凸函数的几个等价定义

本科生毕业论文题 目凸函数的几个等价定义 系 别 班 级 姓 名 学 号 答辩时间 年 月 学院目 录摘要41凸函数的定义62凸函数的等价定义和性质62.1凸函数的等价定义62.2凸函数的性质73凸函数等价定义和性质的应用举例103.1一些集合上的凸函数举例103.2运用凸函数等价定义证明不等式11总结16参考文献17谢辞18凸函数的几个等价定义摘 要 凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen在1905年的著述中。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。为了理论上的突破，加强它们在实践中的应用，产生了广义凸函数。本文主要归纳了凸函数的几个常见定义和性质以及它们在不等式证明等几个方面的应用。关键词：凸函数；等价性；不等式Several equivalent of convex function definedAbstractConvex function is a kind of important function, it is the concept of the earliest Jensen in 1905 in the works. It in pure mathematics and applied mathematics of many fields has wide application, it has become the mathematical programming, the game theory and mathematical economics, variational learn and optimal control subjects such as theoretical basis and powerful tools. In order to theoretical breakthrough, strengthen them in practical application, produced the generalized convex function. This paper mainly summarizes the convex function of several common definition and characteristics and their inequation and so on several aspects in the application. Key wards Convex functions; Equivalence; Inequality. 凸函数是一种性质特殊的函数，在许多数学分支中，经常可以看到有关的应用，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中。本文从凸函数的定义出发,先是总结和部分证明了凸函数各种等价定义，归纳了凸函数的相关性质；其次，总结了凸函数的一些应用。1 凸函数的定义 定义1 设为凸集， 如果对于中任意两点与，以及任一实数，恒有 则称是凸集上的严格凸函数。注：若是严格凸函数，则称是严格凹函数，凹函数也可由上述定义的反向不等式来定义。下图中的和分别是一元凸函数和二元凸函数的直观形象,2 凸函数的等价定义和性质函数的凸性与函数的连续性、函数的导数之间存在着密切的联系，为叙述方便起见，下面只限于讨论一元凸函数的性质。2.1 凸函数的等价定义 定义2 设是定义在区间上的函数，若对上的任意两点,恒有则称为上的凸函数。 定义3 若在定义上成立不等式（） 则称是上严格的凸函数。定义4 下面几个定义等价：（1）为区间上的凸函数；（2）对令，则 于是有 ；（3）对 ，有 ；（4）对，有 ；（5）对，使得。 定义5 如果在上一阶可导，则它是凸函数的充分必要条件是：在上单调递增， 的图形在某任一点的切线的上方。 定义6如果在上二阶可导，则它是凸函数的充分必要条件是：。 定义7 可微函数：是凸函数的充要条件是：作为在中任一直线上的一元函数满足单调增。 定义8 设是非空开凸集，是定义在上的二次可微函数，则 是凸函数的充分必要条件是：在的每一点Hesse矩阵半正定,其中 为Hesse矩阵。 定义9 为上的连续凸函数的充分必要条件是：为凸集（水平集）。 定义10 在上是凸函数的充分必要条件是：对任意定义于上，值域的可积函数，有，只要右边有意义。