相空间--刘维尔定理热力学.ppt

热力学 统计物理 回顾Chap 7玻尔兹曼统计Chap 8玻色统计和费米统计 8 1热力学量的统计表达式 8 2弱简并理想Bose气体和Fermi气体 8 3Bose Einstein凝聚 8 4光子气体 8 4光子气体 新课Chap 9系综理论 9 1相空间刘维尔定理 知识回顾 Chap 7玻尔兹曼统计 粒子的配分函数Z1 基本热力学函数 内能 物态方程 熵 自由能 系统的全部平衡性质 知识回顾 满足经典极限条件的玻色和费米系统 知识回顾 Chap 8玻色统计和费米统计 8 1热力学量的统计表达式 抛弃粒子轨道的概念 1 微观粒子的能量和动量是不连续的 2 微观全同粒子不可分辨 3 微观粒子的行为要满足不确定关系 4 费米子受泡利不相容原理的限制 知识回顾 玻色和费米系统的巨配分函数和热力学公式 Bose系统 Fermi系统 知识回顾 8 2弱简并理想玻色和费米气体 Chap 8玻色统计和费米统计 Chap 7中的经典极限条件 非简并条件 所谓 弱简并条件 即气体的 很大 很小 但不可忽略 知识回顾 8 2弱简并理想玻色和费米气体 Bose气体Fermi气体Boltzmann气体 弱简并条件下的系统内能的差异 1 第一项是根据Boltzmann分布得到的内能 2 第二项是量子统计关联所导致的附加内能 弱简并的情况下附加内能很小 Fermi气体附加内能为正 等效的排斥作用Bose气体附加内能为负 等效的吸引作用 知识回顾 8 3Bose Einstein凝聚 1 理想Bose气体的化学势 2 临界温度 凝聚温度 T Tc时 就有宏观量级的粒子在能级 0凝聚 这一现象称为Bose Einstein凝聚 简称Bose凝聚 5 Bose Einstein凝聚的条件 4 Bose Einstein凝聚 Bose凝聚体的E 0 P动量 0 S 0 P压强 0 3 T Tc时 知识回顾 8 4光子气体 低频极限 瑞利 1900 金斯 1905 公式 高频极限 维恩 1896 公式 普朗克公式 知识回顾 8 4光子气体 空窖辐射的内能 斯特藩 玻耳兹曼定律 m与温度T成正比 维恩位移定律 1893 光子气体的热力学函数 知识回顾 8 4光子气体 知识回顾 8 5金属中的自由电子气体 讨论强简并的Fermi气体的特性 低温极限 T 0K 时自由电子的性质 Fermi分布 T 0K时自由电子的性质 知识回顾 8 5金属中的自由电子气体 T 0K下自由电子的性质 Fermi能级 0K时电子气体的压强为3 8 1010帕 这是一个极大的数值 它是泡利不相容原理和电子气体具有高密度的结果 常称为电子气体的简并压 知识回顾 8 5金属中的自由电子气体 T 0K时电子气体热容量的估计 能量均分定理 N有效 T 0K时金属中自由电子的性质 金属中自由电子对热容量的贡献约为 知识回顾 8 5金属中的自由电子气体 3 T 0K时自由电子气体热容量的定量计算 内能U 在体积V内 在 d 能量范围内的电子数为 电子数N 将Fermi积分求出后得 进一步化简得 知识回顾 8 5金属中的自由电子气体 T 0K时 自由电子气体热容量 与估算的结果仅有系数的差异 根据系综理论 足够低的温度下电子热容量将大于离子振动的热容量而成为对金属热容量的主要贡献 电子 离子振动 9 1相空间刘维尔定理 Chap 9系综理论 回顾 近独立粒子 平衡态统计物理的普遍理论 系综理论 应用系综理论可以研究互作用粒子组成的系统 9 1相空间刘维尔定理 如何描述系统的微观 力学 运动状态 9 1相空间刘维尔定理 一 相空间 如果系统包含多种粒子 第i种粒子的自由度为ri 粒子数为Ni 则系统的自由度为 说明 a 当粒子间的相互作用不能忽略时 应把系统当作一个整体考虑 b 本节主要讨论经典描述 如何描述系统的微观 力学 运动状态 假设系统由N个全同粒子组成 粒子的自由度为r则 系统的自由度为f Nr 9 