数值计算-算法的稳定研究.doc

误差传播与算法稳定性试验报告数值计算方法专业班级 软件08-1 姓 名 熊文成 学 号 08083117 时 间 2010年10月20日星期三 一 实验目的体会稳定性在选择算法中的地位，误差扩张的算法是不稳定的，是我们所不期望的；误差衰减的算法是稳定的，是我们努力寻求的，这是贯穿本课程的目标。二 问题的提出考虑一个简单的由积分定义的序列 显然 当时，。当时，利用部分积分易得 另一方面，有三 试验内容 依次用一下两种迭代方法计算指定范围内的序列值。 ()、， ()、四 主程序流程五 源程序#include #include /根据初始值origin按照递推公式I(n)=1-nI(n-1)/计算各项的值,并输出/1/e=0.3678794412void funcOne(double origin)int i,n=0;/迭代次数,及下标号char oper;/操作符号double value;value=origin;while (1)for (i=0;i=-10e6&value=10e6)printf(tI(%d)=%.7f,n+1,value);elseprintf(tI(%d)=%e,n,value); /这个数太大就用科学记数n+;/次数加一value=1-n*value;if (n%2=0)printf(n); /每两行一输出printf(tq停止迭代或按其他任意键继续:);oper=getch();printf(n);if (oper=q|oper=Q)break; /如果放弃了,则退出迭代return; /根据参数n确定初值I(n)=0/计算n-1、n-2.0的值void funcTwo(int n)int i; /循环变量char oper; /操作符double value=0; /初始值为0while (1)for (i=1;i1)value=(1-value)/n;else return; /如果n为0可以直接返回n-; /个数减一printf(tq停止迭代或按其他任意键继续:);oper=getch();printf(n);if (oper=q|oper=Q)break;/如果放弃了,则退出迭代/测试第一个迭代函数void testFunOne()printf(nt*初值是5位有效数字*n);funcOne(0.36788);printf(nt*初值是6位有效数字*n);funcOne(0.367879);printf(nt*初值是7位有效数字*n);funcOne(0.3678794);/测试第二个迭代函数void testFunTwo()int originN; /N的初始值printf(nt输入N的值(I(N)=0):);scanf(%d,&originN);if(originN99)funcTwo(99); /如果N的值太小,直接用99代替else funcTwo(originN);void main()char sel; /选项while(1)printf(nt选择迭代公式:);printf(nt1.迭代公式:I(n)=1-n*I(n-1);printf(nt2.迭代公式:I(n-1)=(1-I(n)/nnt);sel=getch();if (sel=1)testFunOne();else testFunTwo();printf(nt按任一键继续:);getch();六 程序运行结果1、第一种迭代方式（1）、五位有效数字：程序运行，选择要测试的函数，选择第一个：程序在迭代的过程中每次输出6项的值，如上图所示，初值I(1)=0.36788，可以看到，到此就已经存在误差较大的值，因为我们研究的积分序列一定满足0I(n)1的，下面继续迭代，给出前30项的值，如下图所示。 从以上的各项中更可以看出，I(n)的迭代值已经出现严重的扭曲，简而言之，由于初值I(1)的误差，使得按它计算的其他项的误差是放大的，下面给出初值是六位的迭代过程。（2）、六位有效数字：尽管6位有效数字比5位的精确，但是计算的各项仍然出现严重的扭曲，出现误差放大。下面给出有效数字是7位的结果。（3）、七位有效数字：由此可以得出和六位有效数字时一样的结论，虽然7位有效数字较5位或6位的要精确，但是结果中仍然有误差放大现象，结果出现严重失真。（4）、迭代方式一的结论：综合上面的（1）、（2）、（3）三点可知方式一的递推形式是不稳定的。2、第二种迭代方式运行结果如下图所示，给出N的值，从N开始计算N-1，N-2，1各项的值，每次计算输出10项，按退出输出。这里我输入N=200下面截取其中的一部分结果，130-101项的。70-51项的值：最后给出20-1的值：可以看出计算I(1)的结果与精确值=0.3678794相当，为了保证结论的可靠性，可以输入其他的N值来估计I(1)的值。总之，算法二的递推形式是稳定的。七 结论与分析（1）、分别用算法()，()计算，在计算中分别采用5位，6位，7位有效数字，结果已经在上面的程序结果中给出。有结果我们知道算法()是不稳定的算法，而算法()是稳定的。（2）、比较两种算法的优劣，从理论上推导结果。对算法()中：的计算误差为，由递推计算的误差是；算法()中的的计算误差为，有向前递推计算的误差为，如果在上述两种算法中都假定后面的计算不再引入其他的误差，下面给出与的关系和与的关系。 设的准确值为，则有 将上面两式想减可得： 也即， 从而， 由此结论可知，当初始值产生的误差会经过迭代之后不断的放大，最终估计的值将失真，即误差对后面的影响是扩张的。因此算法()是不稳定的算法。 对算法()有，设的准确值为，则有，将以上两式相减可得，从而可知，有这个公司可以看出，当给出初值时，由于存在误差，当向前递推时，误差会逐级缩小，而且当N较大是往后的误差将趋向于0，误差不会放大，误差对后面的影响是衰减的，故此算法是稳定的。八 收获与感想这次试验通过一个积分式所对应的两种递推计算方法，从具体的数据出发，深刻的