2011届高考数学适应性试题

2011届高考数学适应性试题2011.6一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1若集合A=x| 1|x1|2，xZ，用列举法表示A= 2是虚数单位，复数的虚部是 3右图是七位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 相关人员数抽取人数公务员32x教师48y自由职业者6444某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人来自公务员的概率为 5在等差数列中，若，则 6已知，则 7给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面； 若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面其中为真命题的是 8已知函数 若，则实数x的取值范围是 CADEB9如图，是二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（，则整数 10如图，在三角形ABC中，E为斜边AB的中点，CDAB，AB1，则的最大值是 11在中，若，则面积的最大值为 12等差数列的公差为d，关于x的不等式c0的解集为0，22，则使数列的前n项和最大的正整数n的值是 13椭圆与双曲线的渐近线在第一象限相交于点P，点为椭圆的右焦点，为坐标原点若，则椭圆的离心率为 14已知，函数，在区间上的最小值为，则实数的取值范围是 . 二、解答题：本大题共6小题，计90分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.分组频数频率0050020012030002754145，1550050 合计15高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：（1）根据上面图表，处的数值分别为多少？（2）根据题中信息估计总体平均数是多少？（3）估计总体落在129，150中的概率16（本小题满分14分）如图，棱长均为的三棱柱中， ，是棱的中点，在ABDCC1EB1A1棱上，且，.（1）求证：平面；（2）求三棱柱的体积.17已知椭圆的方程是，点分别是椭圆的长轴的左、右顶点，左焦点坐标为，且过点（1）求椭圆的方程；ABFyxPOO（2）已知是椭圆的右焦点，以为直径的圆记为圆，试问：过点能否引圆的切线，若能，求出这条切线与轴及圆的弦所对的劣弧围成的图形的面积；若不能，说明理由18如图，现有一块半径为2m，圆心角为的扇形铁皮，欲从其中裁剪出一块内接五边形，使点在弧上，点，分别在半径和上，四边形是矩形，点在弧上，点在线段上，四边形是直角梯形现有如下两种裁剪方案：第一种：先使矩形的面积达到最大，在此前提下，再使直角梯形的面积也达到最大；第二种：直接使五边形的面积达到最大试分别求出两种方案裁剪出的五边形的面积，并指出哪种方案原料利用率高？19在平面直角坐标系中，有一点列，对每一个正整数，点在给定的函数的图象上而在递增数列中，与是关于的方程的两个根（1）求点的纵坐标的表达式；（2）记，证明：20已知函数在上单调递增，在上单调递减（1）求实数的值；（2）若关于的方程在上恰有三个不相等的实数根，求实数的取值范围；（3）证明：（）（参考数据：）附加题21.选做题在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，请把答案写在答题纸的指定区域内.B.（选修4-2：矩阵与变换）已知二阶矩阵=求逆矩阵以及圆xy=4在的作用下的新曲线的方程C.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为：，曲线的极坐标方程为：，若直线与曲线相交于两点，求线段的长必做题第22、23题，每小题10分，计20分，请把答案写在答题纸的指定区域内.22（本题满分10分）如图，直三棱柱中， ，. 分别为棱的中点.在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由.23设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点P（2，4），过P作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的斜率分别为kPA，kPB（1）求抛物线的方程；（2）若kPA+kPB=0，求证直线AB的斜率为定值，并求出其值；（3）若kPAkPB=1，求证直线AB恒过定点，并求出其坐标参考答案1 2 3 4 5 6 78 91 10 11 1211 131415解：设抽取的样本为名学生的成绩，则由第四行中可知，所以40.40处填0.1，0.025，1(2) 利用组中值估计平均数为=900.025+1000.05+1100.2+1200.3+1300.275+1400.1+1500.05=122.5，(3)在129，150上的概率为16（1）因为，所以， 因为，所以，又，所以点是的中点，因为是的中点，所以， 因为，所以平面； 7分（2）连接，因为，所以，因为四边形是菱形，是的中点，所以，又，所以 10分所以三棱柱的体积为 14分17解：（1）因为椭圆的方程为，（）， ，即椭圆的方程为， 点在椭圆上， ，解得 或（舍）， 由此得，所以，所求椭圆的标准方程为. 6分（2）由（）知,又，则得,所以，即, 是，A M O F Q xyP 所以，以为直径的圆必过点，因此，过 点能引出该圆的切线，设切线为,交轴于点， 又的中点为，则显然,而 , 所以的斜率为，因此，过 点引圆的切线方程为：，即 令，则，,又，所以，因此，所求的图形面积是 = 14分18解：第一种方案，先求矩形面积的最大值：设，则，当，即时， 2分此时，再次前提下，过Q点作垂足为S，设，在中，有，则， 5分令，此时，则，当即时，的最大值为 7分所以第一种方案裁剪出内接五边形面积最大值为2.5 8分第二种方案：设，则，过Q点作垂足为S，设，在中，有， 11分，当且仅当即时等号成立 14分所以第二种方案裁剪出内接五边形面积最大值为 15分比较两种方案得，第二种方案原料利用率 16分1920解：（1），由题得，即，解得2分（2）由（）知，设（），则，令，得，4分当变化时，的变化情况如下表1200极大值极小值由方程在上恰有三个不相等的实数根，得 9分（3），设()，则，当时，函数在上是减函数，即，当时，13分来源:学#科#网，原不等式成立16分（本小题也可用数学归纳法证明）附加题B.=，新曲线的方程为：C.解：直线方程普通方程为：， 3分由，得，所以，即 6分曲线是圆，圆心到直线的距离为：，8分于是线段AB的长 10分22解：如图所示，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，由可得，,， .，设为平面的一个法向量，则由 得取，则，于是，假设在线段上存在点,使得平面，则其坐标为可设为，由于点坐标为，所以，因为平面，所以得，即，此为不可能，所以满足条件点不存在.10分23依题意，可设所求抛物线的方程为y2=2px（p0），因抛物线过点（2，4），故42=4p，p=4，抛物线方程为y2=8x（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，同理，kPA+kPB=0，+=0，=，y1+4