第9章 Matlab在复变函数中的应用.doc

第9章 Matlab在复变函数中的应用从根本上讲，复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸，但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，且在引入了Taylor级数展开，Laplace变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要了。本章将重点介绍使用Matlab来进行复变函数的各种计算；介绍留数的概念及Matlab的实现；介绍在复变函数中有重要应用的Taylor展开（Laurent展开、Laplace变换和Fourier变换）。9.1 复数及其矩阵的生成在Matlab中，复数的单位为i和j，即：i = j =。9.1.1 复数的生成在Matlab中，产生复数的方法有两种：1. 由z = x + y*i产生，可简写成z = x + y i ；2. 由z = r*exp (i*theta)产生，可简写成z = r*exp (theta i )，其中r为复数z的模，theta为复数z辐角的弧度值。9.1.2 复数矩阵的输入Matlab的矩阵元素允许是复数、复变量和由它们组成的表达式。复数矩阵的输入方法有两种：1. 与实数矩阵相同的输入方法（见第1章）2. 将实部、虚部矩阵分开输入，再写成和的形式例9-1 A=1,3;-2,4-5 8;6 -9*iA = 1.0000 - 5.0000i 3.0000 - 8.0000i -2.0000 - 6.0000i 4.0000 + 9.0000i9.2 复数的运算9.2.1 复数的实部与虚部复数的实部和虚部用命令real和imag提取。格式：real (z) %返回复数z的实部 imag (z) %返回复数z的虚部9.2.2 共轭复数复数的共轭复数由命令conj实现。格式：conj (z) %返回复数z的共轭复数9.2.3 复向量或复矩阵的转置复向量或复矩阵的转置符合两个规则：1. 符合实矩阵转置原则2. 转置后的元素均为共轭复数格式：Z %Z的共轭转置例9-2 A=1,3;-2,4-5 8;6 -9*iA = 1.0000 - 5.0000i 3.0000 - 8.0000i -2.0000 - 6.0000i 4.0000 + 9.0000i Aans = 1.0000 + 5.0000i -2.0000 + 6.0000i 3.0000 + 8.0000i 4.0000 - 9.0000i若要得Z的非共轭转置，可用Z .或conj (Z)。接上例 A.ans = 1.0000 - 5.0000i -2.0000 - 6.0000i 3.0000 - 8.0000i 4.0000 + 9.0000i9.2.4 复数的模和辐角求复数的模和辐角由函数abs和angle实现。格式：abs (z) %返回复数z的模 angle (z) %返回复数z的辐角例9-3 求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模、辐角、转置。（1） （2） （3） （4）解：可以将上述4个复数组成复矩阵一并处理。在Matlab编辑器中建立M文件LX0903.m：format rat %有理数表示Z=1/(2+3i),1/i+3i/(1+i),(2+3i)*(3-4i)/2i,i7-4*i17+ire=real(Z) %求实部im=imag(Z) %求虚部Z1=conj(Z) %求共轭复数r=abs(Z) %求模theta=angle(Z) %求辐角Z2=Z %求转置运行结果为：Z = Columns 1 through 4 2/13 - 3/13i 3/2 +1/2i 1/2 - 9i 0 - 4i re = 2/13 3/2 1/2 0 im = -3/13 1/2 -9 -4 Z1 = Columns 1 through 4 2/13 + 3/13i 3/2 - 1/2i 1/2 + 9i 0 + 4i r = 1369/4936 721/456 11691/1297 4 theta = -971/988 250/777 -941/621 -355/226 Z2 = 2/13 + 3/13i 3/2 - 1/2i 1/2 + 9i 0 + 4i 9.2.5 复数的乘除法运算符：* %乘法：模相乘，辐角相加 / %除法：模相除，辐角相减例9-4 z1=4*exp(pi/3i)z1 = 2.0000 - 3.4641i z2=3*exp(pi/5i)z2 = 2.4271 - 1.7634i z3=3*exp(pi/5*i)z3 = 2.4271 + 1.7634i z1/z2ans = 1.2181 - 0.5423i注意：1/5i = 1/(5*i)，而1/5i1/5*i = (1/5)*i9.2.6 复数的平方根函数：sqrt格式：sqrt (z) %返回复数z的平方根值9.2.7 复数的幂运算运算符：格式： zn %返回复数z的n次幂例9-5 计算： 解：在Matlab命令窗口键入： z1=(1+i)6z1 = 0 - 8.0000i z2=(-1)(1/6)z2 = 0.8660 + 0.5000i %取k = 0之值 z3=(1-i)(1/3)z3 = 1.0842 - 0.2905i %取k = 0之值9.2.8 复数的指数运算和对数运算函数：exp %指数运算 log%对数运算格式：exp (z) %返回复数z的以e为底的指数函数值 log (z) %返回复数z的以e为底的对数函数值例9-6 计算： 解：在Matlab窗口键入： z1=exp(1-i*pi/2)z1 = 0.0000 - 2.7183i z2=exp(i*log(3)z2 = 0.4548 + 0.8906i或 z2=3iz = 0.4548 + 0.8906i z3=(1+i)i %或z3=exp(i*log(1+i)z3 = 0.4288 + 0.1549i z4=log(-3+4i)z4 = 1.6094 + 2.2143i9.2.9 复数的三角运算sin (z)、cos (z)、tan (z)、cot (z)、sec (z)、asin (z)、等函数，返回复数z的函数值。注意：在Matlab中，复数运算的结果都是主值。如上述各例。9.2.10 复数方程求根函数：solve格式：solve (f (x) = 0) %求方程f (x) = 0的根例9-7 求方程x 3+8 = 0所有的根。解：在Matlab命令窗口键入： solve(x3+8=0)结果为：ans = -2 1-i*3(1/2) 1+i*3(1/2)9.3 复变函数的积分9.3.1 非闭合路径的积分非闭合路径的积分，用函数int求解，方法同微积分部分的积分。例9-8 计算，（沿1到i的值线段）。解：在Matlab编辑器中编辑M文件LX0908.m：z1=int(exp(2*z),z,-pi*i,3*pi*i)syms zz2=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0)z3=int(z-1)*exp(-z),z,0,i)z4=int(1+tan(z)/cos(z)2,z,1,i)运行结果为：z1 = 0z2 = -1/3*iz3 = -i*exp(-i)z4 =1/2*(2*i*cos(1)2*sinh(1)*cosh(1)+cos(1)2-2*cosh(1)2*sin(1)*cos(1)-cosh(1)2)/cosh(1)2/cos(1)2说明：在z1中定义表达式为符号；在z2、z3、z4中，先定义符号变量，再进行积分。两种方法都可行，且结果一样。9.3.2 沿闭合路径积分对沿闭合路径的积分，先计算闭区域内各孤立奇点的留数，再利用留数定理可得积分值。9.3.2.1 留数计算留数定义：设a为f (z)的孤立奇点，C为a的充分小的邻域内一条包含a点的闭路，积分称为f (z)在a点的留数或残数，记作Resf (z), a。在Matlab中，可由函数residue实现。函数：residue %留数函数（部分分式展开）格式：R, P, K = residue (B, A)说明： 向量B为f (z)的分子系数；（以s降幂排列） 向量A为f (z)的分母系数；（以s降幂排列） 向量R为留数； 向量P为极点；极点的数目n = length (A)-1=length (R) = length (P)。 向量K为直接项，如果length (B) r1,p1,k1=residue(1,1,1,-2,0)r1 = 1.5000 -0.5000p1 = 2 0k1 = r2,p2,k2=residue(1 0,1 0 0 0 -1)r2 = 0.2500 0.2500 -0.2500 + 0.0000i -0.2500 - 0.0000ip2 = -1.0000 1.0000 0.0000 + 1.0000i 0.0000 - 1.0000ik2 = 反之： B,A=residue(0.2500 0.2500 -0.2500 -0.2500,-1 1 i -i,)B = 0 0 1 0A = 1 0 0 0 -19.3.2.2 闭合路径积分留数定理：设函数f (z)在区域D内除有限个孤立奇点z1，z2，z n外处处解析，C为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则 。闭合路径积分利用留数定理来计算。例9-10 计算积分 其中C为正向圆周| z | = 2。