.9994k = 11ans = 0.9993 1.9992 0.9993 1.9994 0.9995 1.9997k = 12ans = 0.9996 1.9996 0.9997 1.9997 0.9998 1.9999k = 13ans = 0.9998 1.9998 0.9998 1.9999 0.9999 1.9999x = 0.9998 1.9998 0.9998 1.9999 0.9999 1.99993)当w=1.334：A=4 -1 0 -1 0 0;-1 4 -1 0 -1 0;0 -1 4 -1 0 -1;-1 0 -1 4 -1 0;0 -1 0 -1 4 -1;0 0 -1 0 -1 4;b=0;5;-2;5;-2;6;x0=0 0 0 0 0 0;x=SORmethod( A,b,x,100,0.0001,1.334 )谱半径mH,A的分解矩阵D,U,L和方程组的精确解jx，迭代次数i如下：mH = 0.4305D = 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4U = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0L = 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0jx = 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000i = 0x = 0.9999 2.0000 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000当w=1.95： A=4 -1 0 -1 0 0;-1 4 -1 0 -1 0;0 -1 4 -1 0 -1;-1 0 -1 4 -1 0;0 -1 0 -1 4 -1;0 0 -1 0 -1 4;b=0;5;-2;5;-2;6;x0=0 0 0 0 0 0;x=SORmethod( A,b,x,100,0.0001,1.95 )谱半径mH,A的分解矩阵D,U,L和方程组的精确解jx，迭代次数i如下：mH = 0.9589D = 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4U = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0L = 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0jx = 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000i =