余弦定理教学设计——APOS理论.doc

余弦定理教案课题余弦定理课型新授课教学目标知识与技能1、理解并掌握余弦定理和余弦定理的推论2、掌握余弦定理的推导、证明过程。3、能运用余弦定理及其推论解决“两边一夹角”“三边”问题。过程与方法1、通过从实际问题中抽象出数学问题，培养学生知识的迁移能力。2、通过直角三角形到一般三角形的过渡，培养学生归纳总结能力。3、通过余弦定理推导证明的过程，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。情感、态度与价值观1、在交流合作的过程中增强合作探究、团结协作精神，体验解决问题的成功喜悦。2、感受数学一般规律的美感，培养数学学习的兴趣。教学重点余弦定理及其推论和余弦定理的运用。教学难点余弦定理的发现和推导过程以及多解情况的判断。教学过程教学环节教师活动设计意图创设问题情景上节课，我们在直角三角形中发现了正弦定义，并用几何与代数两种方法给出了证明。今天，我们再次回到直角三角形。活动1：在ABC中，已知a、b，C=90，求c=?。可以利用勾股定理c2=a2+b2解决问题。活动2：如果两边a、b的大小保持不变，但C的大小改变变成锐角或钝角，那么第三边c的长度会如何变化？结合学生已有的知识结构和熟悉的场景，提出三角形第三边与其另两边及夹角的关系。直观的看随着C的增大，边c不断增大。过程阶段体验探索余弦定理过程1：在三角形ABC中，已知边a、b和C，求边c的长度？分析：通过添辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求得。1如图所示，若C是锐角 CD=bcosC，BD=a-CD=a-bcosCAC2-CD2=AB2-BD2b2-bcosC2=c2-a-bcosC2即c2=a2+b2-2abcosC2如图所示，若C是钝角CD=bcos-C=-bcosCAC2-CD2=AB2-CD+BC2 b2-CD2=c2-CD2-2aCD-a2即c2=a2+b2-2abcosC3若C是直角则cosC=0，c2=a2+b2-2abcosC也成立。第一，通过构造把有待解决的新问题转化成已经解决的问题，是数学研究中的常规方法。第二，解题过程中要注意思维的严密性，锐角三角形中成立的结论未必在钝角三角形中成立，(比如：“锐角三角形的外心在三角形内在钝角三角形中就不成立)，必须通过对锐角三角形、钝角三角形和直角三角形的全面讨论，才能得到c2=a2+b2-2abcosC在三角形中恒成立，缺一不可。过程阶段体验探索余弦定理显然，这种全面讨论的方法比较麻烦，有没有其他方法，可以不用分类讨论?过程2：是否可以把ABC置于直角坐标系中，利用坐标解决前面的问题?通过建立适当的直角坐标系，利用两点间的距离公式求得：如图所示，把ABC放在直角坐标系中，使顶点C与坐标原点重合，顶点B落在Ox轴的正半轴上，顶点A落在Ox轴上方。这时B点的坐标是a,o，A点的坐标是bcosC,bsinC。根据两点间的距离公式，得c2=AB2=bcosC-a2+bsinC2=b2+a2-2abcosC通过建立坐标系，不管C是锐角、直角还是钝角，由任意角的三角比定义可知，点A的坐标是一样的，使新知识与之前的知识发生联系，体验几何问题代数化的过程。过程阶段体验探索余弦定理过程3：用函数的观点来看c2=a2+b2-2abcosC，可以得到C和c有怎样的关系?由任意角的三角比的定义可知，当a、b的长度保持不变，但C在0，内逐渐增大时，第三边c的长度也随着逐渐增大。从“过程”阶段反思“活动”阶段学生得到的直观结论，升华学生的认识。对象阶段通过轮换和变形得到余弦定理的各种表达式对象1：刚才我们通过两种方法的研究，得到了c2=a2+b2-2abcosC，试问：我们得到的仅仅是a、b、c和C的关系，还是三角形中的三条边与一个角的关系?回答：当然是是三角形中的三条边和一个角的关系：三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的乘积的两倍。我们称之为余弦定理。对象2：余弦定理也可以写成：a2=b2+c2-2bccosA, b2=a2+c2-2accosBcosA=b2+c2-a22bc, cosB=a2+c2-b22ac, cosC=a2+b2-c22ab帮助学生从具体的a、b、c和C的关系抽象为三角形中的三条边与一个角的关系。反思在余弦定理中，我们发现： 当C =90。时，cosC=0，从而有c2=a2+b2，那么能否用余弦定理来证明勾股定理？为什么？学生回答：因为余弦定理的证明是由勾股定理证得的，余弦定理是勾股定理及其逆定理的推广，勾股定理是余弦定理的一个特例。学生通过这个问题理清了勾股定理与余弦定理的关系。为学生把余弦定理纳入到已有的图式中找到了位置。图式阶段过实例构建综合心理图式图式1：余弦定理揭示了三角形中的三条边和一个角之间的关系，利用这种关系可以解决哪些问题？学生一般能提出两个问题：(1)三角形中已知两边和一个夹角，求其它元素：(2)三角形中已知三边，求角。例如：ABC中，已知a=11，b=53,c=19,求C。(已知三条边长，三角形确定，C唯一)已知a=11，b=33，C=30，求c。(已知两边一个夹角，三角形确定，c唯一)由于有正弦定理应用的基础，这里可以让学生运用方程的思想自己提出问题解决问题，培养学生提出问题解决问题的能力。图式阶段图式2：老师提出第三个问题：三角形中已知两边和一个对角，能否利用余弦定理求其它元素？为什么？例如：已知a=19，b=21，A=60，求c。解：由cosA=b2+c2-a22bc，解得c1=5，c2=16。会不会有增根？回答：不会。b2+c2-2bcb2+c2-2bccosAb2+c2+2bc即b-c2a2b+c2，b-cab+c即a、b、c必能构成三角形。在运用正弦定理去解决两边一个对角问题时，是需要检验的。所以正弦定理与六要素可构成三角形并不等价，而余弦定理却是等价的。从这个角度加深学生对于余弦定理的理解。归纳总结全体学生与教师一起回顾这样几个问题：1你知道余弦定理是如何推导的？2你体验到了几何问题代数化的过程了么？3你认为勾