解：在Matlab编辑器中建立M文件LX0910.m：B=1 0;A=1 0 0 0 -1;r,p,k=residue(B,A) %求被积函数的留数I=2*pi*sum(r) %利用留数定理计算积分值运行结果为：r = 0.2500 0.2500 -0.2500 + 0.0000i -0.2500 - 0.0000ip = -1.0000 1.0000 0.0000 + 1.0000i 0.0000 - 1.0000ik = I = 09.4 Taylor级数展开Taylor级数展开在复变函数中有很重要的地位，如分析复变函数的解析性等。函数：taylor %Taylor级数展开格式：taylor (f) %返回f函数的5次幂多项式近似 taylor (f, n) %返回n-1次幂多项式近似 taylor (f, a) %返回a点附近的幂多项式近似 taylor (f, x) %对f中的变量x展开；若不含x，则对变量x = findsym (f)展开。例9-11 求下列函数在指定点的Taylor级数展开式。 （1）1/z2，z0 = -1； （2）tan (z)，z0 = pi/4； （3）sinz/z，z0 = 0解：在Matlab中实现为： syms z taylor(1/z2,-1)ans =3+2*z+3*(z+1)2+4*(z+1)3+5*(z+1)4+6*(z+1)5 taylor(tan(z),pi/4)ans = 1+2*z-1/2*pi+2*(z-1/4*pi)2+8/3*(z-1/4*pi)3+10/3*(z-1/4*pi)4+64/15*(z-1/4*pi)5 taylor(sin(z)/z,10)ans = 1-1/6*z2+1/120*z4-1/5040*z6+1/362880*z8从（3）的展开式可知彼知已z = 0是sinz/z的可去奇点。注意：taylor展开运算实质上是符号运算，因此在不久的将来Matlab中执行此命令前应先定义符号变量syms z，否则Matlab将给出出错信息！9.5 Laplace变换及其逆变换9.5.1 Laplace变换函数：laplace格式：L = laplace (F) %返回以默认独立变量t对符号函数F的Laplace变换。函数返回默认为s的函数。如果 F = F (s)，则Laplace变换返回t的函数L = L (t)。其中定义L为对t的积分L (s) = int(F (t)*exp (-s*t), 0, inf)。L = laplace (F, t) %以t代替s的Laplace变换。laplace (F, t)等价于L (t) = int(F (x)*exp (-t*x), 0, inf)。L = laplace (F, w, z) %以z代替s的Laplace变换(相对于w的积分)。laplace (F, w, z)等价于L (z) = int (F (w)*exp (-z*w), 0, inf)。例9-12 syms a s t w x laplace(x5)ans = 120/s6 laplace(exp(a*s)ans = 1/(t-a) laplace(sin(w*x),t)ans = w/(t2+w2) laplace(cos(x*w),w,t)ans = t/(t2+x2) laplace(x (3/2),t)ans = 3/4/t(5/2)*pi(1/2) laplace(diff(F(x)ans = s*laplace(F(x),x,s)-F(0)9.5.2 Laplace逆变换函数：ilaplace格式：F = ilaplace (L) %返回以默认独立变量s对符号函数L的Laplace逆变换，默认返回t的函数。如果L = L (t)，则ilaplace返回x的函数F = F (x)。F = ilaplace (L, y) %以y代替默认的t的函数。F = ilaplace (L, y, x) %以x代替t的函数，求逆变换时对y取积分。例9-13 syms s t w x y ilaplace(1/(s-1)ans = exp(t) ilaplace(1/(t2+1)ans = sin(x) ilaplace(t(-5/2),x)ans = 4/3*x(3/2)/pi(1/2) ilaplace(y/(y2+w2),y,x)ans = cos(w2)(1/2)*x) ilaplace(laplace(F(x),x,s),s,x)ans = F(x)9.6 Fourier变换及其逆变换9.6.1 Fourier变换函数：fourier格式：F = fourier (f) %返回以默认独立变量x对符号函数f的Fourier变换，默认返回w的函数；如果f = f (w)，则fourier函数返回t的函数F = F (t)。F = fourier (f, v) %以v代替默认值w的Fourier变换。F = fourier (f, u, v)