高考椭圆几种题型

第 1 页 共 10 页 高考椭圆几种题型高考椭圆几种题型 引言 在高考之中占有比较重要的地位 并且占的分数也多 分析历年的高考试题 在选择题 填空题 大题都有椭圆 的题 所以我们对知识必须系统的掌握 对各种题型 基本的解题方法也要有一定的了解 二二 椭圆的知识 一 定义 1 平面内与与定点 F1 F2的距离之和等于定长 2a 2a F1F2 的点的轨迹叫做椭圆 其中 F1 F2称为椭圆的焦点 F1F2 称为焦距 其复数形式的方程为 Z Z1 Z Z2 2a 2a Z1 Z2 2 一动点到一个定点 F 的距离和它到一条直线的距离之比是一个大于 0 小于 1 的常数 则这个动点的轨迹叫椭 圆 其中 F 称为椭圆的焦点 l 称为椭圆的准线 二 方程 1 中心在原点 焦点在 x 轴上 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 2 中心在原点 焦点在 y 轴上 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 3 参数方程 sin cos by ax 4 一般方程 0 0 1 22 BAByAx 三 性质 1 顶点 或 0 0 ba 0 0 ba 2 对称性 关于 轴均对称 关于原点中心对称 xy 3 离心率 1 0 a c e 4 准线 c a y c a x 22 或 5 焦半径 设为上一点 F1 F2为左 右焦点 则 00 yxP 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 01 exaPF 设为上一点 F1 F2为下 上焦点 则 02 exaPF 00 yxP 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 01 exaPF 02 exaPF 第 2 页 共 10 页 三三 椭圆题型椭圆题型 一 椭圆定义 一 椭圆定义 1 椭圆定义的应用椭圆定义的应用 例例 1 椭圆的一个顶点为椭圆的一个顶点为 其长轴长是短轴长的 其长轴长是短轴长的 2 倍 求椭圆的标准方程 倍 求椭圆的标准方程 02 A 分析 分析 题目没有指出焦点的位置 要考虑两种位置 解 解 1 当为长轴端点时 02 A2 a1 b 椭圆的标准方程为 1 14 22 yx 2 当为短轴端点时 02 A2 b4 a 椭圆的标准方程为 1 164 22 yx 说明 说明 椭圆的标准方程有两个 给出一个顶点的坐标和对称轴的位置 是不能确定椭圆的横竖的 因而要考虑两 种情况 例例 2 已知椭圆已知椭圆的离心率的离心率 求 求的值 的值 1 98 22 y k x 2 1 ek 分析 分析 分两种情况进行讨论 解 解 当椭圆的焦点在轴上时 得 由 得 x8 2 ka9 2 b1 2 kc 2 1 e4 k 当椭圆的焦点在轴上时 得 y9 2 a8 2 kbkc 1 2 由 得 即 2 1 e 4 1 9 1 k 4 5 k 满足条件的或 4 k 4 5 k 说明 说明 本题易出现漏解 排除错误的办法是 因为与 9 的大小关系不定 所以椭圆的焦点可能在轴上 8 kx 也可能在轴上 故必须进行讨论 y 例例 3 已知方程已知方程表示椭圆 求表示椭圆 求的取值范围的取值范围 1 35 22 k y k x k 解 解 由得 且 35 03 05 kk k k 53 k4 k 满足条件的的取值范围是 且 k53 k4 k 第 3 页 共 10 页 说明 说明 本题易出现如下错解 由得 故的取值范围是 03 05 k k 53 kk53 k 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件 当时 并不表示椭圆 0 baba 例例 4 已知已知表示焦点在表示焦点在轴上的椭圆 求轴上的椭圆 求的取值范围 的取值范围 1cossin 22 yx 0 y 分析 分析 依据已知条件确定的三角函数的大小关系 再根据三角函数的单调性 求出的取值范围 解 解 方程可化为 因为焦点在轴上 所以 1 cos 1 sin 1 22 