三角函数最值问题的一些求法.doc

三角函数最值问题的一些求法玉溪师范学院数学系04级1班 杨丽仙 2004021107指导教师：谢绍龙摘要：三角函数是数学中重要的函数概念，学习并掌握三角函数知识对学好数学有着重要作用，三角函数和其它数学知识有密切联系，且常常在学习和研究其他数学知识时有着广泛的应用。在三角函数的学习中，三角函数最值的求法有着重要的地位。探讨和归纳三角函数最值的求法对学好三角函数知识是有意义的。关键词：三角函数 最值 求法最值是一个整体概念，三角函数研究的功能是把角的变化与函数值的变化紧密联系起来，我们知道函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质性和约束关系的一种描述。由于角的变化与相应函数值的相依关系，可以利用函数来研究角，即利用函数思想解决三角问题。研究三角函数的最值问题1，其方法与求三角函数值域的方法类似。一般先通过三角恒等变换，使目标函数变量归一，函数名称归一，然后利用基本函数的值域，求得原函数的最大值与最小值。在实际操作过程中，要注意换元法的应用并注意函数定义域的限制。关于型三角函数式的最值，可以由三角函数的性质直接求出，如 ； ；与在定义域内无最值。关于三角函数与常数经加、减、乘、除、乘方、开方运算所组成的三角函数式之最值问题3，常常要归为一次函数、二次函数、分式函数、无理函数的条件最值问题或对角给以约束条件的最值问题。而对最值问题所附加的约束条件常有三角函数的值域暗中给出。求解三角函数最值问题的基本思想4：1、认真观察函数式，分析其结构特征，确定类型。2、根据类型，适当地进行三角恒等变形或转化，这是关键的步骤，具体可考虑：将函数式化成或 形式，再利用正弦函数的有界性求出最值；通过换元，将函数解析式化成二次函数、二次方程进行求解，需要注意的是，在换元后，要注意新变元的取值范围；转化为可利用不等式性质，均值不等式来求解的问题；转化为可利用函数的单调性来求解的问题；改变主元，视函数为辅元，从而通过判别式法来分析的最值问题；化归为可利用几何解释来解决的问题。3、通常可考虑降次，积化和差与和差化积、引入辅助角、万能代换、换元、配方而对函数式进行变形或转化。一、直接应用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解题例1：求函数的最值分析：解决本题时要注意三角函数值的符号规律，分四个象限讨论。解： （1）当在第一象限时，有 （2）当在第二象限时，有 （3）当在第三象限时，有（4）当在第四象限时，综上可得此函数的最大值为4，最小值为-2. 说明：在这里首先可以观察到函数式的特点，不需要对它进行什么变化，并且没有什么条件限制，所以只须对它分象限说明即可。二、直接应用三角函数的有界性（）解题例1：（2003北京春季高考试题）设和分别表示函数的最大值和最小值，则等于（ ） （A）（B）（C） （D）-2解析：由于的最大值与最小值分别为1,-1,所以,函数的最大值与最小值分别为,即+（）=-2,选D.说明：此函数式中只含有，而也没有区间限制，所以根据不等式，在此不等式基础上进行变形可得的取值范围，也就是的取值范围。例2：求的最值（值域）分析：此式是关于的函数式，通过对式子变形使出现的形式，再根据来求解。解：，即有。因为，所以即即，所以原函数的最大值是，最小值是。 说明：此题通过变形可转化为解不等式，这样就与解不等式联系起来了。所以本题的关键就在于要会解这个不等式中的取值，从而与不等式的解法相联系起来，此外也可以用分离常数法，即将原式变形为，同样也是根据而求得，其实这两种方法在本质上是一样的。三、利用数形结合例：求的最大值与最小值解析：此题除了利用三角函数的有界性求解外，还可根据函数式的特点，联想到斜率公式将原式中的看作是定点与动点连线的斜率，而动点满足单位圆，如上图所示。所以问题可转化为求定点到单位圆相切时取得的最值，由点到直线的距离得： ，四、利用三角函数的单调性法例1：(1996全国高考试题)当，函数的最值(A)最大值是1，最小值是1(B)最大值是1，最小值是(C)最大值是2，最小值是2 (D)最大值是2，最小值是1解析：在本题函数表达式中,既含有正弦函数又含有余弦函数, 自然首先应考虑能否将函数表达式化为只含有正弦函数或只含有余弦函数的表达式.即函数，因为，所以，当时，函数有最小值 1,最大值2，选择D例2：求的最值及对应的集合分析：观察式子可知它并不能直接求出，须通过变形为，但也不符合用平均不等式求，考虑用单调性。解答：令，则，且设=上单调递增，所以当时， ，此时，当时，此时，五、可化为一次函数，的条件极值的三角函数式极值求法例1：求函数 的极值分析：由，上述问题实质上是求下述一次函数的条件极值问题，即求, ，其中,这里约束条件是由正弦函数的值域暗中给出的。