2012-2013学年江苏省四校联考高三（上）期中数学试卷(含解析).doc

2012-2013学年江苏省四校联考高三（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1（5分）已知i是虚数单位，复数，则|z|=考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母做复数的乘法运算，整理出最简结果，利用求模长的公式做出结果解答：解：复数=+，|z|=故答案为：点评：本题考查复数代数形式的运算和复数的模长，本题解题的关键是正确整理出复数的代数形式，再利用模长公式2（5分）若函数f（x）=+是偶函数，则实数a的值为2考点：函数奇偶性的判断专题：计算题分析：偶函数首先要看函数的定义域，再根据偶函数的性质f（x）=f（x），代入函数f（x）=+，可以求得a的值；解答：解：函数f（x）=+是偶函数，ax0，x+a220，2a2xa，此时要求2a2a首先定义域关于原点对称，2a2=a，a=2或1，若a=1，2a2=11=a，故a=1（舍去），a=2，当a=2时，f（x）=+，f（x）=+=f（x），f（x）是偶函数，a=2，故答案为2；点评：此题主要考查偶函数的性质，判断一个函数是否为偶函数，首先要判断定义域是否关于原点对称，再进行求解，本题是一道好题；3（5分）（2012盐城二模）已知集合P=1，m，若PQ，则整数m=0考点：集合关系中的参数取值问题专题：计算题分析：根据集合交集的定义“由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合叫做交集”结合空集的概念进行求解即可解答：解：根据由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合叫做A与B的交集，由于集合Q中只包含一个整数0，要使PQ，所以显然m=0故答案为：0点评：本题主要考查了交集及运算，属于考查对课本中基本概念的理解，是基础题4（5分）（2012盐城二模）已知向量的模为2，向量为单位向量，则向量与的夹角大小为考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题：计算题；平面向量及应用分析：设向量与的夹角为，可得=2cos，再根据，得2=2cos1=0，最后结合0，可得向量与的夹角的大小解答：解：设向量与的夹角为，=cos=12cos=2cos，=2=0，得2cos1=0，所以cos=，0，=故答案为：点评：本题给出单位向量与向量的差向量垂直于单位向量，求与的夹角大小，着重考查了平面向量的数量积运算和向量的夹角等知识，属于基础题5（5分）（2012盐城二模）若命题“xR，x2ax+a0”为真命题，则实数a的取值范围是0，4考点：全称命题专题：计算题分析：直接利用命题是真命题，推出a的范围即可解答：解：命题“xR，x2ax+a0”为真命题，所以=a24a0，所以0a4所以a的取值范围是0，4故答案为：0，4点评：本题考查命题的判断与应用，考查计算能力6（5分）已知三角形的一边长为5，所对角为60，则另两边长之和的取值范围是（5，10考点：基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用专题：计算题；解三角形分析：利用已知条件通过余弦定理以及基本不等式求解另两边长之和的取值范围即可解答：解：三角形的一边长为5，所对角为60，则令c=5，另两边长之和设为a+b，由余弦定理可知，c2=a2+b22abcosC所以25=a2+b2ab=（a+b）23ab，因为ab，所以25，所以a+b10三角形两边之和大于第三边，所以a+bc=5所以另两边长之和的取值范围是：（5，10故答案为：（5，10点评：本题考查余弦定理的应用，基本不等式的应用，考查计算能力转化思想的应用7（5分）（2010南通模拟）已知数列an为等差数列，若，则数列|an|的最小项是第 6项考点：等差数列的性质专题：计算题分析：利用等差数列的单调性，判明正负项的分界位置（5、6之间），再比较最靠近的0的两项a5、a6的绝对值的大小解答：解：0a5和a6异号，即a5和a6是正负项的分界位置数列|an|的最小项应是靠近0较近的那项，a5或a6，|a5|a6|数列|an|的最小项是第6项故答案为：6点评：本题主要考查了等差中项的性质即在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等并且等于首末两项之和；特别的，若项数为奇数，还等于中间项的2倍，8（5分）已知是第二象限角，且，则的值为考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系专题：三角函数的求值分析：由是第二象限角，及sin的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos的值，进而确定出tan的值，利用二倍角的正切函数公式化简，求出tan的