工科数学分析-数集和确界原理.doc

数学分析上册教案 第一章 实数集与函数 石家庄经济学院数理学院1.2 数集和确界原理授课章节：第一章 实数集与函数-1.2数集和确界原理教学目标：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.教学要求：(1) 掌握邻域的概念；(2) 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学过程：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.一、 区间与邻域(一) 区间（用来表示变量的变化范围）设且.，其中 (二) 邻域联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.（看左图）.与a邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？1、a的邻域：设，满足不等式的全体实数的集合称为点a的邻域，记作，或简记为，即.2、点a的空心邻域.3、a的右邻域和点a的空心右邻域4、点a的左邻域和点a的空心左邻域5、邻域，邻域，邻域 （其中M为充分大的正数）； 二、有界集与无界集什么是“界”？定义1（上、下界）： 设为中的一个数集.若存在数，使得一切都有，则称S为有上（下）界的数集.数称为S的上界（下界）；若数集S既有上界，又有下界，则称S为有界集.闭区间、为有限数）、邻域等都是有界数集， 集合 也是有界数集. 若数集S不是有界集，则称S为无界集. 等都是无界数集, 集合 也是无界数集.注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与S的关系如何？看下例：例1 讨论数集的有界性.分析：有界或无界上界、下界？下界显然有，如取；上界似乎无，但需要证明.解：任取，显然有，所以有下界1；但无上界.证明如下：假设有上界M,则M0，按定义，对任意，都有，这是不可能的，如取则，且.综上所述知：是有下界无上界的数集，因而是无界集.例2 证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.问题：若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一，有无穷多个).三、 确界与确界原理1、定义定义2（上确界）设S是R中的一个数集，若数满足：(1) 对一切有（即是S的上界）; (2) 对任何，存在，使得（即是S的上界中最小的一个），则称数为数集S的上确界，记作定义（上确界的等价定义）设是R中的一个数集，若数满足： 1） 是上界， 2） 使得.则称数为数集的上确界。 定义3（下确界） 设S是R中的一个数集，若数满足：（1）对一切有（即是S的下界）；（2）对任何，存在，使得（即是S的下界中最大的一个），则称数为数集S的下确界，记作.定义（下确界的等价定义）设S是R中的一个数集，若数满足：1）是S下界；2）0， 则称数为数集S的下确界。上确界与下确界统称为确界. 注： 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.命题 设数集有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.证明 设，且，则不妨设有对，使，矛盾.例 ，则有.开区间与闭区间有相同的上确界与下确界.例3 设和是非空数集，且有 则有 .例4 设和是非空数集. 若对和都有 则有 证明 是的上界, 是的下界, 例5 和为非空数集, 试证明: 证明 有或 由和分别是和的下界,有或即是数集的下界, 又的下界就是的下界,是的下界, 是的下界, 同理有 于是有. 综上, 有 .1、集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例3为例做解释.2、确界与最值的关系: 设 为数集.（1）的最值必属于, 但确界未必, 确界是一种临界点. （2） 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. （3） 若存在, 必有 对下确界有类似的结论.3、确界原理:定理1(确界原理) 一个非空的，有上（下）界的集合，必有上（下）确界.这里我们给一个可以接受的说明.R，非空，我们可以找到一个整数，使得不是上界，而是的上界.然后我们遍查和，我们可以找到一个，使得不是上界，是上界，如果再找第二位小数，如此下去，最后得到，它是一个实数，即为的上确界.证明 （书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设中的元素都为非负数，则存在非负整数，使得1），有；2）存在，有；把区间等分，分点为n.1，.2，,.9, 存在，使得1），有；2）存在，使得再对开区间等分，同理存在，使得1）对任