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符号运算科学计算包括数值计算和符号计算两种计算，数值计算是近似计算；而符号计算则是绝对精确的计算。符号变量的生成和使用1、符号变量、符号表达式和符号方程的生成（1）、使用sym函数定义符号变量和符号表达式单个符号变量sqrt(2)sym(sqrt(2)%显示精确结果a=sqrt(sym(2) %显示精确结果double(a)sym(2)/sym(3) %显示精确结果2/5+1/3sym(2/5+1/3) %显示精确结果sym(2)/sym(5)+sym(1)/sym(3) %显示精确结果sym函数定义符号表达式：单个变量定义法，整体定义法单个变量定义法a=sym(a)b=sym(b)c=sym(c)x=sym(x)f=a*x2+b*x+c整体定义法f=sym(a*x2+b*x+c)g=f2+4*f-2（2）、使用syms函数定义符号变量和符号表达式一次可以创建任意多个符号变量syms var1 var2 var3syms a b c xf=a*x2+b*x+cg=f2+4*f-2（3）、符号方程的生成函数：数字和变量组陈的代数式方程：函数和等号组成的等式用sym函数生成符号方程：equation1=sym(sin(x)+cos(x)=1)2、符号变量的基本操作（1）、findsym函数用于寻找符号变量findsym(f)：找出f表达式中的符号变量findsym(s,n)：找出表达式s中n个与x接近的变量syms a alpha b x1 yfindsym(alpha+a+b)findsym(cos(alpha)*b*x1+14*y,2)%x1,yfindsym(y*(4+3i)+6j)findsym(cos(alpha)*b*x1+14*y,1)%x1findsym(cos(alpha)*b*x1+14*y,3)%x1,y,b（2）、任意精确度的符号表达式digits函数设定所用数值的精度digits：在command window显示当前设定的数值精度digits(D)：设置数值的精度为DD=digits：在command window中返回当前设定数值精度digitsdigits(100)D=digitsvpa函数进行可控精度运算R=vpa(S)：显示符号表达式S在当前精度D下的值，D是使用digits函数设置的数值精度vpa(S,D)：显示符号表达式S在精度D下的值，D不是当前精度值，只是临时设置的r=vpa(pi)r=vpa(pi,1000)q=vpa(hilb(2)q=vpa(hilb(2),6)（3）、数值型变量与符号型变量的转换形式数值型变量t转换成符号型变量有理数形式：sym(t)或sym(t,r)浮点数形式：sym(t,f)指数形式：sym(t,e)指数精度形式：sym(t,d)t=0.1sym(t)sym(t,r)sym(t,f)sym(t,e)sym(t,d)可以通过digits函数改变精度digits(7)sym(t,d)也可以用于矩阵，但是矩阵只能转换为有理数形式A=hilb(4)A=sym(A)A=sym(A,d) %报错A=sym(A,e) %报错A=sym(A,f)%报错3、符号表达式（符号函数）的操作（1）、四则运算（与通常算术式一样）syms x y a bfun1=sin(x)+cos(y)fun2=a+bfun1+fun2（2）、合并同类项collect(S,v)：将符号矩阵S中所有同类项合并，并以v为符号变量输出collect(S)：使用findsym函数规定的默认变量，代替上式的vsyms x ycollect(x2*y+y*x-x2-2*x)f=-1/4*x*exp(-2*x)+3/16*exp(-2*x)collect(f)（3）、因式分解horner(P)：将表达式P进行因式分解syms xfun1=2*x3+2*x2-32*x+40horner(fun1)fun2=x3-6*x2+11*x-6horner(fun2)（4）、简化simplify(S)：将表达式S中的每个元素都进行简化，即便使用多次simplify也不一定能得到最简形式syms xfun1=(1/x+7/x2+12/x+8)(1/3)sfy1=simplify(fun1)sfy2=simplify(sfy1)simplify(sin(x)2+cos(x)2)simple(S)：使用多种代数方法对S进行简化，显其中最简单的结果R,how=simple(S)：R为最简结果，how为简化方法的字符串s=2*cos(x)2-sin(x)2simple(s)R