2020届大庆市高三第二次教学质量检测数学（理）试题（解析版）

2020届黑龙江省大庆市高三年级第二次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1已知集合，则下列结论正确的是（ ）ABCD【答案】A【解析】先计算，计算，对比选项得到答案.【详解】，则，对比选项知：正确故选：【点睛】本题考查了集合的运算，属于简单题.2若复数满足，则（ ）ABC2D4【答案】C【解析】计算得到，再计算得到答案.【详解】，故故选：【点睛】本题考查了复数的运算和共轭复数，意在考查学生的计算能力.3给出如下四个命题：若“且”为假命题，则，均为假命题命题“若，则”的否命题为“若，则”命题“，”的否定是“，”在中，“”是“”的充要条件其中正确的命题的个数是（ ）A1B2C3D4【答案】C【解析】依次判断每个选项的正误得到：，均为假命题或一真一假，错误；根据否命题和命题否定的定义知正确；根据大角对大边知正确，得到答案.【详解】若“且”为假命题，则，均为假命题或一真一假，错误；命题“若，则”的否命题为“若，则”， 正确；命题“，”的否定是“，”， 正确；在中，“”是“”的充要条件，则故；，则故，正确故选：【点睛】本题考查了命题的真假判断，涉及且命题，否命题，命题的否定，充要条件，意在考查学生的综合应用能力.4已知，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据投影定义得到得到，计算得到答案.【详解】设夹角为，则在向量上的投影为故选：【点睛】本题考查了向量的投影和向量夹角，意在考查学生对于向量知识的掌握情况.5函数的图象可能是ABCD【答案】A【解析】由可得f(x)为奇函数，再由，0，可判断出函数图像，可得答案.【详解】解：由题意得：，故f(x)为奇函数，故B、C项不符合题意，又，0，故D项不符合题意，故选A.【点睛】本题主要考查函数的图像与性质，根据函数的性质来判读图像是解题的关键.6若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A若，则；B若，则；C若，则；D若，则【答案】D【解析】在中，则或；在中，则与相交、平行或；在中，则与相交或平行；由线面平行的性质定理得【详解】由，是两条不同的直线，是两个不同的平面，知：在中，若，则或，故错误；在中，若，则与相交、平行或，故错误；在中，若，则与相交或平行，故错误；在中，若，则由线面平行的性质定理得，故正确故选【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题7已知各项均不为0的等差数列，满足，数列为等比数列，且，则（ ）A16B8C4D2【答案】A【解析】化简得到，计算得到，再利用等比数列的性质得到得到答案.【详解】各项均不为0的等差数列，故选：【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，意在考查学生对于数列性质的综合应用.8某组合体的三视图如图所示，外轮廓均是边长为2的正方形，三视图中的曲线均为圆周，则该组合体的体积为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据题意知：几何体为边长为2的正方体除去八个四八分之一半径为1的球形成的几何体，计算体积得到答案.【详解】根据三视图知：几何体为边长为2的正方体除去八个八分之一半径为1的球形成的几何体故 故选：【点睛】本题考查了三视图和几何体体积，判断几何体的形状是解题的关键.9函数的最小正周期为，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（ ）A关于点对称B关于点对称C关于直线对称D关于直线对称【答案】C【解析】根据函数的最小正周期为，求出，向左平移个单位后得到的函数为奇函数，求出，可得出的解析式，结合三角函数的性质可得出对称中心和对称轴，由此判断即可求得答案.【详解】根据三角函数的图象与性质，可得，因为，所以所以设的图象向左平移个单位后得到的函数为则若为奇函数，则,故()，即因为，所以，所以，由,()解得,所以关于点,()对称A项，不存在整数，使得，故A项错误；B项，不存在整数，使得，故B项错误；由()解得,所以关于直线()对称C项，当时，故关于直线对称，故C项正确；D项，不存在整数，使得，故D项错误.故选:C.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象变换以及对称中心，对称轴的求法，涉及的知识点较多，综合性较强，属于中等题.10已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据题意，anf(n)，nN，要使an是递增数列，必有，据此有：，综上可得2a3.本题选择D选项.11已知点分别为抛物线的顶点和焦点，直线与抛物线交于两点，连接,并延长，分别交抛物线的准线于点，则（ ）ABCD【答案】A【解析】联立方程得到，则，计算得到，计算得到答案.【详解】联立方程得到 解得或，则， 则，取得到，故；则，取得到，故；故故选：【点睛】本题考查了直线和抛物线相交问题，意在考查学生的计算能力.12设是同一个半径为4的球的球面上四点，在中，,则三棱锥体积的最大值为（ ）ABCD【答案】B【解析】利用正弦定理得到，再计算，再利用余弦定理和均值不等式得到，代入体积公式得到答案.【详解】中，,，则 ， 当时等号成立，此时 故选：【点睛】本题考查了三棱锥的体积问题，综合了正弦定理，余弦定理，面积公式，综合性强，意在考查学生的空间想象能力和综合应用能力.二、填空题13_【答案】1【解析】直接利用定积分计算公式得到答案.【详解】故答案为：【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力.14已知定义域为的函数，满足，且当时，则_【答案】-1【解析】代换得到得到函数周期为，故，代入函数计算得到答案.【详解】，函数周期为故答案为：【点睛】本题考查了求函数值，代换求出函数周期是解题的关键.15已知是的外心，,则的最小值为_【答案】【解析】根据得到，平方得到，变换利用均值不等式计算得到答案.