等差数列与等比数列解题技巧.doc

等差数列与等比数列解题技巧【摘要】在高中数学课程内容中，数列作为离散函数的典型代表之一，不仅在高中数学中具有重要位置，而且，在现实生活中有着非常广泛的作用.因此掌握数列的解题技巧，在我们高中数学中是很有必要的.引言：数列在高考中主要考察用数列的递推公式、等差数列的通项公式参数的确定和性质、前n项和公式和性质及常见的数列的求和方法.1、 求数列通向公式的方法1、 分析法通过与一些已知通向公式的基本数列进行比较、分析、归纳综合找数列的项与项数之间的关系，求出数列的通向公式.例1、写出数列的一个通向公式（1） 、0.7，0.77，0.777.0.7777，. （2）、2，解：（1）原列各项可以写成有数列故原数列的一个通向公式为 （2）、原数列可改写为故其通向公式为例2、根据下面各个数列的首项和递推公式，写出它的前4项并归纳出数列的一个通向公式（1） 、；解：分析:写出前4项，找出规律，然后归纳出通向公式.(1) 、由已知，得即故数列的一个通向公式为(2) 、由已知，得即故数列的一个通向公式为注:上述题设给出，数列的前n项或给出递推公式和初始条件，分析数列的特征，找出规律，写出通向公式.2、 待定系数法例1、已知数列的通向公式是关于n的二次多项式，按照下列条件，写出数列的一个通向公式.（1） 、（2）、（3）、分析：设出然后将代入求出系数即得通向公式.解：（1）、依题意，得解得（2） 、设依题意，得解得（3） 、设注：由n个独立条可确定n个参数的值，因此，当已知数列中m项数值时，可设通项为（m-1）次多项式，并应用待定系数法，求出这一多项式个项系数的值，进而写出的表达式。3、 换元法换元的关键步骤是变换题设中所给的递推公式，构造出等差数列或等比数列，这种被构造出来的数列称为辅助数列，借助辅助数列便可求得原数列的通向公式.例1、已知数列求数列的通向公式.分析：将变形为换元后转化为求等差数列的通向公式.解:将已知条件改写为令数列是以为首项，公差为的等差数列，将上述（n-1）个式子相加，得:例2、数列分析:将转化为求等比数列的通向公式.解：数列是以为首项，以2为公比的等比数列.4、 累加法例1、求数列：6，9，14，21，30，.的通向公式.分析:观察数列的特征，后面一项减去前面一项的差组成的数列：3，5，7，9，.是首项为3，公差为2的等差数列，故可先求出数列的通向公式，再推出的通向公式.解：设原数列中相邻两项（后项减去前项）的差所组成的数列，则，显然，各式相加，得：5、 乘约法例1、已知数列满足，且，求通向公式.分析：由得，当1，2，3，.,（n-1）时得到n-1个关系式，将这n-1个关系式连乘可得的通向公式.解：由得，当时，有，将以上各式左右两端分别相乘得，又也满足上式，.注:必须对进行验证，若满足关系式，则统一写成的形式；若不满足，要写成分段形式.6、 构造数列法由已知递推公式进行变形，构造出新的等比数列，然后用累加法、乘约法或直接利用等比数列写出通向公式.例1、已知数列满足其中证明这个数列的通向公式是分析:由递推关系可分别用累加法和构造数列法证明.证法1（累加法）,两边同除以得： ，当时，有: ,将以上各式分别相加，得，证法2：（构造法）设可化为，由待定系数法可得: ,可知数列为以为首项，以为公比的等比数列，7、 递推法例1、已知数列中，求的通向公式；解:,2、 简单的递推数列即处理策略（1） 、对型数列通项的求法可用累加法或乘约法.（2） 、对型数列通项的求法可用累加法和构造数列法.（3） 、对型数列通项的求法可用累加法和构造数列法.（4） 对型数列通项的求法两边同加上一个常数，这个常数是方程的根，然后构造数列求解.（5） 、对型数列通项的求法由代入原关系式中化只含有或的关系式，然后求解.1、 有关“，”型数列通项公式的求法.例1、数列中，（为常数，）且成公比不为1的等比数列.（1） 、求的值；分析：（1）由成等比数列可求出；（2）用累加法可求通向公式.解（1），因为成等比数列，所以，解得或，当时，不符合题意，舍去，故.（2） 当时，由于，所以.又，故.当=1时，上式也成立.所以.2、 有关“，”型数列通项公式的求法.例1、在数列中，.（1） 、设，证明：数列是等差数列.（2） 、求数列的前项和.分析:此题可先求出，也可通过变形直接证明，求出，再求出，进而求出.（1） 证明：，即，故数列是首项为1，公差为1的等差数列。（2） 解:由（1）知，则，两式相减，得.3、 有关“,”型数列通项公式的求法.例1、已知数列中，且（，）.（1） 、设，证明是等比数列；（2） 、求数列的通向公式；分析:首先将原关系式变形为，构造出新的数列可证明为等比数列，且可求.（1） 证明：由题设（），得，即。由首项为1，公比为的等比数列。（2） 解：由（1），将以上各式相加，得，即所以当时，上式对显然成立.4、 有关“（其中为不同时为零的常数）”型数列通项公式的求法.例1、已知数列的首项，证明：数列是等比数列.证明:又，数列是以为首项，为公比的等比数列.5、 有关“”型数列通项公式的求法.例1、设数列的前项和.（1） 、求、；（2） 、证明：是等比数列；（3） 、求的通向公式.分析:可通过递推关系求，由得可得出、要注意的关系.解（1）.由知，得,(2)、由题意和（1）式知，所以是首项为2，公比为2的等比数列.（3） 、 .3、 数列求和对于数列的求和问题，一般先要仔细地分析数列的通向公式的特点，在分析通项的基础上再来确定是选用哪种求和方法.若不能直接求和的数列可以拆或并成几个可以求和的数列，用分组法。若数列的每一项变为两数之差，可以使大部分项能“正、负抵消”，只剩下有限的几项，此时可用裂项法；若一个数列距首末等距离的和相等，可采用倒序相加法；若数列的各项是由一等差数列和一等比数列组成的，可用错位相减法；若数列的通项中含，可分类讨论或错位相减法.1、 错位相减法:这是在推倒等比数列前项和公式所用的方法，这种方法主要用于求数列的前项和，其中、 分别是等差数列和等比数列.例1、求和解：当时，；当时， 两式相减得： 2、 倒序相加法:将一个数列倒过来排列（倒序），当它与原数列相加时，若有公因式可提并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。等差数列求和公式就是用倒序相加法推倒出来的.例1、求和:分析在：注意到且相等项的系数之和都为，故可用“倒序相加法”求和。解： 3、 分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列。若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，分别求和，然后再合并.例1、求数列的前项和.解: 3、 裂项法:这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，裂项法的实质是将数列中的某些项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。例1、 例2、求数列的前项和.分析：变换通向公式，将其拆为若干项的和或差.拆项的原则是在各项相加的过程中能消去一些项.解：，注：将通项进行变换，构造两项之差，这是求和过程中消项的基础.常见的拆项公式有；4、 并项法例1、求的值.分析:本题可以视为求两个等差数列的代数和，但运算量较大。若用并项求和法轻而易举就可以解决。解：.5、 降次递推法例1、求和分析：可利用公式令分别代入上式，得将以上各式分别相加，得:参考文献：1张环、胡剑涛、杨玉蓉主编。高中数学综合能力培养上