how=simple(s)simple(f)（5）、subs函数用于替换求值subs函数可以将符号表达式的符号变量替换为数值变量subs(S) ：将S中自由符号变量用调用函数中的值或是MATLAB工作区间值替换subs(S,new)：将S中自由符号变量用数值型变量或表达式new替换subs(S,old,new)：将S中符号变量old用 数值型变量或表达式new替换syms x yf=x2*y+5*x*sqrt(y)subs(f)subs(f,x,3)subs(f,y,3)subs(f,3)%与subs(f,x,3)结果相同用户没指定被替换的符号变量，对单个字母的变量，MATLAB选择在字母表中与x接近的字母，若有两个变量离x一样近，则选择字母表中靠后的那个findsym(f,1)syms s tg=s+tfindsym(g,1)%找到tsubs(g,1)%替换为s+1多个变量替换syms a bsubs(cos(a)+sin(b),a,b,sym(alpha),2)用矩阵替换syms t x ysubs(exp(a*t),a,-magic(2)subs(x*y,x,y,0 1;-1 -1,1 -1;-2 1)（6）、反函数g=finverse(f)：求函数f的反函数，返回g也是符号函数g=finverse(f,v)：设定f的自变量是v，当f包括不止一个变量时最好使用该命令syms x yf=x2+yfinverse(f,y)finverse(f)%由于没指明自变量，给出警告syms xf=x2g=finverse(f)%x2的反函数不唯一，默认给出正值fg=simple(compose(g,f)%验证反函数正确性（7）、复合函数compose(f,g)：返回f=f(x),g=g(y)的复合函数f(g(y)，x是findsym定义的f的符号变量，y是findsym定义的g的符号变量compose(f,g,z)：返回f=f(x),g=g(y)的复合函数f(g(z)，返回函数以z为自变量compose(f,g,x,z)：返回f(g(z)，x为函数f的独立变量compose(f,g,x,y,z)：返回f(g(z)，x为函数f的独立变量，y为函数g的独立变量syms x y z t uf=1/(1+x2)g=sin(y)h=xtp=exp(-y/u)compose(f,g)compose(f,g,t)compose(h,g,x,z)compose(h,g,t,z)compose(h,p,x,y,z)compose(h,p,t,u,z)符号矩阵的生成和运算1、符号矩阵的生成（1）、使用sym函数直接生成符号矩阵a1=sym(1/3 2/3 5/7;9/11 11/13 13/17;17/19 19/23 23/29)a1=sym(1/3,0.2+sqrt(2),pi;2/7,sin(x),cos(x),log(x);sin(x)2,sin(22*x),exp(x)%长度不一致的行补0（2）、用生成子矩阵的方法生成符号矩阵与字符串矩阵的直接输入法类似，同一列元素长度须相同（不同补0）a=100,cos(x);1/s,x （3）、由数值矩阵转换为符号矩阵系统首先将自动在MATLAB工作区间将数值型变量转换为符号型变量，用户也可以用sym函数进行转换M=30 1 1 1;6 1 5 9;9 8 25 4;32 45 62 0S=sym(M)M1=0.3 0.33 0.333 1/3;3.14 3.142 3.1416 pi;log(2) log(3) log(5) log(7);sin(1) cos(1) tan(1) atan(1)S1=sym(M1)2、符号矩阵及符号数组的运算（1）、符号矩阵的四则运算A+B和A-B同型矩阵可以分别对对应分量进行加减，若A与B至少有一个为标量，则把标量扩大为与另一个同型的阵列A*B为线性代数中定义的矩阵乘法AB实现左除，X=AB为符号线性方程组A*X=B的解，AB近似等于inv(A)*B，X不存在或不唯一，则产生警告，A可以是非方阵，要求方程组必须是相容的A/B实现右除，X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解，B/A近似等于B*inv(A) ，X不存在或不唯一，则产生警告，A可以是非方阵，要求方程组必须是相容的m=sym(x,x2,x*2,1/x)n=sym(2*x,y,x,x2)m+nm-nm*n%出错mnm/n%出错（2）、符号数组的四则运算若有标量，则扩展为同型阵列.*乘法./右除.左除q=sym(3 4 9 6;x y z w;a b c d)p=sym(x 1/x x2 x3;a b c d;5 2 3 6)q.