2.2 凸函数的性质 性质1 设在区间上为凸函数，对任意，则:时，在区间上为凸函数;时，在区间上为凹函数。 性质2 设，是间上的凸函数，则其和也是上的凸函数。 性质3 若设，是间上的凸函数，则为上的凸函数。 性质4 设是单调递增的凸函数，是凸函数，则复合函数也是凸函数。 性质5 设为区间上的凹函数，则为区间上的凸函数，反之不真。 性质6 若在区间上为凸函数，对任意，则为的内点.则单侧导数皆存在，且。 性质7 为区间上的凸函数，对任意对任意有 。 性质8 设是区间上的凸函数，则在的任一闭子区间上有界 ， ，取则 ( 此处)再令 ， 存在关于的对称点，由的凸性得到 因此， 。 性质9 设是区间上的凸函数，则在的任一闭子区间上满足Lipschitz条件。3凸函数等价定义的应用举例3.1一些集合上的凸函数 凸函数是建立在凸集上的一类函数，以下是相应集合上的凸函数的举例：1.实数域R上的二次函数： ；2.Euclid空间Rn上的范数函数：,其中 ，特别 是Rn上的凸函数。3.Banach空间中凸集S上的距离函数：。4.线形拓扑空间X中凸集S上的Minkowski函数（泛函），。5.线形空间V上的仿射函数： 其中。6.线形空间V中凸集S上的指示函数： 。3.2 运用凸函数等价定义证明不等式3.2.1.Jensen不等式：设在上是凸函数，,，(1)设,有(2)设,有其中。证明 ： (1)因为,所以为凹函数,于是即又因为凸函数,于是,即亦即(2)当时, ,于是是凸函数.在詹森不等式中令,有 于是得到再对上面不等式两边开次方，便证得。3.2.2 闵可夫斯基(Minkowski)不等式:即 其中。证明:当时,显然成立。 当时,考虑由于为凸函数，由凸函数定义得:则: 这样两边取次根的证。3.2.3 霍尔德(Holder)不等式：设，,则且仅当与成正比例时等号成立。证明：取由，则为凸函数又,由Jensen不等式，令 得 即 令有于是有令，则有当与成正比例，即上式左边 令时得Cauchy不等式：。3.2.4 在初等不等式证明中的应用在初等数学中，调和平均值不大于几何平均值，几何平均值不大于算术平均值，算术平均值不大于平方平均值，而证明用到数学归纳法.其实，这些不等式都可在凸函数框架下得到统一证明。例1：设为个正数，证明 。证明：对原式取对数，则 注意到 只须证 即证 为此，设，上式可表示为 ，由于 ，是凸函数，故而命题成立。例2、设 , , , 则 。证明：原式变形为 ， 取对数又可变形为 ,注意到 ， ，上式又可变形为 .令，由的凸性即证。总结：本文对凸函数这一概念作了不同形式的定义,以凸函数几种定义的等价性给以证明,并给出凸函数的几个简单性质，探讨了几种凸函数的判定方法，并给出有关凸函数的简单应用：应用凸函数的概念与性质来证明几个重要且常用的不等式及凸函数在证明一般不等式中的应用,特别是在不等式的证明中，运用它解题显得巧妙、简练.利用凸函数的定义、性质及判定定理证明不等式，关键是寻找合适的凸函数，若不能直接找出，则可以对不等式进行适当的变形，从而达到证明不等式的目的。参考文献：1 同济大学应用数学系微积分M.北京：高等教育出版社，2001。2 徐利治，王兴华数学分析的方法及例题选讲M. 北京：高等教育出版社，1984.3 匡继昌常用不等式M济南：山东科学技术出版社，2004。4 菲赫金哥尔茨格马数学分析原理M北京：人民教育出版社，1988。5 裴礼文数学分析中的典型问题与方法M北京：高等教育出版社，1993。6 刘玉琏.数学分析讲义（第三版）M.北京:高等教育出版社,2004。7 刘三阳凸函数的新发展J西安电子科技大学学报（69期）， 1990。8刘玉琏数学分析讲义M. 北京：高等教育出版社1970:250-257.271，272。9林贤坤凸函数的性质J广西民族学院学报(自然科学版）.2000，6(4):250-253。10Chen D R ，You XMinimax optimal rates of convergence for multicategory classficationsJ Acta Mathematica Sinica，2007 ，27（8） ：1119-1126。11Yuan P Zh ,Chen H BTwo inequalities for convex functionsJ Acta Mathematica Sinica ，2004 ，21（1）：193-196。 谢 辞本文从命题到完成李盈科老师都一直在耐心的辅导着我，不惜花费很多时间来给我讲解，帮助我解决一些疑难问题，并指给了我