二项式定理__习题精选 (2)

一、 选择题：1.的二项展开式中，第项的二项式系数是（ ）A. B. C. D. 2.在的展开式中，二项式系数最大的项是（ ）A.第n项 B. 第n+1项 C. 第n，n+1项 D第n+1，n+2项 .3. 的展开式二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（ ）A.10 B. 20 C. 30 D.1204. 在的展开式中，含的项的系数是（ ）A.31 B. 11 C. 31 D. 115. 展开式中，除项的系数外其它系数之和为（ ）A.1 B.0 C.1 D. 26.化简：等于（ ） A. B. C. D. 7. 在的展开式中，含的正整数次幂的项有（ ）A.2项 B. 3项 C. 4项 D.5项8.在的展开式中常数项是（ ）A.20 B.20 C.15 D.159. 的展开式中的系数是（ ）A.4 B.4 C.2 D.210. 的展开式中的系数是（ ）A. 101 B. 141 C.139 D.99二、填空题：14. 在的展开式中，含的项的系数是_15.若的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于_三、解答题：17.在的展开式中，（1）求所有二项式系数之和及偶数项的二项式系数和；（2）求各项系数和；（3）求各项系数绝对值之和； 18.若一、与通项有关的一些问题 1在的展开式中，指出：1）第4项的二项式系数，2）第4项的系数， 3）求常数项 2若的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.31）求的常数项；2）求(x2+3x+2)5的展开式中x的系数. 4(a+b+c)10的展开式中，含a5b3c2的系数为_. 7的展开式中系数最大的项为第_项. 分析:展开式中项的系数不同于二项式系数，只能用数列的分析方法. 设第r+1项的系数最大， 则 解得:， r=7，且此时上式两个等号都不能取得， 因而第8项系数最大. 例2、 已知 的展开式中奇数项的二项式系数之和等于512，试求：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项；（3）系数最大的项。解：由题意得 n=10二项展开式的通项公式为 （1）n=10，二项展开式共11项二项展开式的中间一项即第六项的二项式系数最大又 所求二项式系数最大的项为 （2）设第r+1项系数的绝对值 最大，则有 解之得 ，注意到 ，故得r=3 第4项系数的绝对值最大 所求系数绝对值最大的项为 （3）由通项公式的特征可知，系数最大的项应在项数为奇数的项内，即在r取偶数的各项内又r取偶数0，2，4，6，8，10时，相应的各项系数分别为 ， ， ， ， 即分别为1， ， ， ， 由此可知，系数最大的项为第5项(r=4)，即 点评：（1）解决二项式问题要注意区分两种系数：一种是某一项的系数，按通常的多项式系数去理解、认定；一种是某项的二项式系数，仅指这一项中所含的那个组合数。二者在特殊情况下方为同一数值。（2）这里 展开式中系数绝对值最大的项，实际上是 展开式中系数最大的项，必要时可适时转化。（3）本题解法“一题两制”：对于（2），我们运用一般方法进行推导；对于（3），我们运用认知、列举、比较的方法导出目标。当指数n数值较小时，（3）的解法颇为实用。例7、 试求下列二项展开式中指定项的系数：（1） 的展开式中 项的系数；（2） 的展开式中 项的系数；（4） 的展开式中x项的系数；（5） 的展开式中 项的系数；解：（1）借助“配方转化”：原式 原展开式中 项的系数，即 展开式中 项的系数又 展开式的通项公式为 令 得r=3 展开式中 所求原展开式中 项的系数为-960；（2）注意到 的幂指数3较小，借助“局部展开”：原式 展开式中 的系数为 =-590（4）解法一（两次利用二项式定理）： 设展开式中第r+1项为含有x的项，又 要使x的幂指数为1，必须且只需r=1即 而 展开式中的常数项为 ，故得原展开式中x的系数为 解法二（利用求解组合应用题的思路）：注意到 欲求 展开式中x的一次项，只要从上式右边5个因式中有1个因式取3x，其余四个因式都取常数2即可。 原展开式中x的一次项为 所求原展开式中x的系数为240；（5）解法一（两次利用二项展开式的通项公式）：注意到 其展开式的通项 又 的展开式的通项 依题意 ， 由此解得 ， ， 由、得所求展开式中 项的系数为 解法二（利用因式分解转化）： 所求即为 展开式中 的系数，于是利用“局部展开”可得其展开式中 的系数为 =-168五、高考真题（一）选择题1.（2005全国卷 III ）在 的展开式中 的系数是（ ）A. 14 B. 14 C. 28 D. 28分析：对于多项展开式中某一项的总数的寻求，“化整为零”为基本方法之一， ，又 的展开式中 的系数为 ， 的系数为 原展开式中 的系数为 ，应选B。2.（2005江苏卷）设k=1，2，3，4，5，则 的展开式中 的系数不可能是（ ）A. 10 B. 40 C. 50 D. 80分析：立足于二项展开式的通项公式： 当k=1时，r=4， 的系数为 ；当k=2时，r=3， 的系数为 ；当k=3时，r=2， 的系数为 ；当k=4时，r=1， 的系数为 。 综上可知应选C。4.（2005重庆）若 展开式中含 项的系数与含 项的系数之比为-5，则n等于（ ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 10分析：设第r+1项是含 的项，又 这一项的系数为 ，且 再设第s+1项是含 的项，则 这一项的系数为 ，且 由、得 ，故 又由、得 化简得 于是由、解得 n=6，r=4，故选B。5.（2005山东卷）如果 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中 的系数是（ ）A. 7 B. 7 C. 21 D. 21 分析：设 ，则 由已知得 ，解得n=7 令 得r=6. ，故所求系数