*pq./pq.pr=q*p%矩阵行列不匹配，出错（3）、矩阵和数组的逆运算A实现矩阵的Hermition转置，若A为复数矩阵，则A为共轭转置q=sym(3 4 9 6;x y z w;a b c d)q%符号变量具体值不知，只能用conj给出q.%普通转置（4）、矩阵和数组的幂运算AB实现矩阵幂运算，若A为标量B为方阵，AB用方阵B的特征值与特征向量计算数值。若A、B均为矩阵，则返回错误A.B实现数组幂运算，若A与B为同型矩阵，则按对应分量进行计算。若A与B中至少有一个为标量，则现将标量扩大为另一个同型的阵列p=sym(x 1/x x2 x3;a b c d;5 2 3 6)q=sym(3 4 9 6;x y z w;a b c d;1 3 5 7)q2p2%p矩阵不为方阵，报错q.2p.2（5）、符号矩阵的秩rank(A)：求出方阵A的线性不相关的独立行和列的个数rank(A,tol)：求出比tol值大的值的个数，在上个命令中默认tol=max(size(A)*norm(A)*epsa=sym(1 1/x x2;xin(x) cos(x) tan(x);log(x) 2 9)rank(a)（6）、符号矩阵的逆和行列式运算inv(X)：求方阵X的逆，当X奇异或者范数很小时，系统给出一个出错信息det(X)：求方阵X的行列式h=sym(hilb(4)inv(h)det(h)b=sym(1 x x2;0 0 sin(x);0 0 log(x) inv(b)%b矩阵行列式为0，不存在逆，返回FAILb=sym(1,x;x;x2)inv(b)%矩阵不是方阵，报错符号微积分1、符号极限limit(F,x,a)：计算符号表达式当x趋于a时F=F(x)的极限值limit(F,a)：x默认为findsym(F)limit(F)：a默认为0limit(F,x,a,right) 或Limit(F,x,a,left)：计算右极限和左极限limit(sin(x)/x)limit(x-2)/(x2-4),2)limit(1-2*1/x)(3*x),x,inf)limit(1/x,x,0,left)limit(1/x,x,0,right)limit(sin(x+h)-sin(x)/h,h,0)2、符号微分和求导（1）、diff函数的使用diff(x)：根据findsym(x)命令返回的自变量v，求表达式x的一阶导数diff(x,n)：根据findsym(x)命令返回的自变量v，求表达式x的n阶导数diff(x,v)或diff(x,sym(v)：对v求x的一阶导数diff(x, v,n)：对v求x的n阶导数syms x ydiff(x3+3*x2+2*x+5)diff(sin(x3),6)diff(sin(x3),x,6)diff(sin(x3),v,6)%对v求x的6阶导数，结果为0diff(x*y+y2+sin(x)+cos(y),y)diff(x*y+y2+sin(x)+cos(y),y,3)（2）、jacobian函数的使用jacobian(f,v)：计算数量或向量f对向量v的jacobi矩阵，所得矩阵的第i行第j列的数是df(i)/dv(j)，当f为数量的时候，该命令返回的是f的梯度，若此时v也是数量，则jacobian(f,v)等价于diff(f,v)syms x y za=x2+x*y;sin(x)*cos(y)jacobian(a,x,y)3、符号积分int(S)：根据由findsym(S)命令返回的自变量v，求S的不定积分，其中S为符号矩阵或符号数量int(S,v)：求S对v的不定积分int(S,a,b)：求a到b的定积分int(S,v,a,b)：求a到b的定积分syms x x1 alpha u t;A=cos(x*t) sin(x*t);-sin(x*t) cos(x*t)int(1/(1+x2)int(sin(alpha*u),alpha)int(besselj(1,x),x)int(x1*log(1+x1),0,1)int(4*x*t,x,2,sin(t)int(exp(t) exp(alpha*t)int(A,t)符号积分变换1、Fourier变换及其逆变换（1）、Fourier变换F=fourier(f)：以x为默认独立变量，返回w的函数，若f是w的函数，则返回的F是t的函数F=fourier(f,v)：返回的F以v为自变量fourier(f,u,v)：返回的函数以v为自变量，f以u为自变量fourier(1/t)fourier(exp(-x2),x,t)fourier(exp(-t)*sym(Heaviside(t),v)fourier(diff(sym(F(x),x,w)（2）、Fourier反变换f=ifourier(F)：以w为默认独立变量，默认的返回函数是以x为自变量的函数，若F以x为变量，返回函数以t为自变量f=ifourier(F,u)：返回的函数f以u为自变量f=ifourier(F,v,u)：返回的函数f以u为自变量，F以v为自变量syms