1相空间刘维尔定理 1 相空间 空间 系统在某一时刻的运动状态 f个广义坐标 系统在任一时刻的的微观运动状态 以共2f个变量为直角坐标构成一个2f维空间 称为相空间 空间 f个广义动量 可用相空间中的一点表示 称为系统运动状态的代表点 9 1相空间刘维尔定理 2 系统的运动状态随时间的演化 系统的运动状态随时间而变 遵从哈密顿正则方程 9 1 1 保守力系 9 1相空间刘维尔定理 若H不显含t 则H h 积分常数 稳定约束的情况下 9 1相空间刘维尔定理 孤立系统 哈密顿量就是它的能量 包括 1 粒子的动能 2 粒子相互作用的势能 3 粒子在保守力场中的势能 它是的函数 存在外场时还是外场参量的函数 不是时间t的显函数 9 1相空间刘维尔定理 系统在相空间中的运动轨迹 当系统的运动状态随时间变化时 代表点相应地在相空间中移动 其轨道由式 9 1 1 确定 轨道的运动方向完全由 qi和pi 决定 哈密顿量和它的微商是单值函数 经过相空间任何一点轨迹只能有一条 系统从某一初态出发 代表点在相空间的轨道或者是一条封闭曲线 或者是一条自身永不相交的曲线 当系统从不同的初态出发 代表点沿相空间中不同的轨道运动时 不同的轨道也互不相交 9 1 1 9 1相空间刘维尔定理 能量曲面 由于孤立系统的能量E不随时间改变 系统的广义坐标和动量必然满足条件 构成相空间中的一个曲面 称为能量曲面 孤立系统的运动状态的代表点位于能量曲面之上 9 1相空间刘维尔定理 二 刘维尔定理 Liouville stheorem 1 设想大量结构完全相同的系统 各自从其初态出发独立地沿着正则方程 9 1 1 所规定的轨道运动 9 1 1 这些系统的运动状态的代表点将在相空间中形成一个分布 相空间中的一个体积元 时刻t 运动状态在d 内的代表点数 9 1相空间刘维尔定理 所设想的系统的总数N 2 刘维尔定理及其证明 1 刘维尔定理 如果一个代表点沿着正则方程所确定的轨道在相空间中运动 其邻域的代表点密度是不随时间改变的常数 2 刘维尔定理的证明 9 1相空间刘维尔定理 证明 现在考虑代表点密度 随时间t的变化 当时间由t变到t dt时 在处的代表点将运动到 这里 现在要证明 全微分 9 1相空间刘维尔定理 1 考虑相空间中一个固定的体积元 边界是2f对平面 时刻t d 内的代表点数 时刻t dt d 内的代表点数 经dt时间后 d 内代表点数的增加 9 1相空间刘维尔定理 代表点需要通过2f对边界平面才能进入或走出体积元d 2 现在计算通过平面qi进入d 的代表点数 d 在平面qi上的边界面积 在dt时间内通过dA进入d 的代表点必须位于以dA为底 以为高的柱体内 柱体内的代表点数是 在dt时间内通过平面qi dqi走出d 的代表点数 9 1相空间刘维尔定理 2 通过这对平面净进入d 的代表点数是 走进 走出 类似的讨论可得 在dt时间内通过一对平面pi和pi dpi净进入d 的代表点数为 9 1相空间刘维尔定理 在dt时间内通过d 边界进入d 内的代表点数为 9 1相空间刘维尔定理 刘维尔定理Liouville stheorem 9 1相空间刘维尔定理 刘维尔定理的另一形式 9 1相空间刘维尔定理 说明 1 对于t t保持不变 刘维尔定理是可逆的 2 刘维尔定理完全是力学规律的结果 其中未引入任何统计的概念 3 根据量子力学也可以证明刘维尔定理 一 相空间 若系统包含多种粒子 第i种粒子的自由度为ri 粒子数为Ni 则系统的自由度为 9 1小结 9 1相空间刘维尔定理小结 以共2f个变量为坐标构成一个2f维空间 称为相空间 空间 系统在某一时刻的运动状态 可用相空间中的一点表示 称为系统运动状态的代表点 2 系统的运动状态随时间的演化 系统的运动状态随时间而变 遵从哈密顿正则方程 9 1 1 1 相空间 空间 当系统的运动状态随时间变化时 代表点相应地在相空间中移动 其轨道由式 9 1 1 确定 刘维尔定理 Liouvi