无忧出题立体几何.doc

下列四个结论：两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行。两条直线没有公共点，则这两条直线平行。两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。其中正确的个数为（ ）A、0 B、1 C、2 D、3已知相异直线a，b和不重合平面，则ab的一个充分条件是( ) Aa, b Ba，b， Ca，b， D，a ，b 是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面平行的是 ( )（A）是平面内两条直线，且（B）内不共线的三点到的距离相等（C）都垂直于平面（D） 是两条异面直线，且平面/平面的一个充分条件是A.存在一条直线 B.存在一条直线 C.存在两条平行直线 D.存在两条异面直线对于两条直线a,b和平面，若的 （ ） A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件对于两条直线和平面，若，则“”是“”的 （ ） A充分但不必要条件 B必要但不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件已知：m、n是两条不同的直线、是两个不同的平面，其中 ，命题P：若，则mn的原命题、逆命题、否命题和逆否命题的个数是 （ ） A0个 B1个 C2个 D4个设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点， （I）设是的中点，证明：平面； （II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面（II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求证：；（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（III）求二面角的大小。解析:解法一：（）因为平面平面,平面，平面平面，所以平面所以.因为为等腰直角三角形， ，所以又因为，所以，即,所以平面。 4分（）存在点,当为线段AE的中点时，PM平面 取BE的中点N，连接AN,MN，则MNPC 所以PMNC为平行四边形，所以PMCN 因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内， 所以PM平面BCE 8分 （）由EAAB,平面ABEF平面ABCD，易知，EA平面ABCD作FGAB,交BA的延长线于G，则FGEA。从而，FG平面ABCD作GHBD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BDFH因此，AEF为二面角F-BD-A的平面角因为FA=FE, AEF=45,所以AFE=90，FAG=45.设AB=1,则AE=1,AF=. FG=AFsinFAG=在RtFGH中，GBH=45,BG=AB+AG=1+=,GH=BGsinGBH=在RtFGH中，tanFHG= = 故二面角F-BD-A的大小为arctan. 12分解法二:()因为ABE为等腰直角三角形,AB=AE,所以AEAB.又因为平面ABEF平面ABCD,AE平面ABEF,平面ABEF平面ABCD=AB,所以AE平面ABCD.所以AEAD.因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).因为FA=FE, AEF = 45,所以AFE= 90.从而，.所以,.,.所以EFBE, EFBC.因为BE平面BCE,BCBE=B ,所以EF平面BCE.() M（0，0，）.P（1, ,0）.从而=（，）.于是所以PMFE，又EF平面BCE，直线PM不在平面BCE内，故PM平面BCE. 8分() 设平面BDF的一个法向量为，并设=（x，y，z）=(1，1，0)， 即去y=1，则x=1，z=3，从=（0，0，3）取平面ABD的一个法向量为=（0，0，1）故二面角F-BD-A的大小为.如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。 （）求证：ACSD； （）若SD平面PAC，求二面角P-AC-D的大小（）在（）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E， 使得BE平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。解析：解法一： （）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，所以,得. ()设正方形边长，则。又，所以, 连，由（）知,所以, 且,所以是二面角的平面角。由,知,所以,即二面角的大小为。 （）在棱SC上存在一点E，使由（）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.解法二： （）；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。 设底面边长为，则高。 于是 故 从而 ()由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为 （）在棱上存在一点使. 由（）知是平面的一个法向量， 且 设 则 而 即当时， 而不在平面内，故如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。（1） 证明：直线EE/平面FCC；（2） 求二面角B-FC-C的余弦值。 解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB/CD，所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1/A1D，又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1/A1D，所以CF1/EE1，又因为平面FCC，平面FCC，所以直线EE/平面FCC.（2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,BCF为正三角形,取CF的中点O,则OBCF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1平面ABCD,所以CC1BO,所以OB平面CC1F,过O在平面CC1F内作OPC1F,垂足为P,连接BP,则OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在BCF为正三角形中,在RtCC1F中, OPFCC1F, 在RtOPF中,所以二面角B-FC-C的余弦值为.解法二:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,BCF为正三角形, 因为ABCD为等腰梯形,所以BAC=ABC=60,取AF的中点M,连接DM,则DMAB,所以DMCD,以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,则D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,C1（0,2,2）,E（,0）,E1（,-1,1）,所以,设平面CC1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE/平面FCC. （2）,设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则, 所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为. 如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。求证：（1）EF平面ABC； （2）平面平面.析：本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。满分14分。如图，矩形中，为上的点，且，（）求证：平面；（）求证：平面；（）求三棱锥的体积解析：（）证明：平面， 平面，则 (2分)又平面，则平面 (4分)（）证明：依题意可知：是中点平面，则，而是中点 (6分) 在中，平面 (8分)（）解法一：平面，而平面 平面，平面 (分) 是中点，是中点且 平面， (10分) 中， (11分) (12分)解法二：如图，分别是三棱锥的棱的中点，过三点的平面交于。()求证：四边形是平行四边形；()已知，试在棱上找一点，使平面平面，并说明理由。解析：() 分别是的中点，且 (1分)平面,平面平面 (2分)平面平面，平面 (4分)是的中点，是的中点 (5分)四边形是平行四边形 (6 分)()当时，平面平面 (8分)在上取一点，连接当时， 即当时， (9分)，平面 (10分)平面 (11分)平面平面平面如图，垂直于矩形所在的平面，、分别是、的中点 （I）求证：平面； （）求证：平面平面； （）求二面角的大小；解析：解法一：（I）设为的中点，连结， 为的中点，为的中点， （） （）过点向作垂线，垂足为，连结， 解法二：分别以所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，（I） （）设平面的一个法向量为 （）平面的一个法向量为 如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点，（1）求证：EF平面PAD;（2）求证：EFCD;（3）当PA=AB=AD时，求二面角FABC的度数。解析：证明：（1）取PO中点H，连FH，AH则FH平行且等于CD，又CD平行且等于AB，E为AB中点，FH平行且等于AEAEFH为平行四边形，从而EFAH，又EF平面PAD，AH平面PAD，所以EF平面PAD (2) PA平面ABCD，PACD,又CDAD