2015年福建省高一数学竞赛试题以及参考答案

2015年福建省高一数学竞赛（考试时间：5月10日上午8：3011：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1.集合的子集有（ ）A4个 B8个 C16个 D32个2若直线与直线：关于直线对称，则与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A1 B C D3给出下列四个判断：（1）若，为异面直线，则过空间任意一点，总可以找到直线与，都相交。（2）对平面，和直线，若，则。（3）对平面，和直线，若，则。（4）对直线，和平面，若，且过平面内一点，则。其中正确的判断有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个4如图，已知正方体，为中点，则二面角的正切值为（ ）A1 B C D5已知为等腰直角三角形，为中点，动点满足条件：，则线段长的最小值为（ ）A B2 C D46记，则，的大小关系为（ ）A B C D（必要时，可以利用函数在上为增函数，在上为减函数）二、填空题（每小题6分，共36分）7已知为奇函数，为偶函数，且，则 。8已知直线：的倾斜角为，若，则的取值范围为 。9如图，在三棱锥中，为等边三角形，则与平面所成角的正弦值为 。10函数的最小值为 。11已知函数（，且）在区间上的最小值为，则在区间上的最大值为 。12若实数，满足条件：，则的最小值为 。三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）13在中，已知点，且它的内切圆的方程为，求点的坐标。14已知（，），且对任意实数，恒成立。（1）求证：；（2）若当时，不等式对满足条件的，恒成立，求的最小值。15如图，、分别是的中线和高线，、是外接圆的切线，点是与圆的交点。（1）求证：；（2）求证：平分。16已知正整数，（）为的三边长，且，求的最小值。其中表示的小数部分，即（表示不超过的最大整数）。17已知集合。集合是的子集，且在的任意三个元素中，总可以找到两个元素和，使得是的整数倍。求的最大值。（其中表示集合的元素的个数）.2015年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月10日上午8：3011：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1.集合的子集有（ ）A4个 B8个 C16个 D32个【答案】 C 【解答】由，知，结合，得。 的子集有个。2若直线与直线：关于直线对称，则与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A1 B C D【答案】 D 【解答】在直线：取点，则关于直线的对称点在直线上。又直线与直线的交点在直线。 过和两点，其方程为。 与坐标轴交于和两点，与坐标轴围成的三角形的面积为。3给出下列四个判断：（1）若，为异面直线，则过空间任意一点，总可以找到直线与，都相交。（2）对平面，和直线，若，则。（3）对平面，和直线，若，则。（4）对直线，和平面，若，且过平面内一点，则。其中正确的判断有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个【答案】 B 【解答】（3）、（4）正确；（1）、（2）不正确。对于（1），设，过和的平面为，则当点在平面内，且不在直线上时，找不到直线同时与，都相交。4如图，已知正方体，为中点，则二面角的正切值为（ ）A1 B C D第4题 图【答案】 D 【解答】如图，作于，作于，连结。由为正方体，知，。又。因此，。 为面角的平面角。设正方体棱长为，则，。第4题答题图图 。5已知为等腰直角三角形，为中点，动点满足条件：，则线段长的最小值为（ ）A B2 C D4【答案】 B 【解答】以所在直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系。则、。设，由，知。 ，即，化简，得。 。 时，有最小值2。此时，。6记，则，的大小关系为（ ）A B C D（必要时，可以利用函数在上为增函数，在上为减函数）【答案】 A 【解答】，。设，由在上为增函数，在上为减函数，得，于是。 ，即，于是，。又显然，。于是，。二、填空题（每小题6分，共36分）7已知为奇函数，为偶函数，且，则 。【答案】 【解答】依题意，有 ，。由为奇函数，为偶函数，得。 ，得，。8已知直线：的倾斜角为，若，则的取值范围为 。【答案】 【解答】当时，；当时，解得；当时，解得。 的取值范围为。9如图，在三棱锥中，为等边三角形，则与平面所成角的正弦值为 。第9题 图【答案】 【解答】如图，作于，则就是与平面所成的角。 ， 。设，则。又，。第9题答题图 ，。或求出外接圆半径后，再求解。10函数的最小值为 。【答案】 【解答】 由，知，或。 的定义域为。 和在上都是减函数，在上都是增函数。 在上是减函数，在上是增函数。 的最小值是与中较小者。 ，。 的最小值是。11已知函数（，且）在区间上的最小值为，则在区间上的最大值为 。【答案】 10【解答】设，则在上为增函数。时，在上为增函数。 ，。时，在上为增函数。 ，。12若实数，满足条件：，则的最小值为 。【答案】 【解答】由条件知，因此，。由对称性，不妨设，则。设，代入，消并整理，得。 由的判别式，得或。由知，。又时，化为，得，此时，符合。 的最小值为。因此，的最小值为。三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）13在中，已知点，且它的内切圆的方程为，求点的坐标。【答案】易知直线于圆相切，直线、的斜率存在。设直线的方程为，即。由直线与圆相切，知，解得。 直线的方程为。 8分设直线的方程为，即。由直线与圆相切，知，解得。 直线的方程为。 12分由，解得。 点的坐标为。 16分14已知（，），且对任意实数，恒成立。（1）求证：；（2）若当时，不等式对满足条件的，恒成立，求的最小值。【答案】（1） 对任意实数，恒成立， 对任意实数，即恒成立。 ，即。 4分 ，。 8分（2）由以及（1）知，。 恒成立，等价于恒成立。 12分设，则。由，知的取值范围为。 ，的最小值为。 16分15如图，、分别是的中线和高线，、是外接圆的切线，点是与圆的交点。（1）求证：；（2）求证：平分。【答案】（1）由为圆切线，知。 、是圆的切线，为中点， 、三点共线，且。第15题 图 ，。 。 4分 ，为中点， ，。 。于是，。又 。第15题答题图 。 8分（2）延长交圆于点，连结，。由，知. ，。 12分又为中点，。 。 ，。 平分。 16分（2）或解：连结、。由，知。又由切割线定理知，第15题答题图 。 、四点共圆。 12分 。又于，因此，。 平分。 16分16已知正整数，（）为的三边长，且，求的最小值。其中表示的小数部分，即（表示不超过的最大整数）。【答案】由，知（即，被15除的余数相同。） 4分 ，。由2与15互质知， 8分经验算，可知满足的最小正整数。 ，都是4的倍数。 12分设，（，为正整数，且）。 ，构成三角形三边长， ，。 。经验证，5，可以为三角形的三边长。 的最小值为27。此时，。 16分17已知集合。集合是的子集，且在的任意三个元素中，总可以找到两个元素和，使得是的整数倍。求的最大值。（其中