太阳影子定位

太阳影子定位摘要太阳影子定位技术就是通过分析物体的太阳影子长度变化，来确定物体所在的时间和地理位置。本文通过分析有关太阳影子各因素之间的关系，采用几何关系和MATLAB编程等方法，对所给问题分别给出了数学模型及处理方案。针对问题一，确立影长变化模型。首先以经度、纬度、日期、时间、杆长为参数分析影长的变化规律，通过中间变量太阳高度角、赤纬角、时角确立影长变化模型。其次利用影长变化模型，运用MATLAB进行编程，求解出天安门在9:00-15:00影长变化曲线类似一条凹抛物线，其中最短影长出现时刻为多少分，影长为 多少m。一、 问题重述1.1问题背景如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。1.2问题提出问题一：建立影子长度变化与各个参数关系的数学模型，并应用所建模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。问题二：根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点，据此确定所给影子顶点坐标数据的若干个可能的地点。问题三：在前一问的基础上进一步确定影子顶点坐标与日期的变化关系，建立模型并确定所给影子顶点坐标数据的若干个可能的地点与日期。二、 问题分析这属于竿影日照数学问题，把竿顶影子端点坐标移动轨迹，2.1问题一的分析针对问题一首先为了建立影子长度变化的数学模型，应先确定影响影子长度变化的因素，拟选取直杆所在经度、纬度、日期、时刻及杆长为参数建立数学模型。由于题设中未直接给出关于影长与五个参数的数据，所以拟通过中间量描述影长与上述五个参数之间的关系。查阅相关资料得到可以太阳高度角、太阳赤纬角、太阳时角及太阳方位角四个中间参量作为转换分析中间变量，再根据四个中间变量得到影长与 5 个参数的函数关系式，即影长长度变化的数学模型。最后将天安门广场的 5 个参数带入影长变化模型，可得到杆影的变化曲线，分析影子长度关于各个参数的变化规律。2.2问题二的分析针对问题二以直杆的太阳影子顶点为坐标数据建立数学模型，并应用于附件 1 的影子顶点坐标数据求解直杆位置。可视为已知影长坐标、日期和时刻，求影长所在的地点的问题。首先应根据影长坐标计算实际太阳影长，本文拟将附件 1 中的影长、时刻及日期代入问题一中的影长变化函数中，可得到含有 21 个方程的方程组。其次，该问题是一个非线性规划求解最小值问题，根据最小二乘法的思路，本文可建立影长差值平方和最小为单目标的最优化模型对附件1进行求解，其中约束条件可考虑经纬度的范围。最后通过穷举搜索，得到直杆所在的地点。2.3问题三的分析三、 模型假设1 本模型对应于以24h为周期的时间标尺；2 假设地球为一个球体；3 假设太阳运行的方位角严格保持正向增加或负向减小的变化趋势，且连续变化，不存在跳跃；4 忽略海拔、天气、大气折射等因素对测量和计算造成的影响；5 假设阳光照射到地球上时为平行光；6 假设同一天之内不考虑直射点的纬度变化。四、 名词定义与符号说明4.1名词定义1 太阳高度角：是指某地太阳光线与通过该地和地心相连的地表切线的夹角；2 太阳方位角：是指太阳光线在地平面上的投影与当地经线的夹角；3 赤纬角：是指地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角；4 太阳时角：日面中心的时角，即从观测点天球子午圈沿天赤道量至太阳所在时圈的角距离。4.2符号说明符号解释单位 太阳高度角度 赤纬角度 太阳时角度 太阳方位角度 真太阳时小时 平太阳时小时 纬度度 经度度 杆长米影长米 理论影长与实际影长差值米五、 模型的建立与求解5.1问题一的求解5.1.1模型准备太阳高度角h：太阳光的入射方向和地平面之间的夹角。 （1-1）太阳赤纬角：地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角。（n为日期序号）（1-2）太阳时角：从观测点天球子午圈沿天赤道量至太阳所在时圈的角距离。 （1-3）其中T:真太阳时，太阳连续两次经过上中天的时间间隔，即当地时间。t：平太阳时，平时参考的国家地区报时时间，如北京时间。真太阳时是以当地太阳位于正南向的瞬时为正午。由于太阳与地球之间的距离和相对位置随时间在变化，以及地球赤道与其绕太阳运行的轨道的处平面的不一致，因而真太阳时与钟表指示的时间（平太阳时）之间总会有所差异，它们的差值即为时差。最大时差可达16min。一年中只有4次时差为零。计算太阳位置时应采用真太阳时。太阳方位角：太阳光线在地平面上的投影与当地经线的夹角，以目标物正北方向为0. （1-4）5.1.2模型建立依据题意，在竿长已知的情况下，若已知太阳高度角，根据三角关系即可得到影子长度。根据竿影日照原理，可以得到竿长、影长以及太阳高度角的关系式 （1-5）由式1-1可知，要求太阳高度角，首先需求得太阳赤纬角和太阳时角，因此，通过联立公式1-1、1-2与1-3，可得太阳高度角的方程： （1-6）进而可求得tanh的值，根据式1-5可得影长：根据以上条件，可得数学模型为： 5.1.3模型检验与求解 5.2问题二的求解问题二可视为已知影长坐标、日期和时刻，求影长所在的地点的问题。为了计算太阳影长，可先假设所在地的经纬度坐标，并连同附件1中的日期和时刻代入问题一中的影长变化函数，得到理论影长 ；其次，建立非线性优化模型对附件1进行求解，其中约束条件可考虑经纬度的范围；最后通过穷举搜索，得到直杆所在的地点。 5.2.1确立目标函数应用最小二乘原理，目标函数应保证各组理论影长与实际影长之差的平方和最小： 5.2.2确定约束条件规定西经为负，东经为正，则经度的范围：规定北纬为正，南纬为负，则纬度的范围： 综上所述，关于经纬度的非线性优化模型为： 5.2.3模型的求解针对非线性规划问题，用Frank-Wolfe算法转换为线性规划问题是较快的逼近最优值的方法，但考虑到本问题约束条件也有较多非线性的，因此F-W算法不再适用或收敛性较慢，同时，为了避免求二阶偏导的算法复杂性，本题考虑用拟牛顿迭代法进行求解拟牛顿法的基本条件：设目标函数的Hessian矩阵为H，逆矩阵为 ，用A表示Hessian的近似矩阵，用D表示H-1的近似矩阵，则有：将目标函数在第k+1次迭代处做二阶泰勒展开：两边同时求梯度，得到：令，且，有：令，则上式可