数学建模案例分析-- 图与网络方法建模3设备更新与中心选址.doc

3 设备更新与中心选址一、指定顶点对之间的最短路径算法对图每一条边都规定一个正实数与之对应，所得到的图称为赋权图，称为边的权。边上的权记成。对赋权图，中的一路称为最短路，如果它的各边的权和是中任一条一路中各边权和最小的。找寻最短路最有效的算法是Dijkstra算法：其主要思路是假定我们已经知道了在图中与起点有最短路径的个顶点以及从到这些顶点间的最短路径，然后求出第个顶点使之与前个顶点有相同的属性。其实现方法是比较法。对于每一个未着色的顶点，考虑所有已着色的顶点，从通过已着色的顶点到的不同路径中选出它们中的最短路径，从而也就确定了新染色的点和相应的最短路径，不断重复上述过程直至求得从到的最短路径为止。算法步骤如下：1、最初，所有的边和顶点均未着色，对每一顶点指定一个数，表示从到且仅使用已着色顶点作为中间顶点的最短路径长度。2、令，并对所有，有，对顶点着色并令。3、对于每一个未着色顶点，重新定义如下： 如果对于所有未着色的顶点，则算法停止，因为此时从到任一未着色的顶点都没有路，也就不存在从到的路径。否则找出一个具有最小的值的顶点，对其着色并令。4、重复步骤3直到顶点已经着色时为止，算法终止。从到的最短路径已求出。例：用Dijkdtra算法求下图中从顶点到的最短路径。 3 4 2 7 8 2 3 3 3 21、对着色，令，且对其余顶点均有，.2、令，对所有求解：由于最小，再对着色，并对边着色。由于未着色，继续上述步骤。3、令，比较与所有未着色的顶点。由于最小，所以首先对着色，并对边着色。由于未着色，继续上述步骤。4、令，比较还未着色的顶点。由于最小，所以首先对着色，并对边着色。由于未着色，继续上述步骤。5、令,继续比较有对顶点着色，并对边着色。6、令,计算 最后对顶点着色和对边着色，形成从到的最短路，最短路径为8，由边组成最短路径。二、所有顶点间最短路径算法 一个图中所有顶点间的最短路径算法是一个更具有普遍意义的问题。以下介绍（福劳德）提出的算法，其具体思路如下：对一个有个顶点的图，将顶点用个整数（从1到）进行编号。令表示从顶点到的一条 只允许前个顶点作为中间顶点时的最短距离。如果这样的路不存在，则。由此定义可知，表示从顶点到的边长度（如果没有这条边存在，则）， 显然。而就是我们所要求解的从到的最短路径距离。 算法步骤如下：1、将图中各顶点编号为确定矩阵，如果顶点和之间有边相连，等于该边长度，否则，而。2、对，依次利用递归公式由已知的各元素确定的各元素值。每确定一个元素，可记下它所表示的路径，在算法终止时，不仅通过矩阵的各元素知道了各点间的最短距离，而且也知道了形成这条路径的各边的组成。例：对下图用算法求出各点间的最短路径长度。 1 2 72 1 2 6 3 5 3 4 4 1 2 的各元素和相应的最短路径计算如下：的第一行和第一列元素与相同，对角线上的元素均为0，则需计算其余6个元素如下：由此可知采用类似的办法可求得矩阵为 中各元素值就是要求解的相应顶点间的最短路径。 三、应用举例在通信传输网中，要找出二点间信息传递具有最大可靠性的路径；在城市建设中，要设计出费用最小的交通运输干线；在交通运输中，希望选择一个最佳最经济的路线（距离最短或单位运价最低）等等。这些问题都等价于找一个图的最短路径问题。例1某单位使用一种设备，每年年初需对该设备是否更新作出决策。若换用新设备，就要支付一笔购置费用；若继续使用原设备，则要支付一定的维修费：设备使用的年数越长，每年的维修费就越大。若已知该单位在第一年年初购进了一台新设备，该设备在五年内购买的价格和设备使用不同年限的维修费如表所示。问应如何制定设备更新计划，使单位五年内购置新设备的费用和维修旧设备的费用的总和最少？ （年）12345购买价格i（万元）1111121213使用期(0,1 (1,2 (2,3(3,4(4,5维修费用i（万元）5681118事实上，设备更新方案是很多的。例如每年年初均更新设备，这时五年内购买新设备的费用为11+11+12+12+13=59，而维修费用为5+5+5+5+5=25，总费用为59+25=84。如果五年内不更新设备，则其总的费用为11+5+6+8+11+18=59。如果穷举各种情况，我们显然要花费太多的时间。为此，我们改用建立网络模型的最短路算法求解。建立网络模型如下：表示第年的年初，代表第五年末。边表示第年年初购买一台设备并一直使用到第年末（即第年初）。边的权表示第年年初购买这台设备的费用加上年里的设备维修费，即从而得网络如下图所示。 v164122162230591841231717303123这样，制订一个最优的设备更新方案就等价于求从到的最短路。用狄克斯特拉算法求得最短路为或，即第1年、第3年购买的新设备，总费用为53，或第1年、第4年购买新设备，总费用亦为53。当然，从设备更新的角度考虑，第二种方案更优。进一步，如果假定旧设备作为二手货仍可出售，则可改变边的权，再用狄克斯特拉算法求解。最短路模型还可以应用于中心选址的问题。所谓中心选址问题就是在一网络中选择一点，建立公用服务设施，为该网络中的点提供服务，使得服务效率最高。比如一个区域的消防站、自来水厂、学校、变电站、银行、商店等选址。为了提高服务效率，自然的想法是将这些设施建立在中心地点。对于规则的网络，例如圆形、矩形等，中心地点是显而易见的，然而对于更多的网络是不规则的。因此，我们引入下面定义。设网络有个点。表示点到之间的距离（即最短路的长度），并记。定义1 记,。若,则称点为网络的中心，为直径。定义2 令，若，则称为为网络的中心。例2 教育部门打算在某新建城区建一所学校，让附近七个居民区的学生就近入学。七个居民区之间的道路如下图所示，学校应建在哪个居民区，才能使大家都方便？（图中距离单位：百米）。14327567234354264271 用算法求出各居民区之间的最短距离。从 到 12345670 3 4 5 7 8 103 0 3 2 4 5 74 3 0 5 5 6 85 2 5 0 2 3 57 4 5 2 0 1 38 5 6 3 1 0 210 7 8 5 3 2 010785（min）781037243122（min）22（min）2535从上表可见应选择作为建学校的地址。这样最远的居民区离学校距离也只有500米。当然，我们也可以选择所有点到这一点距离之和最小的点作为中心。在上例中和均可作为选择的点。在许多情况下按不同的定义选择的中心可能不一样。在现实生活中，同一网络中的各点要求服务的数量也不尽相同。我们将各点要求提供的数量作为该点的权，重新考虑中心选择问题。定义3 设点的权为。令若 则称为为网络的中心。例3 在例2中，七个居民区的学生人数分别为40、25、45、30、20、35和50人，试问教育部门应将学校建在哪个居民区，才能使大家都方便？ 例2中已经求出，根据各点的权，计算和。从 到 12345670 75 180 150 140 280 500120 0 135 60 80 175 350 160