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，把tan的值代入计算，即可求出值解答：解：是第二象限角，且sin=，cos=，tan=，tan=，即2tan23tan2=0，解得：tan=（不合题意，舍去）或tan=2，则tan（）=故答案为：点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键9（5分）已知函数y=f（x）在点（2，f（2）处的切线为由y=2x1，则函数g（x）=x2+f（x）在点（2，g（2）处的切线方程为6xy5=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题分析：根据函数y=f（x）在点（2，f（2）处的切线为由y=2x1，可确定函数g（x）=x2+f（x）的切点坐标与斜率，从而可求切线方程解答：解：由题意，f（2）=221=3，g（2）=4+3=7g（x）=2x+f（x），f（2）=2，g（2）=22+2=6函数g（x）=x2+f（x）在点（2，g（2）处的切线方程为y7=6（x2）即6xy5=0故答案为：6xy5=0点评：本题考查导数的几何意义，考查切线方程，确定切点坐标与斜率是关键10（5分）等差数列an中，已知a815，a913，则a12的取值范围是（，7考点：等差数列的通项公式专题：计算题分析：等差数列an中，由a815，a913，知，故，所以d2由a12=a9+3d，能求出a12的取值范围解答：解：等差数列an中，a815，a913，d2，d2a12=a9+3d13+3（2）=7a12的取值范围是（，7故答案为：（，7点评：本题考查等差数列的通项公式的性质和应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化11（5分）在锐角ABC中，若tanA=t+1，tanB=t1，则t的取值范围为t考点：同角三角函数基本关系的运用专题：计算题分析：题中条件：锐角ABC，所以要考虑三角形的三个角都为锐角，由于C=180AB，也要考虑角C为锐角的条件解答：解：C锐角，tanC0，C=180AB，0，得1tanAtanB0，解得t，又tanA=t+10，tanB=t10，故t，填：t，点评：本题主要考查三角函数的和角公式的应用，三角形形状的判定方法，每个三角形中有3个锐角，以看到二个锐角，不能肯定是什么三角形12（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y=x3+1上的一个动点，点P处的切线与两个坐标轴交于A，B两点，则AOB的面积的最小值为考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题；压轴题分析：根据题意设出点P的坐标，求出曲线方程的导函数，把点P的横坐标代入导函数求出的导函数值即为切线的斜率，根据切点和斜率表示出切线的方程，分别令x=0和y=0求出切线与两坐标轴的交点坐标，由交点坐标表示出AOB的面积S，利用基本不等式即可求出面积的最小值时P横坐标的值，把此时P横坐标的值代入S中即可求出S的最小值解答：解：根据题意设P的坐标为（t，t3+1），且0t1，求导得：y=3x2，故切线的斜率k=y|x=t=3t2，所以切线方程为：y（t3+1）=3t2（xt），令x=0，解得：y=2t3+1；令y=0，解得：x=，所以AOB的面积S=（2t3+1）=，设y=2t2+=2t2+3，当且仅当2t2=，即t3=，即t=取等号，把t=代入得：Smin=故答案为：点评：解本题的思路是设出切点P的坐标，求出曲线方程的导函数，把P的横坐标代入导函数中求出切线的斜率，由切点坐标和斜率写出切线方程，求出切线与两坐标轴的交点坐标，进而表示出三角形ABC的面积S，变形后利用基本不等式即可求出S最小时P横坐标的值，把此时P的横坐标代入S即可求出S的最小值要求学生掌握求导法则以及会利用基本不等式求函数的最小值13（5分）（2012江苏二模）已知等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，若，且是整数，则n的值为15考点：等差数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：在中，令n=1可得 a1=13b1 ，设等差数列an和bn的公差分别为d1 和d2，再分别令n=2，3，解得 b1=2d2，d1=7d2 ，a1=26d2化简为 是整数，由此可得n的值解答：解：由题意可得 =13，故 a1=13b1设等差数列an和bn的公差分别为d1 和d2，由 =，把 a1=13b1 代入化简可得 12b1=59d25d1 再由=11，把 a1=13b1 代入化简可得 2b1=11d2d1 解求得 b1=2d2，d1=7d2故有 a1=26d2 由于= 为整数，n=15，故答案为 