yx y0 sin 1 cos 1 因此且从而 0sin 1tan 4 3 2 说明 说明 1 由椭圆的标准方程知 这是容易忽视的地方 0 sin 1 0 cos 1 2 由焦点在轴上 知 3 求的取值范围时 应注意题目中的条件y cos 1 2 a sin 1 2 b 0 例例 5 已知动圆已知动圆过定点过定点 且在定圆 且在定圆的内部与其相内切 求动圆圆心的内部与其相内切 求动圆圆心的轨迹方程 的轨迹方程 P 03 A 643 2 2 yxB P 分析 分析 关键是根据题意 列出点 P 满足的关系式 解 解 如图所示 设动圆和定圆内切于点 动点到两定点 PBMP 即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径 03 A 03 B 即 点的轨迹是以 为两焦点 8 BMPBPMPBPAPAB 半长轴为 4 半短轴长为的椭圆的方程 734 22 b1 716 22 yx 说明 说明 本题是先根据椭圆的定义 判定轨迹是椭圆 然后根据椭圆的标准方程 求轨迹的方程 这是求轨迹方程的一 种重要思想方法 2 关于线段长最值的问题一般两个方法 一种是借助图形 由几何图形中量的关系求最值 二是建立关于线段长最值的问题一般两个方法 一种是借助图形 由几何图形中量的关系求最值 二是建立 函数关系求最值 或用均值不等式来求最值 函数关系求最值 或用均值不等式来求最值 例 1 点 P 为为椭圆上一点 F1 F2是椭圆的两个焦点 试求 取得最值时 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 21 PFPF 的点坐标 P 解 1 设 则 由椭圆第二定义知 00 yxP 0 aax 0020 2 1 2 0exaaexaPFaexe c a xPF 第 4 页 共 10 页 当时 取最大值 此时点 P 0 b 当时 21 PFPF 0 222 xea 0 0 x 21 PFPF 2 aax 0 取最小值 b2 此时点 P a 0 21 PFPF 二 二 焦半径及焦三角的应用焦半径及焦三角的应用 例例 1 已知椭圆方程已知椭圆方程 长轴端点为 长轴端点为 焦点为 焦点为 是椭圆上一点 是椭圆上一点 01 2 2 2 2 ba b y a x 1 A 2 A 1 F 2 FP 求 求 的面积 用的面积 用 表示 表示 21PA A 21PF F 21PF F ab 分析 分析 求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边 从而利用求面 CabSsin 2 1 积 解 解 如图 设 由椭圆的对称性 不妨设 由椭圆的对称性 不妨设 yxP yxP 在P 第一象限 由余弦定理知 2 21F F 2 2 2 1 PFPF 1 2PF 2 2 4coscPF 由椭圆定义知 则得 aPFPF2 21 2 cos1 2 2 21 b PFPF 故 sin 2 1 21 21 PFPFS PFF sin cos1 2 2 1 2 b 2 tan 2 b 第 5 页 共 10 页 例例 2 已知椭圆已知椭圆内有一点内有一点 分别是椭圆的左 右焦点 点分别是椭圆的左 右焦点 点是椭圆上一点 是椭圆上一点 求求1 59 22 yx 1 1 A 1 F 2 FP 的最大值 最小值及对应的点的最大值 最小值及对应的点坐标 坐标 1 PFPA P 分析 分析 本题考查椭圆中的最值问题 通常探求变量的最值有两种方法 一是目标函数当 即代数方法 二是数形 结合 即几何方法 本题若按先建立目标函数 再求最值 则不易解决 若抓住椭圆的定义 转化目标 运用数形结 合 就能简捷求解 解 解 如上图 设是椭圆上任一点 由 62 a 0 2 2 F2 2 AFP62 21 aPFPF 等号仅当时成 22 AFPFPA 262 22211 AFaAFPFPFPFPA 22 AFPFPA 立 此时 共线 PA 2 F 由 等号仅当 22 AFPFPA 262 22211 AFaAFPFPFPFPA 时成立 此时 共线 22 AFPFPA PA 2 F 建立 