解： 1）当时, ； 2）当时, ；说明：在这里因为函数式中出现参数，这里须对做分类讨论，即分大于零与小于零的情况，然后再对正弦函数取值求出最值。例2：求函数的最值，其中。 分析：在这里不能将它变形为关于或为未知数的二次式，所于只有考虑将它降为一次，此时根据正弦、余弦的二倍角公式即，然后代入化简得到即可求出。解：因为 其中，且，在这里说明：当函数式里只出现或，通过变形最终可化为或者的形式，再根据的取值来确定最值，但如果式子里还含有参数的话，若有影响需对参数进行分类讨论即可。六、可化为二次函数的条件极值的三角函数式的最值求法。对于函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数,当它们的次数都是1 时我们可以利用它们的有界性解之, 当它们次数是2 时,一般就需要通过配方式或换元将给定的函数化归为二次函数来处理.例1：求函数最值分析：因为故求的最值，实质上是求以为自变量的二次函数。可以用配方或数形结合求解。即当设=时，变为在约束条件的条件极值。解：因为当当说明：这里是应用导出二次函数最值公式的方法，将所求三角函数的最值问题转化为二次函数条件最值去解决，即将函数看作是以为自变量的二次函数，其定义域应为，亦即求二次函数在的约束条件下的条件最值。而一般二次函数的定义域是，所以求此类函数最值时,不能直接套用如下公式:若,当；若,当。七、换元法例1:函数的最大值是_.(1990年全国高考题)解析：如果在同一个代数式中同时出现同角的正余弦函数的和与正余弦函数的积,常用换元法来解决问题, 这种方法可简化计算过程。设,则, 。函数可化为，时，函数最大值是。说明：题目中出现与时，常用变形是“设和求积巧代换”，即设 则。要特别注意换元后的取值范围。例2： 求函数的最值。分析：利用沟通与之间的关系，通过换元就可使原函数转化为二次函数。解：设则 于是 。故当时，即时， 当时，即时， 说明：函数与的最值问题形似质异，需注意解法的不同，灵活进行处理。八、可化为分式函数的条件最值的三角函数的最值问题例1：求函数的最值。分析：由令，则归为求（且）的最值，故可用判别式法求之。解：由 因为这个一元二次方程总有实数根， 例2：（型的函数）求函数的最值（值域）。分析：此函数的解析式与上例不同，分式中的分子含有的一次式，而分母是含有的一次式，不能直接解出或，通常是化作求解。解法一：由得 （为辅助角）因为得由此解得函数的值域为说明：对此类问题可通过万能公式代换求解，还可通过几何方法（数形结合）求解，现介绍如下。解法二：令 ，则， 即若 即则满足条件若即 ，则由 ，有 函数的值域为 解法三：由， 得，设点 ， 则可看作是单位圆上的动点与连线的斜率。如右图所示，直线的方程为，即，则圆心到它的距离，解得或。所以，即，所以函数的值域为说明：成分数形式的三角函数式的解法很多，如果只是关于某种三角函数（如正弦、正切等）且是一次的式子的解法可通过变形后根据它们的有界性来求即可，但如果是二次的话，可化为一个关于某个三角函数为未知数的一元二次式，然后再用判别式的方法求；如果是有几个三角函数组成的式子就因情况而定，一般可用万能公式来变换求，数形结合法，或者可化为只含一种三角函数式来求等。九、利用不等式求最值（其中）利用上述不等式求最值时, 必须满足下列条件:若个正数的和一定时,当且仅当它们相等时,其积取最大值.若个正数的积一定时,当且仅当它们相等时,其和取最小值.例1:当,求的最大值解析:因为 ,所以于是 = 所以 即说明：解答此题后有一个新的体会就是研究形如（且）的值域是十分重要的,下面来看一下:已知函数（且）,求其最大值.解:因为，所以考察上式根号中的个因式之和为。因而由平均值不等式得当且仅当时，即，亦即时，等号成立故当时，函数有最大值例2:求函数的最小值。分析：本题看似简单，但若直接求不容易，考虑，则。若求出的范围，则问题也就解决了。解： = 每且仅当 即时，。所以 说明： 这是一个特殊的问题，下面运用本题的解法来研究它的一般情形的最值问题。设,求函数的最小值。解：由 每且仅当，即时，所以 说明：像此类题，一般比较复杂，大部分可能无法用其它方法求出，首先必须将它变形符合形式，再考虑是否满足一正，二定，三相等的条件，都满足即可求出。关键的是灵活变形。十、对有约束条件的三角函数的最值求法例1：设、皆为锐角，求函数之最大值。解析：因为，故且 例2：在中，求函数的最大值解析：因为、是三角形内角，即， 所以 ，当且仅当时等号成立，故 说明：在这类题当中，如果是角度有限制的情况下，可运用和差化积，积化和差，倍角公式等来将式子变形为我们熟悉的方法来求解，但注意可能会有其它条件的限制。