【详解】故当即时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了向量的运算，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.16已知双曲线的右顶点为,且以为圆心，双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是_【答案】【解析】如图所示：过点作于，点到渐进线的距离为即得到答案.【详解】如图所示：过点作于，则 一条渐近线方程为：，点到直线的距离为 即 故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的离心率，计算得到是解题的关键.三、解答题17已知等差数列的公差，其前项和为，若,且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）.（2）【解析】（1）根据等差数列公式得到，计算得到答案.（2），利用分组求和法计算得到答案.【详解】（1）依题意，得即，整理得.，.数列的通项公式即数列的通项公式.（2），故.【点睛】本题考查了等差数列通项公式，分组求和法求前项和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.18已知函数，.（1）若，且，求的值；（2）在中，角的对边分别为，满足，,求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）化简得到，代入数据计算得到，再利用和差公式展开得到答案.（2）根据得到，利用余弦定理得到，再利用均值不等式得到答案.【详解】（1）,.,.,.,.（2）,.,即.,，当且仅当时取“”.，即，当且仅当时取“”.又，的取值范围是.【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.19如图，已知在矩形中，为边的中点，将沿直线折起到（平面）的位置，为线段的中点.（1）求证：平面；（2）已知，当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】（1）延长与相交于点,连接，根据中位线证明，得到证明.（2）证明，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，计算平面的一个法向量为，根据夹角公式计算得到答案.【详解】（1）延长与相交于点,连接,为边的中点，四边形为矩形，,为的中位线，为线段的中点，为线段的中点，平面，平面,平面.（2）,为边的中点，,即,取线段的中点,连接,则由平面几何知识可得,又四边形为矩形，,为边的中点，,平面平面，平面平面,平面，平面，,以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则,设平面的一个法向量为，则，即，不妨取，则，即，设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了线面平行和线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20平面内有两定点,曲线上任意一点都满足直线与直线的斜率之积为，过点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点,直线与交于点.（1）求曲线的轨迹方程；（2）当点异于两点时，求证：为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据题意得到，化简得到答案.（2）设直线的方程为，则，联立方程根据韦达定理得到将韦达定理代入计算得到答案.【详解】（1）由已知可得，化简得，即曲线的轨迹方程为：.（2）由已知直线的斜率存在，所以设直线的方程为（，且，且），所以点的坐标为，即，设，则，联立削去得，所以，直线的方程为，直线的方程为将两方程联立消去得，解得由题意可知，所以，所以，将韦达定理代入得，解得，所以点的坐标为，所以，为定值.【点睛】本题考查了轨迹方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21（1）已知，,求函数的单调区间和极值；（2）已知，不等式（其中为自然对数的底数）对任意的实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）函数的单调减区间为，单调增区间为.极小值，无极大值.（2）【解析】（1）求导得到根据导数的正负得到函数的单调区间，再计算极值得到答案.（2）变换得到，设，等价于即，根据函数的单调性得到最值得到答案.【详解】（1）函数的定义域为,，由得，所以当时，当时，所以函数的单调减区间为，单调增区间为.所以当时，取得极小值，无极大值.（2）由得，即，设，则不等式对于任意的实数恒成立，等价于，由（1）知，函数在区间上为增函数，所以，即对任意的实数恒成立，因为，所以，即对任意的实数恒成立，即.令，则，由得，所以当时，函数在区间上为减函数，当时，函数在区间上为增函数，所以当时，取得最小值.所以，即.又由已知得，所以，实数的取值范围是.【点睛】本题考查了函数的单调性，极值，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.22已知直线过点，倾斜角为，在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，设点,求的值.【答案】（1）直线的参数方程为（为参数），曲线的直角坐标方程为.（2）【解析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式化简得到答案.（2）将参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用韦达定理得到，再计算，代入计算得到答案.【详解】（1）直线过点，倾斜角为可设直线的参数方程为（为参数），曲线的方程为,曲线的直角坐标方程为.（2）由（1）知，直线的参数方程为（为参数），两点所对应的参数分别为，将的参数方程代入到曲线的直角坐标方程为中，化简得,.【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程，韦达定理，意在考查学生的计算能力，利用直线的参数方程可以简化运算，是解题的关键.23已知函数，.（1）当时，求不