ch7z变换、离散时间系统的z域分析VIP

第七章z变换 离散时间系统的z域分析 7 1引言7 2z变换定义 典型序列的z变换7 3z变换的收敛域7 4逆z变换7 5z变换的基本性质7 6z变换与拉普拉斯变换的关系7 7利用z变换解差分方程7 8离散系统的系统函数7 9序列的傅里叶变换 DTFT 7 10离散时间系统的频率响应特性 7 1引言 Z变换可借助抽样信号的拉氏变换引出 令z esT 令T 1 7 2z变换定义 典型序列的z变换 一 z变换定义 1 单边z变换 2 双边z变换 对于因果序列 双边z变换和单边z变换是等同的 二 典型序列的z变换 1 单位样值函数 2 单位阶跃序列 3 斜变序列 4 指数序列 5 正弦与余弦序列 7 3Z变换的收敛域 一 收敛域定义 对于任意给定的有界序列x n 使z变换定义式级数收敛的所有z值的集合 称为z变换X z 的收敛域 简写为ROC 对于单边变换 序列与变换式唯一对应 对于双边变换 不同序列在不同收敛域下可能有相同的变换式 对于双边变换 必须同时给出变换式和收敛域 z变换函数是收敛域内每一点的解析函数 二 收敛域判定依据 Z变换级数收敛的充分条件是 绝对可和 三 序列的收敛域 1 有限长序列 2 右边序列 Rx1 收敛半径 3 左边序列 Rx2 收敛半径 因果序列是右边序列的一种特殊情况 此时n1 0 z Rx1 4 双边序列 结论 1 有限长序列的收敛域分布在整个平面 2 右边序列的收敛域是收敛半径的圆外部分 3 左边序列的收敛域是收敛半径的圆内部分 4 双边序列的收敛域若存在 则通常是环形 左边序列和右边序列的叠加 左边序列 z Rx2 右边序列 z Rx1 任何序列的单边z变换的收敛域和因果序列的收敛域类同 为 z Rx1 解 1 单边z变换 2 双边z变换 解 说明 1 通常 收敛域以极点为边界 收敛域内不包含任何极点 2 对于多个极点情况 右边序列收敛域以最外面的极点为边界 左边序列收敛域以最里面的极点为边界 7 4逆z变换 求法 1 部分分式分解法 2 幂级数展开法 长除法 3 围线积分法 留数法 一 部分分式分解法 对于因果序列 z变换的收敛域为 z R 为保证在z 处收敛 须k r 1 X z 仅含有一阶极点 解 2 X z 中含有高阶极点 解 二 幂级数展开法 长除法 直接用长除法进行逆变换 是一个z的幂级数 级数的系数就是序列x n 解 7 5z变换的基本性质 一 线性 注 某些线性组合中 某些零点与极点相消 则收敛域可能扩大 解 零点与极点相消 则收敛域扩大到整个z平面 二 位移性 1 双边z变换的位移性质 注 若x n 为双边序列 则序列移位不会影响其ROC 仍为Rx1 z Rx2 2 单边z变换的位移性质 1 x n 为双边序列 2 x n 为因果序列 解 三 序列线性加权 z域微分 四 序列指数加权 z域尺度变换 五 初值定理 六 终值定理 注 当n 时x n 收敛 才可用终值定理 终值存在条件 七 时域卷积定理 注 若某些零点与极点相抵消 则收敛域可能扩大 7 6z变换与拉普拉斯变换的关系 一 从s平面到z平面的映射 7 s平面沿虚轴平移 s z平面中沿单位圆旋转一圈 二 z变换与拉氏变换表达式的对应 如 7 7利用z变换解差分方程 初始条件 若因果信号则此项为零 单边z变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程中 可求得零输入 零状态响应和全响应 解 零输入响应 零状态响应 零输入响应 零状态响应 7 8离散系统的系统函数 一 定义 系统零状态响应的z变换与激励的z变换的比值 1 定义一 若x n 是因果序列 则在系统零状态下 有 系统单位样值响应的z变换 2 定义二 解 或 二 系统的z域框图 基本单元符号 解 A z 1 三 系统函数的零极点分布对系统特性的影响 1 系统函数的零极点分布确定单位样值响应 可见 极点pk决定h n 的波形特征 而零点zr只影响h n 的幅度和相位 H z 极点位置与h n 形状的关系见教材 2 离散时间系统的稳定性和因果性 1 稳定性 对于稳定系统H z 的收敛域应包含单位圆在内 2 因果性 对于因果系统H z 的收敛域应为a z 包含 点 极点可在单位圆内 也可在单位圆外 全部极点落在单位圆内 解 解 7 9序列的傅里叶变换 DTFT 一 定义 正变换 逆变换 物理意义 1 X ej 可以表示成无穷多个复指数信号的加权和 2 X ej 表示了x n 中各个频率分量的相对大小 3 X ej 是连续的 并且以2 为周期 收敛条件 二 基本性质 由于序列的傅立叶变换是z变换在单位圆上的特例 所以它也具有z变换的性质 另外 它也具有傅立叶变换的一些对称性质 这对于简化运算及求解很有帮助 1 线性 2 时移和频移 时域位移对应频域相移 频域位移对应时域调制 3 序列的反褶 4 奇偶虚实性 表明 复函数X ej 的实部为偶函数 虚部为奇函数 模为偶函数 辐角为奇函数 X ej 与X e j 共轭 时域反褶对应频域反褶 5 时域卷积定理 6 频域卷积定理 时域卷积对应频域相乘 时域相乘对应频域卷积 7 帕塞瓦尔定理 能量定理 表明 时域总能量等于频域一周期内总能量 7 10离散时间系统的频率响应特性 一 离散系统频响特性的定义 正弦稳态 正弦序列作用下系统的稳态响应 系统对不同频率的输入 产生不同的加权 这就是系统的频率响应特性 以H j 表示