的直线方程 解方程组得两交点A 2 F02 yx 4595 02 22 yx yx 2 14 15 7 5 2 14 15 7 9 1 P 2 14 15 7 5 2 14 15 7 9 2 P 综上所述 点与重合时 取最小值 点与重合时 取最大值 P 1 P 1 PFPA 26 P 2 P 2 PFPA 26 第 6 页 共 10 页 三 三 直线与椭圆相交问题 直线与椭圆相交问题 1 常用分析一元二次议程解的情况 仅有常用分析一元二次议程解的情况 仅有 还不够 且用数形结合的思想 还不够 且用数形结合的思想 2 弦的中点 弦长等 利用根与系数的关系式 但弦的中点 弦长等 利用根与系数的关系式 但 0 这一制约条件不同意 这一制约条件不同意 a kAB 2 1 21 21 xx xx 例例 1 已知直线已知直线 过椭圆过椭圆的一个焦点 斜率为的一个焦点 斜率为 2 与椭圆相交于与椭圆相交于 M N 两点 求弦两点 求弦的长 的长 l7298 22 yxlMN 解 由得 7298 1 2 22 yx xy 091811 2 xx 方法一 由弦长公式 11 60 11 9114185 1 2 2 a kAB 方法二 2 212 2 1 2 xxaex c a ex c a NFMFMN 11 60 3 1 11 18 6 例例 2 已知长轴为已知长轴为 12 短轴长为 短轴长为 6 焦点在 焦点在轴上的椭圆 过它对的左焦点轴上的椭圆 过它对的左焦点作倾斜解为作倾斜解为的直线交椭圆于的直线交椭圆于 两两x 1 F 3 AB 点 求弦点 求弦的长 的长 AB 分析 分析 可以利用弦长公式求得 4 1 1 21 2 21 2 21 2 xxxxkxxkAB 也可以利用椭圆定义及余弦定理 还可以利用焦点半径来求 解 解 法法 1 利用直线与椭圆相交的弦长公式求解 利用直线与椭圆相交的弦长公式求解 因为 所以 因为焦点在轴上 21 2 1xxkAB 4 1 21 2 21 2 xxxxk 6 a3 b33 cx 所以椭圆方程为 左焦点 从而直线方程为 1 936 22 yx 0 33 F93 xy 由直线方程与椭圆方程联立得 设 为方程两根 所以 083637213 2 xx 1 x 2 x 13 372 21 xx 第 7 页 共 10 页 从而 13 836 21 xx3 k 13 48 4 1 1 21 2 21 2 21 2 xxxxkxxkAB 法法 2 利用椭圆的定义及余弦定理求解利用椭圆的定义及余弦定理求解 由题意可知椭圆方程为 设 则 1 936 22 yx mAF 1 nBF 1 mAF 12 2 nBF 12 2 在中 即 21F AF 3 cos2 211 2 21 2 1 2 2 FFAFFFAFAF 2 1 362336 12 22 mmm 所以 同理在中 用余弦定理得 所以 34 6 m 21F BF 34 6 n 13 48 nmAB 法法 3 利用焦半径求解 利用焦半径求解 先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根 它们分别是 的横坐标 083637213 2 xx 1 x 2 xAB 再根据焦半径 从而求出 11 exaAF 21 exaBF 11 BFAFAB 四 点差法点差法 解题 解题 设而不求设而不求 的思想 的思想 当涉及至平行法的中点轨迹 过定点弦的中点轨迹 过定点且被定点平分的弦所在直线方程 用当涉及至平行法的中点轨迹 过定点弦的中点轨迹 过定点且被定点平分的弦所在直线方程 用 点差法点差法 来求解来求解 步骤 1 设 A x1 y1 B x2 y2 分别代入椭圆方程 2 设为 AB 的中点 两式相减 00 yxp 0 2 0 2 21 2 21 2 21 21 ya xb yya xxb xx yy 3 得出 21 21 xx yy k 注 一般的 对椭圆上弦及中点 有1 2 2 2 2 b y a x ABM 2 2 a b KK OMAB 说明 说明 1 有关弦中点的问题 主要有三种类型 过定点且被定点平分的弦 平行弦的中点轨迹 过定点的弦中点轨 迹 2 