t u v w xifourier(w*exp(-3*w)*sym(Heaviside(w)ifourier(1/(1+w2),u)ifourier(v/(1+w2),v,u)ifourier(sym(fourier(f(x),x,w),w,x)2、Laplace变换及其逆变换（1）、Laplace变换L=laplace(F)：F以t为独立自变量，返回函数L以s为变量，若F以s为自变量，则L以t为自变量L=laplace(F,t)：返回函数以t为自变量L-laplace(F,w,z)：返回函数L以z为自变量，F以w为自变量syms a s t w xlaplace(t5)laplace(exp(a*s)laplace(sin(w*x),t)laplace(cos(w*x),w,t)laplace(xsym(3/2),t)laplace(diff(sym(F(t)（2）、Laplace反变换F=ilaplace(L)：L以s为独立自变量，返回函数以t为自变量，若L以t为自变量，返回函数以x为自变量F=ilaplace(L,x)：返回函数以x为自变量F=ilaplace(L,y,x)：返回函数以x为自变量，L以y为自变量syms s t w x yilaplace(1/(s-1)ilaplace(1/(t2-1)ilaplace(tsym(5/2),x)ilaplace(y/(y2+w2),y,x)ilaplace(sym(laplace(F(x),x,s),s,x)3、Z变换及其反变换（1）、Z变换F=ztrans(f)：返回函数以z为自变量，f以n为独立自变量，若f以z为自变量，返回函数以w为自变量F=ztrans(f,w)F=ztrans(f,k,w)syms k n w zztrans(2n)ztrans(sin(k*n),w)ztrans(cos(k*n),k,z)ztrans(cos(k*n),n,w)ztrans(sym(f(n+1)（2）、Z反变换f=iztrans(F)：F以z为独立自变量，f以n为自变量，若F以n为自变量，f以k为自变量f=iztrans(F,k)f=iztrans(F,w,k)syms x z kiztrans(z/(z-2)iztrans(exp(x/z),z,k)符号代数方程的求解1、符号线性方程组的求解X=linsolve(A,B)：求解AX=B的解a=rand(4)b=1;2;3;4linsolve(a,b)2、符号非线性方程组的求解F(X)=0X=fsolve(fun,X0)：以X0为初始矩阵来求解方程fun，fun接受输入并返回一个向量，使得F=fun(X)%求解方程组%3*x(1)2-x(2)2=0%3*x(1)*x(2)2-x(1)2-1=0建立myfun2.m文件function y=myfun2(x)y(1)=3*x(1)2-x(2)2;y(2)=3*x(1)*x(2)2-x(1)2-1;运行代码x=0.8 0.4x=fsolve(myfun2,x)3、一般符号代数方程组的求解solve(eqn1,eqn2,eqnN)solve(eqn1,eqn2,eqnN,var1,var2,varN)solve(eqn1,eqn2,eqnN,var1,var2,varN)eqns是一些具体方程的符号表达式或字符串，而vars是一些未知的符号变量或未知额的字符串solve(p*sin(x)=r)x y=solve(x2+x*y+y=3,x2-4*x+3=0)S=solve(x2*y2-2*x-1=0,x2-y2-1=0)%S是一个结构体u v=solve(a*u2+v2=0,u-v=1)%a被作为参数求解关于u和v的方程组S=solve(a*u2+v2=0,u-v=1,a,u)%v作为参数a u v=solve(a*u2+v2=0,u-v=1,a2-5*a+6)x y=solve(sin(x+y)-exp(x)*y=0,x2-y=2)%系统无法给出符号解，只给出数值解符号微分方程的求解dsolve(eqn1,eqn2,eqn3,)：求符号解，初始条件，边界条件也可以算作eqns，默认输出函数的自变量为t，D表示对x一阶微分，D2表示对x二阶微分，以此类推dsolve(Dx =