十一、利用导数求函数的最值例：已知，求的最小值。分析：此题若是通分整理后，分子、分母均含有二元变量，用以上的有些方法计算可能使得计算变得复杂，此时可考虑新教材增加的求导方法求解。解：，令得：，而，则，而当时，；当时，所以当时，。说明：有些题目可能用以上方法无法解决，或者是可以解决但是很复杂，这时可以考虑运用导数来求解。最好与求导数极值的知识相联系起来。只不过这里是关于三角函数而已。注：以上所列举的方法仅是从一般求解方法上来说的，可能并不适用于所有题目。有些题目比较特殊，无法用以上方法来解，而有些题目用以上很多方法都能解决，这时我们要具体情况具体分析，就要注意选择简单恰当的方法来解决。例如这样的一道题： 例：求函数的最大值和最小值。1运用三角函数的有界性，即来求解，即将原式变形为，所以变为来进行求解即可。即有，即。2将函数式化为部分分式，使分子出现常数也容易考虑出它的最值，即将原式变形为。当时，即时，有。当时，即时，有。3将函数式直接变形为，其实求法就跟上一题一样。4考虑万能代换，使转化为代数函数的求最值问题。令，则有，所以，即此关于的二次方程应有实根，故，解之得，故有5将以上所得的代数函数考虑用基本不等式。即将式子化为，当为正值时，有。所以，当为负值时，有。所以说明：对于此题，函数式的分子分母都含有变量的三角函数，使最值的计算复杂化，解法2与解法3通过数式变形使分式的分子成为常数，最值问题变得十分简单.解法4和解法5利用万能代换化三角式为代数式，再利用判别式或基本不等式求出最值，这也是常用的方法。综上所述：三角函数最问题可归结以为几大类型：1可转化为利用正弦、余弦函数的有界性求解的最值问题。主要有以下两种类型：可将函数式化为的形式求解的问题，形如或者的函数适用；可将函数式化为的形式求解的问题，形如或者形如的函数适用；2可转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，典型的是：形如的最值；形如的最值；3转化为可利用均值不等式求解的最值问题，例如函数的最值。4某些带约束（隐含）条件的最值。5利用其它方法求解的最值问题（如利用单调性、判别式、图像法等）6含参数的逆向思考问题。总结：以上主要探讨了十一种方法来求解三角函数的最值，由于三角函数最值问题形式的多样性，在求解此类问题时，不仅要灵活运用三角变换的方法和技巧，还要充分注意代数知识和方法的运用，以提高解决此类问题的能力。由以上几种形式可归纳得出求解三角函数最值问题的基本方法:一是应用正弦、余弦函数的有界性来求; 二是利用二次函数闭区间求最大、最小值的方法; 此外还可利用重要的不等式公式和数形结合的方法来解决。具体为：1、求三角函数最值的方法有配方法、化为一个角的三角函数、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。2、三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间。3、求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，须注意函数有意义的条件和弦函数的有界性。4、含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。致谢：感谢谢老师在论文写作当中的指导与帮助！参考文献：1 数学通报编辑部组织专家编写数学高考研究与复习1999-2000 中央民族大学出版社 1999年7月出版2 连林 主编高中数学综合题一题多解 北京出版社 1990年5月出版3 李燕杰 郭建 编著平面三角教与学 黑龙江科学技术出版社 1982年6月出版4 吴胜聚 刘跃利等 编著高考总复习数学成才之路 内蒙古少年儿童出版社 2003年4月出版5 吕风祥 主编 鲍曼 濮安山 副主编中学数学解题方法 哈尔滨工业大学出版社 2003年10月6 薛金星 主编高中数学基础知识手册 北京教育出版社 2006年出版some ways to caculating the maximun and minimum in trigonometric functionYang Lixian, Instructor: Xie Shaolong（Department of Mathematics, YuXi Normal University, Grade 2004,Class 1, No. 2004021107） Abstract: The trigonometric function is an important funct