解法二是 点差法 解决有关弦中点问题的题较方便 要点是巧代斜率 3 有关弦及弦中点问题常用的方法是 韦达定理应用 及 点差法 有关二次曲线问题也适用 例例 1 已知椭圆已知椭圆 1 求过点 求过点且被且被平分的弦所在直线的方程 平分的弦所在直线的方程 1 2 2 2 y x 2 1 2 1 PP 2 求斜率为 求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程 的平行弦的中点轨迹方程 3 过 过引椭圆的割线 求截得的弦的中点的轨迹方程 引椭圆的割线 求截得的弦的中点的轨迹方程 12 A 第 8 页 共 10 页 4 椭圆上有两点 椭圆上有两点 为原点 且有直线为原点 且有直线 斜率满足斜率满足 PQOOPOQ 2 1 OQOP kk 求线段求线段中点中点的轨迹方程 的轨迹方程 PQM 分析 分析 此题中四问都跟弦中点有关 因此可考虑设弦端坐标的方法 解 解 设弦两端点分别为 线段的中点 则 11 yxM 22 yxN MN yxR yyy xxx yx yx 2 2 22 22 21 21 2 2 2 2 2 1 2 1 得 02 21212121 yyyyxxxx 由题意知 则上式两端同除以 有 21 xx 21 xx 02 21 21 2121 xx yy yyxx 将 代入得 02 21 21 xx yy yx 1 将 代入 得 故所求直线方程为 2 1 x 2 1 y 2 1 21 21 xx yy 0342 yx 将 代入椭圆方程得 符合题意 为所求 22 22 yx0 4 1 66 2 yy0 4 1 6436 0342 yx 2 将代入 得所求轨迹方程为 椭圆内部分 2 21 21 xx yy 04 yx 3 将代入 得所求轨迹方程为 椭圆内部分 2 1 21 21 x y xx yy 0222 22 yxyx 4 由 得 将 平方并整理得 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 yy xx 21 22 2 2 1 24xxxxx 21 22 2 2 1 24yyyyy 将 代入 得 224 4 24 21 2 21 2 yyy xxx 再将代入 式得 即 2121 2 1 xxyy 2 2 1 242 21 2 21 2 xxyxxx1 2 1 2 2 y x 此即为所求轨迹方程 当然 此题除了设弦端坐标的方法 还可用其它方法解决 例例 2 已知中心在原点 焦点在已知中心在原点 焦点在轴上的椭圆与直线轴上的椭圆与直线交于交于 两点 两点 为为中点 中点 的斜率为的斜率为x01 yxABMABOM 0 25 椭圆的短轴长为 椭圆的短轴长为 2 求椭圆的方程 求椭圆的方程 第 9 页 共 10 页 解 解 由题意 设椭圆方程为 1 2 2 2 y a x 由 得 1 01 2 2 2 y a x yx 021 22 2 xaxa 2 2 21 1 2a axx xM 2 1 1 1 a xy MM 4 11 2 ax y k M M OM 4 2 a 为所求 1 4 2 2 y x 例例 5 分析 已知分析 已知是直线是直线 被椭圆被椭圆所截得的线段的中点 求直线所截得的线段的中点 求直线 的方程 的方程 2 4 Pl1 936 22 yx l 本题考查直线与椭圆的位置关系问题 通常将直线方程与椭圆方程联立消去 或 得到关于 或 的一元二次yxxy 方程 再由根与系数的关系 直接求出 或 的值代入计算即得 21 xx 21x x 21 yy 21y y 并不需要求出直线与椭圆的交点坐标 这种 设而不求 的方法 在解析几何中是经常采用的 解 解 方法一 方法一 设所求直线方程为 代入椭圆方程 整理得 4 2 xky 036 24 4 24 8 14 222 kxkkxk 设直线与椭圆的交点为 则 是 的两根 11 yxA 22 yxB 1 x 2 x 14 24 8 2 21 k kk xx 为中点 所求直线方程为 2 4 PAB 14 24 4 2 4 2 21 k kkxx 2 1 k082 yx 方法二 方法二 设直线与椭圆交点 为