15点评：此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键，属于中档题14（5分）若关于x的方程|ex3x|=kx有四个实数根，则实数k的取值范围为（0，3e）考点：根的存在性及根的个数判断专题：数形结合分析：作出函数的图象，根据函数y=|ex3x|的图象进行判断，再根据函数的图象求出满足条件的k值，即可得到满足条件的实数k的取值范围解答：解：函数y=|ex3x|的图象如下图所示：由图可知当0kk1时，函数y=|ex3x|的图象与y=kx的图象有四个交点当k=3e时，函数y=3xex与y=kx的图象相切，故k1=3e即实数k的取值范围为（0，3e）故答案为：（0，3e）点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数的判断，其中图象法是常用的办法之一，但关键是熟练掌握各种基本初等函数图象与性质二、解答题：本大题共10小题，共90分请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤15（14分）（2011东城区二模）已知，（）求cosA的值；（）求函数的值域考点：角的变换、收缩变换；三角函数的化简求值；两角和与差的余弦函数专题：计算题分析：（）先利用同角三角函数基本关系式求，注意对角的范围的判断，再利用两角差的余弦公式将cosA变换为，代入计算即可（）先将所求函数变换为复合函数f（x）=12sin2x+2sinx，再利用三角函数的有界性及配方法求此复合函数的值域即可解答：解：（）因为，且，所以，因为=所以 （）由（）可得所以=12sin2x+2sinx=，xR因为sinx1，1，所以，当时，f（x）取最大值；当sinx=1时，f（x）取最小值3所以函数f（x）的值域为点评：本题考察了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦公式，通过角变换求三角函数值的技巧，复合函数求值域的方法16（14分）设，（xR，mR）（）若与的夹角为钝角，求x的取值范围；（）解关于x的不等式考点：数量积表示两个向量的夹角；一元二次不等式的解法专题：平面向量及应用分析：（1）根据已知中向量与的坐标及与的夹角为钝角，根据向量数量积的定义，可得0，由此可构造不等式，但要注意对向量反向情况的排除；（2）根据利用平方法可得，由此构造不等式，对m分类讨论后，综合讨论结果，可得答案解答：解：（1），若与的夹角为钝角，则，解得；又当x=2时，与的夹角为，所以当与的夹角为钝角时，x的取值范围为（6分）（2）由知，又（x1）x（m1）0；（8分）当m2时，解集为x|m1x1；（10分）当m=2时，解集为空集；（12分）当m2时，解集为x|1xm1（14分）点评：本题考查的知识点是数量积，一元二次不等式的解法，其中（1）中易忽略当x=2时，与的夹角为，而错解为17（15分）（2008湖北模拟）随着机构改革开作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人（1402a420，且a为偶数），每人每年可创利b万元据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？考点：函数模型的选择与应用；函数的最值及其几何意义专题：函数的性质及应用分析：设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，y=（2ax）（b+0.01bx）0.4bx，配方求y的最大值解答：解：设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则（5分）依题意可得 ，即函数的定义域为（0，又 1402a420，70a210（7分）（1）当，即 70a140时，x=a70，y 取到最大值；（10分）（2）当，即 140a210时，则x=时，函数y取得最大值（13分）答：当70a140，公司应裁员为a70，经济效益取到最大值，当140a210，公司应裁员为，经济效益取到最大值（15分）点评：本题主要考查函数的最值及其几何意义，二次函数的性质的应用，注意分类讨论，并联系二次函数图象求函数最大值，属于中档题18（15分）已知函数f（x）=xlnx（I）求函数f（x）的单调递减区间；（II）若f（x）x2+ax6在（0，+）上恒成立，求实数a的取值范围；（III）过点A（e2，0）作函数y=f（x）图象的切线，求切线方程考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程专题：综合题；压轴题分析：（）由f（x）=lnx+1，知f（x）0得lnx1，由此能求出函数f（x）的单调递减区间（）由f（x）x2+ax6，得，设，则，由此能求出g（x）最小值g（2）=5+ln2，从而能求出实数a的取值范围（）设切点T（x0，y0）则kAT=f（x0），故，由此能求出切线方程解答：解：（）f（x）=lnx+1f（x）0得lnx1 （2分）函数f（x）的单调递减区间是； （4分）（）f（x）x2+ax6即设，则 （7分）当x（0，2）时g（x）0，函数g（x）单调递减；当x（2，+）时g（x）0，函数g（x）单调递增；g（x）最小值g（2）=5+ln2，实数a的取值范围是（，5+ln2； （10分）（）设切点T（x0，y0）则kAT=f（x0），即e2x0+lnx0+1=0设h（x）=e2x+lnx+1，当x0时h（x）0，h（x）是单调递增函数 （13分）h（x）=0最多只有一个根，又，由f（x0）=1得切线方程是 （16分）点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的灵活运用，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识19（16分）（2012江西模拟）已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列（）求数列an的通项公式；（）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的前n项和Tn考点：等差数列与等比数列的综合专题：计算题分析：（I）将已知等式用等差数列an的首项、公差表示，列出方程组，求出首项、公差；利用等差数列的通项公式求出数列an的通项公式（II）利用等比数列的通项公式求出，进一步求出bn，根据数列bn通项的特点，选择错位相减法求出数列bn的前n项和Tn解答：解：（）依题意得解得，an=a1+（n1）d=3+2（n1）=2n+1，即an=2n+1（），bn=an3n1=（2n+1）3n1Tn=3+53+732+（2n+1）3n13Tn=33+532+733+（2n1）3n1+（2n+1）3n2Tn=3+23+232+23n1（2n+1）3nTn=n3n点评：解决等差、等比两个特殊数列的问题，一般将已知条件用基本量表示，列出方程组解决；求数列的前n项和，一般先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法20（16分）已知函数f（x）=ex（x2+ax+1）（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线与x轴平行，求a的值；（2）求函数f（x）的极值考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值专题：计算题分析：（1）先由所给函数的表达式，求导数f（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由平行直线的斜率相等方程求a的值即可；（2）对参数a进行分类，先研究f（x）的单调性，利用导数求解f（x）在R上的最小值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最小值即得解答：解：f（x）=exx2+（a+2）x+a+1（2分）（1）f（2）=e24+2（a+2）+a+1=0，解得a=3（4分）（2）令f（x）=0，得x1=1，x2=1a当a=0时，无极值（7分）当a0，11a，f（x）在（，1a），（1，+）上递增，（1a，1）上递减极大值为f（1a）=e1a（a+2），极小值（10分）当a0时，11a，f（x）在（，1），（1a，+）上递增，（1，a1）上递减极大值为，极小值f（1a）=e1a（a+2）（13分）点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基础知识，考查运算求解能力21（10分）已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数考点：反证法与放缩法专题：反证法分析：本题利反证法证明：先假设a不是偶数，即a是奇数设a=2n+1（nZ），平方得a2=4n2+4n+1因4（n2+n）是偶数，导出矛盾由上述矛盾可知，a一定是偶数解答：证明：（反证法）假设a不是偶数，即a是奇数设a=2n+1（nZ），则a2=4n2+4n+1因4（n2+n）是偶数，4n2+4n+1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾由上述矛盾可知，a一定是偶数点评：此题考查了反证法的定义，反证法在数学中经常运用，当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反“22（10分）已知曲线在点A处的切线与曲线在点B处的切线相同，求的值考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式专题：导数的概念及应用分析：分别求出两函数的导函数，根据导函数的取值范围可求出切线的斜率，从而求出切线方程，然后根据曲线在点B处的切线相同，可求出的值解答：解：k切=y=，当且仅当x+2=，即x+2=1，x=1时，取等号（2分）又k切=y=2cos（2x+）2，由题意，k切=2，此时切点A（1，1），切线l：y=2x+1（5分）由2cos（2x+）=2得cos（2x+）=1，sin（2x+）=0，从而B（，0）（7分）sin（1+）=0，1+=k，kZ，